Свешников, Боголюбов, Кравцов. Лекции по математической физике (1125176), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Отсюда, приравнивая коэффициент при х" в уравнении (3.10) нулю, получим Л„= — л (т'+ о"), 6) Уравнение (3.11) можно записать в виде — (р,(х) — "~+Л„рр„=О, аР~ ах ох где р,(х)=а(х)р(х). так как производные и-го порядка ро"1(х) классических ортогональных полиномов снова являются классическими ортогональными полиномами, то, повторяя рассуждения п. 4), получим для них уравнение о "Р~ (3.1 4) где Л„„= — (л — и) ~(л — т — 1) — +т'~, и=О, 1, Ро Р~ Лпо ~о 7) Получим явное представление для классических ортогональных полиномов. В силу уравнения (3.14) р .'"'= — — — (р + р1 +и) 1 И Л~ го и, в частности, рекуррентно применяя последнюю формулу, на- ходим ! а( ! ! аа р р ( х ) р а р ! ~ ! ( р и р ! ! ! ) ( р р ! и ) Лла Ь " Хлакл, АХа л~а — (р р! !).
Ал,л Их"' (3.15) где А...=( — ». П)., Так как р„'"! =п(а„то, полагая в формуле (3.16) т=п, получим л(ал ! а(л рл (Х) = — '" — (рл (х)), Алл р (х) Ахл лыл или, обозначая Сл= — '": Алл рл(х)= " — (ол(х)р(х)). р (х) Йхл (3.
16) ') р'„р х(х = а„ '! хлрлр х(х+ ~ р„г(„ ьо пх = а„ '! хлрлр !(х. Отсюда, используя формулу Родрига (3.16), будем иметь (( рД' = ~ р'р Нх = а. С, ~ хл — (пар) !(х. а а Интегрируя л раз по частям и учитывая, что в силу условия (3.2) подстановки обратятся в нуль, получим формулу для квадрата нормы классических ортогональных полиномов ь 1( р„((а.= ( — »л и! а „С„~ ол (х) р (х) с(х.
а (3. 17) Формула (3.16) называется обобщенной формулой Родрига. Коэффициенты С в формуле (3.16) определяются из условия нормировки, поскольку классические ортогональные полиномы как решения однородного уравнения определяются с точностью до множителя. 8) Формула Родрига позволяет получить значение квадрата нормы классических ортогональных полиномов. Учитывая, что р (х) =алх" +дл ч(х), где д„,(х) — полипом степени л — 1, получим 3. Производящая функция классических ортогональиых полиномов Ч' (х г) — " гл л! (3.
18), л=О где рл (Х) = рл (х). Сл Получим производящую функцию классических ортогональных полиномов. Будем исходить из обобщенной формулы Родрига (3.1б) . Заметим, что в силу формулы (3.5) функция ол(г)р(г) является аналитической функцией комплексной переменной г в окрестности отрезка (а, Ь] действительной оси комплексной плоскости г. Воспользуемся для ее и-й производной интегральным представлением Коши где интеграл берется по контуру, содержащему точку (=х внутри себя. Из формул (3.16) и (3.19) вытекает, что рл(Х)= — ' „, О(1.
! л! (' Ол(1) р(1) р (х) 2л! .) (1 — х)"+' с Подставляя (3.20) в (3.18) и меняя порядок интегрирования н суммирования, получим Ч' (х, х) = — О(1. р(1) л ( ОР), )л р(х) 2л!,) 1 — х ~,~ ] 1 — х с л=О При достаточно малом )г~ л ( О(1) г )л ! 1 — х 1 — х ) О(1) х 1 — х — О(1) г =О 1 — х и окончательно (3 20) 93: Мы ввели классические ортогональные полино мы как ортогональную с весом р(х) на отрезке (а, Ь] систему полиномов, для которой вес р(х) подчинен определенным условиям. С другой стороны, мы установили, что классические ортогональные полиномы можно ввести как собственные функции задачи Штурма — Лиувилля на конечном отрезке (а, Ь]. Возможен еще один способ введения классических ортогональных полиномов — с помощью производящей функции. О п р е дел е н и е.
Производящей функцией классических ортогональных полиномов называется функция Ч" (х, г), разложение которой в ряд Тейлора при достаточно малых г имеет вид Ч" (х, «) = ! х((. 1 ! р(1) 2пф (х) ) С вЂ” л — го (У) (3АП) Прн «=О подынтегральная функция в (3.21) имеет внутри контура С единственный простой полюс (=х.
Следовательно, по непрерывности, при достаточно малых 1«( контур С всегда можно выбрать так, что внутри него будет находиться единственный простой полюс 1м являющийся корнем уравнения г — х — «о(г) =О. (3.22) Очевидно, (В=(о(х, «), где (з(х, «) означает тот коРень УРавнения (3.22), который при малых 1«( близок к г=х. Вычисляя интеграл в (3.2!) с помощью вычетов, получим общее выражение производящей функции классических ортогональнык полиномов: р(х «)— р (х) 1 — 70 ((р) (3.23) где 1,=(о(х, «) — корень уравнения (3.22). Перейдем теперь к рассмотрению конкретных систем классических ортогональных полиномов, наиболее важных для приложений. 4.
Полиномы Якоби р(х) = ехр Д х(х~, Поскольку Ах+В А+В ~ Нх  — А ~ Нх + х(х = 1 — х~ 2 1 — х 2 1+х В-А = 1п ((1 — х) (1+х) ), то р(х) =(1 — х) (1+х)~, (3. 24) где В+А  — А а= — ' — 1, р= 2 2 Пусть а= — 1, 6=! (к этому случаю, очевидно, приводятся все конечные интервалы). Тогда по формуле (3.4) о(х) =(х+1) ( — х+1) = 1 — х', и для линейной функции т(х) =Ах+В в силу (3.5) получим Выражая из последней формулы коэффициенты А и В через а: и (1, получим линейную функцию т(х) в следующем виде; т(х) = — (а+~+2) х+~ — а. Заметим, что условие (3.2) будет выполняться, если постоянные а и р удовлетворяют условиям а> — 1, ()> — 1. О п р е д е л е н и е.
Классические ортогональные полиномы, заданные на отрезке [ — 1, 11 и ортогональные на нем с весом р(х) =(1 — х)" (1+х)', называются полиномами Якоби и обозначаются Р„'"м!(х). Для полиномов Якоби нормировочный множитель выбирается в виде С = 2пп! Тогда получаем явное выражение полиномов Якоби с помощью формулы Родрига (3.16): 2пп~ <1 — х)а (1 З- х)В Дхп Из формулы Родрига несложно получить полезную формулу дифференцирования для полиномов Якоби — -- Р„'"'"' (х) = — (и+ а+ р+ 1) Р„'"~!'и ' " (х). ах 2 Используя формулу (3.12), запишем задачу Штурма — Лиувил- ля для полиномов Якоби а-а! — ~ (1 — х)а' ' (1+х)В' ' " ~+)„(1 — х)а(1-~-х)'Р<,чав= — О, ах х йх — ! (х(1, 1Р(а,а) ( (3.
26) Полиномы Якоби являются собственными функциями задачи Штурма — Лиувилля (3.26), отвечающие собственным значениям ).„имеющим в силу формулы (3.13) следующий вид: )п=и(и+а+р+1). (3.27) Поскольку система полиномов Якоби задана на конечном интервале [ — 1, !1, то в силу теоремы Вейерштрасса оиа является полной, а следовательно, замкнутой и исчерпывает все собственные функции задачи (3.26) . Выражение для квадрата нормы полиномов Якоби имеет следующий вид: р(а,!(!х2аГ(а+и+1)Г(а+5+1).(328) п! (2п -,'- а —, Р + 1) Г ( п + и + () + 1) т(х) = — а(х) = — 2х. !( !(х Тогда уравнение (3.11) принимает вид — [(1 — х') " 1+).„Ри=О. Г ! 6Ри !(х !(х , Уравнение (3.29) носит название уравнения Лежандра.
Краевая задача Штурма — Лиувилля для полиномов Лежандра соответственно имеет вид (3.29) ! — ~ (1 — х ) — !+)!„у=О, — 1(х(1, |1 Г ! !(д '! (3.30) )у(~1) (( оо. Собственные значения Х, определяются формулой (3.27) при а=Д=О: Л„=п (и+ 1) . Получим выражение для нормы полиномов Лежандра, для чего используем формулу (3,17): +1 !! Р„!!' =( — 1)" а„п)С„(3 (1 — х')" !(х. — ! (3.32) Из (3.31) имеем 1 !!" зи 2и (2л — 1)...(и + 1) 1 (2и)! а„х" = — — х'" = хи = — — х", 2ии! !!хи 2"и! 2"и! л! откуда 1 (2и)! а„= — —.
2пи! и! Вычислим интеграл в правой части (3.32): +! +! 7„= ~ (1 — х')" с(х = х (! — х')и ( + ! ~+ и ~ (1 — хз)" ' 2хх с(х = — ! -! +! -!- ! =2п ) (! — х')" с(х — 2п 1 (1 — х')"!(х=2п( ! — 2п7и, — ! — '! т. е. 2л 1и — ! 2л+! Из (3.25) получается формула Родрига для полиномов Лежандра Р„(х) = — — (х' — 1)". (3.31) 2ли! Дхи 4 зак. 36! 97 и, применяя последнюю формулу и раз, будем иметь 2п (2л — 2)...2 (2")г(л!)г л го= 2, (2л + 1) (2л — !)...8 (2л + 1)! поскольку +! ') !гх=2.
— 1 Окончательно получаем !! Р !!— (3.33) Заметим, что формула (3.33) сразу следует из формулы (3.28) при гг=р=О. Производящую функцию для полиномов Лежандра получим, воспользовавшись формулой (3.23). Уравнение (3.22) в случае полиномов Лежандра принимает вид г!г+! — (г+х) =б. Нетрудно показать, что ближайшим к корню (=х при малых (г! будет корень 1-1-> — 1+ г 1+ 4хг+ 4г' !о 2г Из (3.23) имеем ! 1 Ч'(х, г) = 1+ 2г!о )/1+ 4хг+ 4гг и поскольку л( ) гл и гл Р (х)( 2г)п и! С„л) то Ч" (х, г)= =~91Р„(х)( — 2г)".
К'! + 4хг+ 4г' 1 !) л=-о г Сделав в последней формуле замену г на — — и сохранив 2 обозначение для производящей функции, получим Ч'(х, г)=~ Рл(х) г"= . (3.34) 1 ')/! — 2хг+ гг =о Производящая функция полиномов Лежандра имеет простой геометрический смысл. Пусть гл и го — радиусы-векторы точек Р и Я в сферической системе координат, а б — угол меж- 98 ду этими радиусами-векторами.
Предположим для определенности, что гр>ге. Тогда расстояние между точками Р и Я имеет вид 'е ~ 'е' Яре — — Ъгг'+гг — 2гргасозб =ге ~гг 1 — 2 — '1 созб+( — е) Р гр гр и Ю 1 1 1 г г — ( — ) Р„(соз б). 'р.а '.. Г г а ~/ 1 — 2 — сох 6+ ( — ) =ь гр г Сравнивая последнюю формулу с формулой (3.34), получим — = — гР (созда,— 'а ! нра 'р (. 'р ) Из обшей теоремы для классических ортогональных полиномов следует теорема о нулях для полнномов Лежандра. Теорема 4.2.
Полинам Лежандра Р„(х) имеет ровно и простых нулей, расположенньгх строго внутри отрезка [ — 1, 11. Из общих свойств классических ортогональных полиномов вытекают следующие свойства полиномов Лежандра: система полиномов Лежандра полна на отрезке 1 — 1, 1); система полиномов Лежандра замкнута; система полиномов Лежандра исчерпывает все собственные функции краевой задачи Штурма — Лиувилля (З.ЗО); для системы полиномов Лежандра имеет место теорема разложимости (Стеклова).
Т е о р е м а 4.3. Всякая дважды непрерьгвно дифференцируемая на отрезке 1 — 1, 1] функция !(х) разложима в абсолютно и равномерно сходящийся ряд по полиномам Лежандра !'(х) =~' )„Р„(х), г=ь где +! ~ ~(х)Р„(х)йх, п=О, 1, — 1 — коэффициенты Фурье функции )(х). Формула (3.34) позволяет получить полезное рекуррентное соотношение для полиномов Лежандра. Продифференцируем (3.34) слева н справа по з: Ю х — г (х — г) Ч'(х, г) (1 — 2хг+ гг) ~!~ 1 — 2хг+ гг г=! откуда Ю Ю (х — г) ~ Р (х) гь — (1 — 2хг+ г'),~ йР„(х) гь — '.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
