Свешников, Боголюбов, Кравцов. Лекции по математической физике (1125176), страница 12
Текст из файла (страница 12)
69 С помощью признана Даламбера легко установить, что ряд (2.16) абсолютно сходится для любых х. Определение. Ряд (2.!6) называется функцией Бесселя и обозначается У.(х). Очевидно, функция 1,(х) является частным решением уравнения Бесселя (2.1) и (2.2). Функция Бесселя У,(х), определяемая для вещественного аргумента х рядом (2.16), может быть аналитически продолжена с положительной вещественной полуоси на комплексную плоскость г с разрезом по отрицательной части вещественной оси.
При нецелом т точка а=О является точкой ветвления функции г". Полученная функция Бесселя комплексного аргумента является аналитической в области — п<агцх<я. При ч — целом функция Бесселя Уа(г) оказывается аналитической на всей комплексной плоскости г, т. е, целой функцией комплексной переменной г.
б) Рассмотрим теперь случай о= — ч. Снова положим в формуле (2.1!) т=2л. Тогда из формулы (2.9) получим, что т~й, т. е. т не является целым числом. Положив О пределе н и е. Ряд (2.16), соответствующий а= — з У,(х) = Г (А+ 1) Г (л — о — 11, 2,) —. =Š— (2. 17) о=о называется функцией Бесселя порядка — ~ и обозначается У ,(х). При нецелом ч функция У,(х) представляет собой второе решение уравнения Бесселя, линейно независимое от У,.(х). Из формул (2.16) и (2.17) вытекает, что в случае нецелого т функции У,(х) и У,(х) по-разному ведут себя в нуле: функция У„(х) имеет в нуле ноль х-го порядка, а функция У,,(х) имеет в нуле полюс т-го порядка.
Таким образом, при нецелом ч функции У„(х) и У,(х) линейно независимы и образуют фундаментальную систему решений уравнения Бесселя порядка ч. При целых значениях индекса т определение функции У,. (х) по формуле (2.17) лишено смысла: гамма-функция в знаменателе при отрицательных целочисленных значениях обращается в бесконечность. Продолжим формулу (2.17) по непрерывности по индексу ч на целые значения ч=п, Поскольку Г(й — и+1) =-~-оо при й(п — 1, суммирование в формуле (2.17) фактически начинается со значения Й=л и поэтому х оо-~-л У „(х)=БшУ,(х)= — У (, ! — ) .
(218) а.~ Г(Ф вЂ” л+1) Г(о+1), 2 / Заменяя в формуле (2.18) индекс суммирования А на и+*я',, получаем о У „(х)=(-!)" ~' ' " (' — "~" +"=(-!)"У„(х) / ! Г (л'+л+!) Г(л'+1) ! 2, «=о Следовательно, при т=л функции У„(х) и У „(х) оказываются линейно зависимыми: У „(х) = ( — 1)" У„(х) и не образуют фундаментальной системы. 4.
Рекуррентные формулы Путем прямой проверки легко убедиться в справедливости соотношений го (х) Учы (г1 (2.19) лх хо х~ (2.20) — (х".У„(х)) = х'У„~ (х) . ох Докажем, например, формулу (2.19): « И ( 2» (х) ) К 7! ( — 1)л «!х ! х» / дх Й4 Г(Л+!) Г(Л+»+1) 2 + —.I» (х)+о,(х)=,1» «(х). Складывая две последние формулы, получим полезную рекуррентную формулу „!.! (х) = — »'» (х) — з» ! (х), 2» х а вычитая, получим формулу для производной у,'.(х) = — (), ! (х) — у,! (х)).
1 2 (2.21) 5. Функции Бесселя полуцелого порядка С поз2оцлью формулы (2.!6) получим выражение для функций Уь(х) и У» (х); лч 2 ) — ( — 1)л ,)п2(х) = ъ х ' 3 л=о зи Г ~ Л+ — ! 2, (2 22) (2.23) 7! «» ( )г — — с~ ')'с ( — ') "' ' с ( ')' 2 / «ва л! Г(л+»+1)2»л 11 Г(л)Г(л+»+1) ( 2 ! л=о л=! Введем новый индекс суммирования 1=й — 1: ( «»(х) ! ( — 1)' ( х 122-ь(»+«! «1х (, х» ! ~»( Г(! — , '1)Г(1-1-(»-1-1)+1) (, 2 ! «=о = — з',ь! (х), откуда получаем (2.19).
Аналогично доказывается формула (2.20) . Отметим важный частный случай формулы (2.19) при»=0: оо(х) = — l, (х). Произведем дифференцирование в формулах (2.19) и (2.20): »« — з'» (х) —.',(х) =7, ! (х), х Воспользуемся свойством гамма-функции (см. 92, п. 2) г(й+ ) (й ) г(й+ ) =(Уе+ — ) (Уг — — ) — Г( — )= 1 3 5.... (2й+11 Г( 2а+1 'т 2/' Г(й+ 1) 1 3.5 ".(2а — 1] Г(1) где Г ( — ) ='р' и. Подставим (2.24) в формулу (2.22): ( 2 (2.24) ( — 1) а хгат!М 2ье! у!гг (х) =' 1,1 й! 1 3 5....
° (2й+ 1) ~/н 2гаи ь а=о Поскольку 2" И =2 4 б ...,2(е=(2(а)(1 и 1 3. 5.... (2(с+1) 2" й(=(2и+1)!, получим '> Более подробно смс Б е й т м а н Г., Э р д е й и А Высшие трансцендентные функции. Т. 2. Мс Наука. 1966. С 18, 19. И 2 а"1 а хта+с / 2 У!гг(х) =~ — ~'( — 1)" = у — ейп х. пх (2й+ !)! рт а=о Аналогчно из формул (2.23) и (2.24) получим У 2 2 — гм (х) = ~/ — соз х. Функции Ушг(х) и 1 шг(х) образуют два линейно независимых ре- 1 шения уравнения Бесселя порядка —, 2 Заметим, что из рекуррентной формулы (2.21) и полученных выражений для функции l!гг(х) и У !м(х) следует представление функций У„.т!!г(х) (и=(-1, + 2,...) в виде*' l„;. Нг (х) = у — Р„( — ) 3!п (х — — ) + их ( (х) ~ 2 +Яа ( ) соз (х )~, где Р„(и) и Я,(и) — полиномы степени не выше и относитель- но и, причем Р,(0) =1, Ял(0) =О.
Отметим также, что цилиндрические функции полуцелого порядка являются единственными цилиндрическими функциями, выражающимися через элементарные. 6. Интегральное представление функций Бесселя Воспользуемся формулой (2.5), в которой положим а=й+т: 1 е ~хы+х) — ~,-х — х — ~ а). Г (Ф+ х+ 1) 2тй,) Подставляя выражение (2.25) в формулу (2.16) для функции Бесселя и меняя порядок суммирования и интегрирования, получим (2.25) х~ 7 ь=а х' (2.26) 1 (е~2(С вЂ” ю 1) г— 41 = — (еи1 — "> — е-цс — Го) = — )х з)й (с — и) = — (х з)п ь, 4 Пользуясь теоремой Коши, выберем в качестве у контур, сох стоящий из луча (+оо, — ~ на верхнем берегу разреза вдоль 2 положительной части вещественной оси, окружности с центром х 1=0 и радиусом †, которая обходится против часовой 2 ' ~' х стрелки, и луча ( —, + со) на нижнем берегу разреза (см, , 2 рис.
4.1). Сделаем замену 1= — е '- "~. При этом контур у на 2 комплексной плоскости 1=1,+Ы, перейдет в контур Се- на плоскости ~=~, +(ьг с соответствующим направлением обхода (рис, 4.2). Учитывая, что Ш = — (Ы~ — = енс — 1 21 Рис. 4.2 Рис. 4.3 н используя формулу (2.26), получим ,у,( ) ~ е — !»»!ирь!м."де 1 2п со Поменяв в последней формуле направление обхода контура Со и обозначив полученный контур через Со, получим ,7,(х) = — ~ е — '»»ысь;»44( .
1 е (2.27) с+ о Эта формула носит название интегрального представления Зоммерфельда для функции Бесселя. Сделав в ней замену $ =Ьо ПРИ Ь" = — ~и+1'~о, а=ь, при ь="ь получим формулу 7 (х) е — !» »ы»»-,!УЯ с(а е — » »ь "; — »1 с(" 1 !, 51пта с 2п л В частности, при т = и / (х) ~ е — г»»ыэтй~ас1а 1 2п — л 3 а м е ч а н и е.
Последний результат следует непосредственно и из формулы (2.27), так как на вертикальных участках контура интегрирования подынтегральные выражения прн т= =и совпадают, а направления интегрирования противоположны. Сделаем в последней формуле замену а=»1!+ —. Тогда, 2 поскольку подынтегральная функция является периодической и интегрирование можно производить по любому промежутку длиной 2п, получим вторую интегральную формулу для функции У„(х): Р „Р (т) с-ысокч+мьдр 2я,) (2.28) с-ы саь т — ~ ( — 1)" 7„, (х) е П= — С поскольку формула (2.28) является формулой для коэффициеятов Фурье этого разложения. 7.
Функции Ханкеля. Интегральное представление Формула (2.27) подсказывает, что можно искать решение уравнения Бесселя (2.!) в форме интегралов на комплексной плоскости вида у (х) = 1 е '- "" '- Ф (ь) с(ь, (2.29) где С вЂ” контур на комплексной плоскости ~=~,+4„концы которого уходят на бесконечность, а функция Ф(~)=е'"'. Контур С может уходить на бесконечность лишь в тех областях, где обеспечена сходимость интеграла (2.29). При вещественном х>0 сходимость интеграла обеспечивается, если мнимая часть з(п ~ меньше нуля: 1Гп 5! и ь = соз ь~ з)з ~~ < О. (2.30) При с,>0 имеем з)з 1т>0, и условие (2.30) выполняется, ес- ли сов~,<0, т. е. при — +2йп<~,< — "" +2/гп, /г е 2, 2 При ~з<б условие (2.30) выполняется, если — — + 2йп < ~, < — + юг е 2.
2 2 Таким образом получаем систему областей (заштрихованных иа рис. 4.3), в которых контур может уходить на бесконечность. Заметим, что введенный ранее контур С,—, по которому ведется интегрирование в формуле (2.27), лежит в данных областях. 7$ Отсюда следует, что для плоской волны а — '"'"'с имеет место разложение в ряд Фурье Покажем теперь, что у(х) удовлетворяет уравнению Бесселя. Обозначим через Е, оператор Бесселя 1.„, [у] = х'у" + ху'+ (х' — т') у, а через К(х, ~) — ядро интеграла (2,29): ,-ымпс Легко убедиться в справедливости формулы Б [К(х, ь)]= — Ксс(х, ь) — т'К(х, Д. Проинтегрируем интеграл Ь[у] по частям, учитывая, что в силу выбора контура С подстановки на бесконечности обращаются в нуль (заметим, что для интеграла (2.29) выполняются условия дифференцируемости под знаком интеграла), получим 1 [у(х)]= — '] Б,[К(х, ь)]Ф(~) Г'= с = — ~ (Ксс(х, Е)+чзК(х, Д) Ф(~) И~ = с = — ~ К(х, ~) (Ф" (~)+т'Ф(')) сЬ",. с Из полученного выражения следует, что при Ф(ь) =а~'< функция у(х), определенная соотношением (2.29), будет удовлетворять уравнению Бесселя 1.„[у] =О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
