Свешников, Боголюбов, Кравцов. Лекции по математической физике (1125176), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Поскольку С' +С' =т+1, С' =1, (от С+С=(!+т=(+ 2 2 то 1(! — х') и" — 2хи'+л(л+1) и)!"! = = (1 — х') и! "+~! + (т+ 1) ( — 2х) и' "" + + ( + ! ( — 2)и' 1+п(п+1)и! 1=О, 2 т. е. (1 — х') и' +" — 2х(т+1) и! +п — т(т+1) и' ' +п(л+1) и! '= О. (4.3) Полагая у(х) =(1 — х') ' и' '(х), получаем из (4.3) следующее уравнение для функции у(х) = =Р„1~> (х): (1 — х) у" — 2ху'+ ! и (п +! ) — ~ у = О. (4. 4) 1 — х~ Уравнение (4.4) можно переписать н в самосопряженной форме: — 1(! — х') " 1!+(л(п+1) — ~ у=О. (4.5) их Йх 1 — х~ Из вида уравнения (4.5) следует, что точки х=-Е1 являются особыми точками этого уравнения (см. $ 1).
Поэтому для выделения единственного решения уравнения (4.5) достаточно потребовать, чтобы оно было ограничено в точках ~1. В результате получаем, что присоединенные функции Лежандра при каждом значении параметра т являются собственными функциями, соответствующими собственным значениям Л,=л(л+1) следующей краевой задачи Штурма — Лиувнлля на отрезке ( — 1, 1): — ! (1 — хх) — Р~ '1+ ( ˄— ) Р! ' = О, — 1 < х < 1, Ых ! дх 1, 1 — х' (4.6) где Л„=л(п-1-1). Ниже будет доказано, что присоединенные функции Лежандра исчерпывают все собственные функции краевой задачи (4.6). Заметим, что, как это следует из общей теории, второе линейно независимое решение уравнения (4.6) имеет особенность в особых точках -~1.
108 Так как присоединенные функции Лежандра Р! ! (х) являются собственными функциями краевой задачи (4.6) для самосопряженного оператора, то они образуют ортогональную систему на отрезке [ — 1, Ц: +! ~ Р! ' (х) Р!!™'! (х) дх = 0 -1 при пиья и одном и том же т. Заметим, что для присоединенных функций Лежандра имеет место формула ортогональности по верхнему индексу с весом (1 — хт)-! *!! " р!'(.) р!и() дх=0, т~1, (! — ха) — ! причем +' !т1' () ( +н!)! дх=— !+ха т(п — т)! — ! 3. Полнота н замкнутость системы присоединенных функций Лежандра ! А,(1 — х ), хе:-( — 1, — 1 +б), !Р(х)= г(х), х е=( — 1+б, 1 — б), т ! А,(! — х') ', хин(1 — б, Ц, (4.7) где б)0, а постоянные А, и А, выбираются из условия непрерывности функции !р(х) в точках х= — 1+б и х=1 — б соответственно.
При таком построении функции !р(х) функция !р(х)= =(1 — х') ' !р(х) непрерывна на 1 — 1, Ц. ! Сил Беаты ан Г., Э рдей и А. Высшие трансцендентные функции. Т. 2. Мх Наука, !966. 199 Докажем лемму, используемую в дальнейшем для доказательства полноты системы присоединенных функций Лежандра. Лемма 4.2. Для всякой непрерывной на отрезке ( — 1, Ц функции 7(х) можно построить такую непрерывную на 1" — 1, Ц функцию !р(х), что функция !р(х)=(! — ха) ' !р приближает в среднем функцию ((х) на отрезке 1" — 1, Ц Доказательство.
В качестве функции !р(х) можно взять, например, функцию Покажем, что функция (4.7) приближает в среднем функцию Г(х) на отрезке 1 — 1, Ц. Поскольку !р(х), 7(х) непрерывны на отрезке 1 — 1, Ц, то чр(х) и 7(х) ограничены на отрезке 1 — 1, Ц и, выбирая общую константу М, можем написать (!р(х)! (М, ~7'(х)((М. Поэтому, учитывая, что 1 Р (х) — !р (х) ! з ~~ (~ (х)! а+ 2 !1(х) ~ (<р (х) ) + ) !р (х) ( з н 4Ма, (4.8) !1 (х) — !р (х) ! а с(х м" е, — 1 т. е. что функция тр(х) приближает в среднем функцию 7(х) на отрезке ( — 1, Ц. ° Замечание. Если ввести норму пространства 7.з ( — 1, Ц +! ~Щ = '1 7-(х) йх.
— 1 (4.9) то доказанная лемма утверждает, что функцию 7(х) ~С( — 1, Ц можно приблизить с любой заданно ! точностью с помощью фУнкции (4.7) в ноРме 7.з( — 1, Ц: дла любого в>О можно построить функцию ф(х) по формуле (4.7) такую, что И вЂ” р1!ы(н. Перейдем к доказательству основной теоремы.
Теорема 4.5, Система присоединенных функций Лежандра полна в 1.з1 — 1, Ц. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть задана некоторая функция 1(х)ен7.,[ — 1, Ц. Известно*>, что для любого е'>О существует го Смл Ильин В. А., Позняк 3.
Г. Основы математического анализа. Ч. 2. Мл Наука, 1980. 110 получим +1 — ! -!-а (1" (х) — чр(х)1з йх = ( (Г (х) — <р (х) 1а с(х+ — 1 — 1 ! — а ! + ~ (1" (х) — !р(х)(ас(х+ ~ 17(х) — !р(х)(зйх( †!+а 1 — 'а — !+ь ! (4Ма ~ Ых+ 4Мз ~ 'йх=8Мзб. -! ! — а Из формулы (4.8) вытекает, что для любого а) О, выбирая 6( в ( †, получим 8Мз непрерывная на отрезке 1 — 1, 11 функция й!(х) такая, что Д(х) — д(х))(О,(е'. (4.10) Согласно лемме 4.2 для любого е" ~ 0 существует функция ф(х) = =(1 — х') ' !р (х), где !р (х) непрерывна на отрезке ( — 1, 1), такая, что +1 !(а — ф((а = '! (й(х) — ф(х)(ОО(х(е" .
(4.11) — ! Согласно теореме Вейерштрасса функцию ф(х) можно равномерно приблизить на отрезке [ — 1, 11 системой полиномов, т. е. для любого е'л)0 найдется такая система коэффициентов (С,) и такое число Ф)0, что ~ !р (х) — ~~1 ~ Сл Рл (х) ~ ( е"'. (4.12) л.=а Умножая левую часть неравенства (4.12) на 0<(1 — х') ' (1 (н тем самым усиливая его) и учитывая (4.1), получим ~ф(х) — ~," СлР! !(х) ~ (е"', л=а следовательно !ф(х) — ~) С„Р! ь(х)~~ ('1/2е"'. (4.13) л=а Наконец, нз неравенства (4.10), (4.11) и (4.13), применяя неравенство треугольника для нормы*!, получим '(! ! — ~ фЄ! е=. (т — Яа+ !!к — ф!!с + л=а +)ф — ~' С„Р! !'!' <е'+ел+)/2ел(е — О прн соответствующем выборе е', ел и е"'.
Последнее неравенство доказывает полноту системы присоединенных функций Лежандра в пространстве Е,( — 1, 1]. Следствие 1. Поскольку присоединенные функции Лежандра как собственные функции задачи Штурма — Лиувнлля (4.6) ортогональны с весом 1 при различных ап +! ~ Р„', ' (х) Р„', ' (х) О(х = О, и, Ф и„ вЂ” ! *! Там же. 111 то из доказанной теоремы вытекает замкнутость системы присоединенных функций Лежандра.
Из следствия 1 непосредственно вытекает С л еде та и е 2. Система присоединенных функций Лежандра при каждом !и исчерпывает все собственные функции задачи Штурма — Лиувилля (4.5). В силу общих свойств собственных функций, для присоединенных функций Лежандра имеет место теорема разложимости Стеклова. Т ео р е м а 4.6. Всякая функция !(х), дважды непрерывно дифференцируемая на отрезке !' — 1, 1] и обращающаяся в нуль на его концах 1( — 1) =!(1) =О, разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся ряд по присоединеннь!м функциям Лежандра (тпФО)! СЮ ~(х) = у"' ~„Р! ' (х), л=ь где коэффициенты Фурье ]„равны -!-1 ! ~(х)Р„1"'(х)дх, и =О, 1,... !!р!т!!!О ! л Для вычисления коэффициентов разложения 1„необходимо иметь формулу для квадрата нормы ]]Рл ~]]О.
Выведем ее. Обозначим !О'„„=!]Р! ']!'. Тогда 1 1 !т'л = ~ (Р! !(х))'дх= ~ (1 — х')'" Рл — Рлдх = ехт — 1 — 1 1тл ЕО~-1 11 = (1 — х') — Р„(х) — Р„(х) ~ ЛХ'л ОХ'л ! — 1 1 — ! Рл (х) — ! (! — х') — Р„(х) ] дх. (4.14) ,! Вхл'! " ЛО ! Е т — 1 Подстановки обращаются в нуль, а для вычисления интеграла в правой части последней формулы воспользуемся формулой (4.3), переписав ее в виде Огл+ОР ей'~ Р„ (1 — хь) " — 2х(т+1) — "+ ОХ'О+О лх"'+! 1тлр + (п(п+ !) — п1(т+1)] " =О. (4.15) Умножим (4.15) на (1 — х') — „" ~(1 — ") -' "„,'„'„'," ]+ 112 +!п(и+1) — т(т+1)) (1 — хз) ' " = 0 ох"' т — 1, подста- н, поменяв в последнем равенстве индекс т на вим результат в интеграл в правой части (4.14): 1 51„~= '! '!п(п+1) — т(т — 1))(1 — хп) ПХт-1 -1 Дп1-1 11 ох= ОХт 1 = '(и (п+ 1) — т (т — 1) ) 11' Так как и (п+ 1) — т(т — 1) =(и+т) (п — т+ 1), то 11'„=(п+т) (п — т+1) д1, = (и -1- т) (и — т + 1) (и+ т — 1) (п — т + 2) 11' =(и+т) (п — т+1) (и+т — 1) (и — т+2)...
(и+1) ийлт а поскольку (и+т)(п — т+1) (и+т — 1)(п — т+2)... (и+1) п= ='1(п+т)(и+т — 1)... (п+1)И(п — т+1) (и — т+2) ... и!= (л+ т)! л! (л+ т)! л1 (л — т)! (л — т)1 то (л+ т)! пт по. (л — т)1 Учитывая, наконец, что л.,=(!Р,Л = окончательно получим !!Р„1!! = 2л+ 1 (л+ т)! (л — т)1 4 З. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ (5.1) (5.2) (5.3) 113 Перейдем теперь к изучению специальных функ- ций от нескольких переменных. Начнем со сферических функ- ций.
Рассмотрим следующую задачу Штурма — Лиувилля на единичной сфере: Ьо )'+ЭХ=О, 0(д(п, 0(1р(2л, х" (д, ср) = )' (д, 1р + 2и), (У(0, ср)) (оо, !У(п, 1р)! ( оо, Ф" + тФ=-О, Ф (ф) = Ф Ор + 2л), (5.5) которая имеет нетривиальное решение при т=тз вида Ф„(ср) = е, т = О, ~ 1,... Для функции 6(0) получаем задачу — (з(пб — )+(Л вЂ” — ) В=О, 0(6(и, ) 0 (О) , '< оо, ) 6 (л) ( < оо. (5.6) Если сделать замену х=созб и у(х) =у(созб)=61(6), то задача (5.6) принимает вид ~ (1 — х') — ~ ~ + ( Х вЂ” ) у = О, — 1 < х < 1. ) у(~ !)1 ( оо, (5.7) Сравнивая (5.7) с (4.6), мы видим, что задача (5.7) является задачей Штурма — Лиувилля для присоединенных функций Ле- жандра. Поэтому собственные значения имеют вид Х„=и(и+!), а собственные функции В„„, (Ь) = у„(соз О) = Р1 1 (соз О), причем т <и.
Выпишем систему сферических функций и-го порядка: У1 ' (О, щ) = Рм™ (соз О) е' " ( — и ( т ( п). (5.8) Собственные функции задачи (5.5) можно записать в тригонометрическом виде: 114 где А„— угловая часть оператора Лапласа в сферической системе координат, имеющая вид 1 д 1. д 1 1 д~ оо = — (з(пб — ) + лид дд (, дд ) Мпед дч' О п р е д е л е н и е. Ограниченные на единичной сфере решения уравнения (5.1), удовлетворяющие условию периодичности по ~р и обладающие непрерывными производными до второго порядка, называются сферическими функциями. Решение задачи (5.1) — (5.3) будем искать методом разделения переменных У (О, Ч) =В (О) Ф Ор) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
