Свешников, Боголюбов, Кравцов. Лекции по математической физике (1125176), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Выбирая различным образом контур интегрирования, можно получать различные цилиндрические функции. О п р е д е л е н и е. Функциями Ханкеля первого и второго рода называются функции, определяемые интегралами Н~~~ (х) = — 1 е — '"""с ". И~ (2.31) и,) с, (2.32) где контуры интегрирования С, и С, имеют внд, изображенный на рис. 4.4. Функции Ханкеля первого и второго рода могут быть аналитически продолжены с положительной полуоси х на всю комплексную плоскость с разрезом по отрицательной части вещественной оси.
Рассмотрим некоторые свойства функций Н,'"(х) н Н,"'(х). 1) Функции Ханкеля положительного и отрицательно~о ин,декса связаны следующими соотношениями: Н~'~.(х) =е' Н,'" (х), 7б Рис. 4.4 Ц'~ (х) = е — ' "Н,"~ (х). 2.34) Докажем, например, формулу (2.33).
По определению Н~~' (х) = — е-'"и "с — "Щ 1 с, Сделаем в интеграле замену переменных ~= — л — а, в результате которой контур С, перейдет в такой же контур с изменением направления обхода. Учитывая, что д~= — да, и изменяя направление обхода, снова приходим к интегралу по контуру С~. Ц~~~~(х) е-~хипа+ыа+ыл ~йх — еилЦ~ > (х) с, Формула (2.34) доказывается аналогично с помощью замены ~=я — а. 2) Для функций Ханкеля справедливы рекуррентные соотношения, аналогичные рекуррентным соотношениям для функци Бесселя (см. формулы (2.19) и (2.20)): — (х~Н,0 "(х)) =х Н,"" ,(х). (2. 36) ах Рассмотрим для определенности функцию Ханкеля первого рода и докажем формулу (2.35).
Продифференцируем левую часть формулы (2.35): к ' Н" > (х) — ( ' 1 = — — 1Н,'" (х) — — Н,'" (х)~. (2.37) Из формулы (2.31) следует, что Н,', (к)= — К ( — еайп )е "-"'- " пс. 1 с, С другой стороны, интегрируя правую часть формулы (2.31) по частчм и учитывая, что в силу выбора контура интегрирования подстановки на бесконечности обращаются в нуль, получим Нх0 (х) = — —" ~ соз,", е ех""+".
5(",. (2.39) Подставляя (2.38) и (2.39) в правую часть формулы (2.37), получим (2.35). Формула (2.36) доказывается совершенно аналогично. (2.38) 8. Связь функций Ханкеля и Бесселя. Функция Неймана Из интегральных представлений (2.27), (2.31) и (2.32) для функций Бесселя и Ханкеля первого и второго рода следует формула, выражающая функцию Бесселя через функции Ханкеля; Пусть сначала тФЛ, где и — целое число. Тогда из формул (2.40) и (2.41) следует, что е' (х) е 'хл — У е (х) Н,' '(х) =с' ЯП ЛК еп 42) д (х] е"л — д (х) Н, (х)= — 1 5!П ЛЧ Пусть теперь я — — и. Тогда, применяя правило Лопиталя раскрытия неопределенностей, получим .Г„(х) е ' — у х(х) Н,', ~(х) =1пп; 5!П ЛУ дГ дд т ( 1 де ) †дх ) .- Аналогично ,г„(к) = — (Н,' '(л) — , 'Н~ы~ (х)). (2.40) 2 В силу общих свойств аналитического продолжения это соотношение может быть продолжено на всю комплексную плоское"., с разрезом по отрицательной части вещественной оси.
На основании формул (2.33), (2.34) и (2.40) получаем е' х(х)= — (Н~Е '(х)е" — 'Н,' '(к)е "и). (2.41) 2 Н " (х)=У„(х) — — ~( ~ ) — ( — 1)" ( ") Следовательно, при действительном аргументе х функции Ханкеля первого и второго рода являются комплексно-сопряженными. Из формулы (2.40) вытекает, что при вещественном аргументе функция Бесселя является вещественной частью функции Ханкеля. Определение. Функция Л' (х) = — (Н 01(х) — Н1" (х)) 21 (2 43) называется функцией Неймана. При вещественном аргументе и вещественном индексе функция Неймана является мнимой частью функции Ханкеля первого рода. Функции Ханкеля первого и второго рода выражаются через функции Бесселя и Неймана следующим образом: Н 1,0 (х) = У (х) + 1А', (х), (2.44) Нв11(х)=Т (х) — 1У,(х). Формулы (2.44) справедливы и при комплексном аргументе на всей комплексной плоскости с разрезом по отрицательной части вещественной оси.
9. Линейная независимость цилиндрических функций Для доказательства линейной независимости функций Бесселя и Ханкеля достаточно показать, что их определитель Вронского отличен от нуля в1. Проведем доказательство для функции Ханкеля первого рода. Пусть пока т~п, где и — целое. В силу формулы (2.42) по- лучаем (2. 45) Из формулы (1.4), полученной для уравнения специальных функций, следует, что определитель Вронского, построенный на решениях Х.(х) и У,(х) уравнения Бесселя, должно иметь вид С, Ж'(l„,l,] = — ', (2.46) х где С, — зависящая от т постоянная. Найдем ее. 79 ' Сн: Тихонов А.
Н; Васильева А. Б, Свешников А. Г. Дифференниальные уравнения. М: 1оаука, 1985. Из формулы (2.16) получаем (2.47) = — — у «(х) у«(х) — — у«(х)у «(х)— х х —.) «(х) ( — 1 (2х((х)+х'Ф'(х)) +У,(х)( — ) (2х!2(х)+х«ч)'(х)), (2/ (2/ а заменяя l,(х) и У «(х) по формулам (2.47), (2.48), окончательно получим Гь«[У„з' «] + хЯ (х). (2.50) где функция Я(х) ограничена в точке х=О. Сравнивая формулы (2.46) и (2.50), будем иметь С,=— 2« Г («+ 1) Г (1 — «) Я (х)= О. Используя свойства гамма-функции (см.
~ 2, п. 2), получим 2 х1п и« (2.5!) 80 ,l«(х) = !)ь х ) зь+« Г(а+1)Г(а+«т!) '~ 2 / ь=о =( ' х1«( 1 хьк) ( — 1)" 7 х 1~8 — !! ) 2 ) (Г(«+1) 4 а«4 Г(я+1)Г(х+«+1) ! 2 ) ) 4=1 = ( — "] ~ +х'У (х)), где функция .У(х) ограничена в точке х=О. Аналогично из формулы (2.17) вытекает, что у,(х) = ~ — ] ~ +х'!',7 (х)~, где функция Ц(х) ограничена в точке х=О, Дифференцируя (2.47) и (2.48), имеем .7,(х)= — 7«(х)+ ( — ~ (2хУ(х)+х'У'(х)), (2.49) l , (х) = — — ) , (х) + ( — ] (2хб!(х) + х'47' (х)). х,2! Используя формулы (2.47) — (2.49), определитель Вронского мо;кно записать следующим образом: Подставляя (2.51) в (2.46), имеем )г' [1„1,] = — — гйп пт, 2 (2.52) отсюда с учетом формулы (2.45) г,,(~>] 2~ (2.53) Напомним, что эта формула получена в предположении, что т~ ~п.
Однако из ее вида следует, что она справедлива и при т=п, поскольку в этом случае функции Х (х) и 1,(х) линейно зависимы (см. ф 2, п. 3) и определитель Вронского для них равен нулю. Формула (2.53) также справедлива при любом ч. Поскольку из (2.44) вытекает, что К [/~, Н ~'1] = Л'[у„ 51 ], то с учетом (2.53) получим К[I„У,]= — ' Приведем, наконец, еще одну формулу, следующую из свойств функций Ханкеля и формул (2.44): )Р [У Цм)] Из полученных выражений для определителей Вронского вытекает попарная линейная независимость функций l„(х), Л',(х), (х), Н, (х) при любом т и линейная независимость Х„(х) 0) СП и У,(х) при нецелых значениях т.
Пары линейно независимых цилиндрических функций образуют фундаментальные системы решений уравнения Бесселя. Уместно заметить, что рассмотренные свойства линейной независимости частных решений уравнения Бесселя аналогичны свойствам линейной независимости частных решений з(пйх, совах, е"" е-м" уравнения у" +йту=О. В заключение приведем формулы, описывающие поведение цилиндрических функций при малых значениях аргумента. Из формулы (2.16) вытекает асимптотика в нуле функции Бесселя: У,(х)=[ — ) +... (2.54) 81 Поскольку по доказанному функции Бесселя и Неймана линейно независимы, из формулы (2.54) н доказанной в $ 1 леммы следует, что функция Неймана имеет при т=О логарифмическую особенность, а при тзьО имеет полюс т-го порядка.
Приведем формулы, описывающие поведение функции Неймана прн малых значениях аргумента: А<в(х) = — Гв(х)!п — — ,' и 2 2 в й в (х) = — — ) — ! (и — 1)! +... (п '- 1). и х у Поведение в окрестности точки х=О функций Ханкеля пер<вого и второго рода определяется поведением в окрестности точки х=О функций Бесселя и Неймана и формулами (2.44). 10.
Асимптотика цилиндричсских функций Для дальнейшего изучения свойств цилиндрических функций рассмотрим их поведение при больших значениях аргумента. Будем основываться на интегральных представлениях, полученных в п. 7. Рассмотрим для определенности функцию Ханкеля Н~м ' (х) = — е — '"мой+< " <(г «< 1 (2.55) с, Интеграл (2.55) — это интеграл по комплексной переменной ~, зависящий от параметра х, для оценки которого при х — оо можно использовать метод перевала. Напомним его основные положения *1. Если 1(~) и Ч<(<,) являются аналитическими функциями аргумента 9 в области О, содержашей контур интегрирования С, то при больших значениях аргумента х имеет место асимптотическая формула а х<,<-Я;~ае<<<а<=.вен)Ъ '" е<С< ~Ее<.
<), 1< х !1" (Цв)! с (2.56) где ~о — точка перевала функции 1(~), определяемая условием Г'(йо)=0, а Угол ф Указывает напРавление наискоРейшего спУс- 1 .ка и определяется следующим образом: <р= — (и — агк7 (ьв)) 2 Применяя формулу (2.56) к интегралу (2.55), получим и . л Н, (х) = — е-'"'и +<есЕ = — е<м — е ' ' +0(хр хм) . л х с, (2.57) Формула (2.57) выполняется при условии х»1. Поскольку функция Н«1 (г) является аналитической функцией комплексной переменной г на комплексной плоскости с <о Более подробно смх Свешников А Г, Тихонов А Н Теория функций комплексной переменной.
М.: Наука, 1979. разрезом по отрицательной части вещественной оси, то в силу общих свойств аналитического продолжения формула (2.57) остается справедливой прн (г)»)»! в области )агах~ <и — Ь, Ь>0. При вещественном аргументе х формулу (2.57) обычно записывают следующим образом: (2.58) Учитывая, что при вещественных аргументах функции Ханкеля первого н второго рода комплексно сопряжены, из формулы (2.58) получим следующие асимптотические формулы: К пх Л»(х)= ~/ — 5(п х — — — — )+0(х ).
— 3,'2 1 пх ( 2 4) Из формул (2.59) следует, что при больших действительных значениях аргумента функции Бесселя и Неймана представляют собой осциллирующие функции х, причем их амплитуды убывают с ростом х как х '*, а расстояние между нулями стремится к и. Причем все эти нули, кроме х=О, простые. В самом деле, предположим, что в точке хоФО функция Бесселя или Неймана имеет нуль порядка выше первого.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
