Свешников, Боголюбов, Кравцов. Лекции по математической физике (1125176), страница 8
Текст из файла (страница 8)
С. Адамара, считалось, что некорректно поставленные задачи математической физики не могут служить математическими моделями реальных физических процессов и не заслуживают изучения математиков. Однако последующие исследования и в первую очередь основополагающие работы русского математика академика А. Н.
Тихонова показали, что для весьма широкого класса есстественнонаучных проблем некорректно поставленные задачи являются адекватными математическими моделями. Это потребовало разработки новых эффективных математических подходов к их изучению, что позволило создать устойчивые алгоритмы решения определенного класса некорректно поставленных задач. Для частного случая некорректно поставленных задач, сводящихся к интегральным уравнениям первого рода, эти методы изложены, например, в учебнике А. Б. Васильевой и Н.
А. Тихонова *г. Дополнительные условия, как уже отмечалось, вытекают из физического содержания изучаемого процесса. Как следует из конкретных примеров, рассмотренных в гл. 1, если уравнение содержит производные по времени г (лтФО), т. е. процесс развивается во времени, следует фиксировать некоторое начальное состояние процесса. При этом, очевидно, нужно задать в начальный момент времени (для определенности будем считать при 1=0) значение неизвестной функции и(М, 1) и ее производных до (лт — 1)-го порядка: — =~ра(М), Й=О, 1,..., и — 1.
(1.1) дг» )г=о Условия (1.1) называются начальными условиями. Физически очевидно, что, в том случае, когда процесс развивается в ограниченной области пространства, для однозначного определения этого процесса следует задать условие на границе области. Конкретный вид этого условия зависит от физической задачи. Как было показано в гл. 1 на конкретных примерах, наиболее типичными являются условия вида и — + ри ~ = р(Р, 1) ~ ~ н з, ) а) + ~ ~! Ф О. (1.2) дп Условие (1.2) называется краевым, или граничным, условием. При р=1, а=О оно называется первым краевым условием, или условием Дирнхле, прн р=О, а=1 — вторым краевым условием, или условием Неймана, а в общем случае — третьим краевым условием, Таким образом, полная постановка начально- краевой задачи имеет вид рР, [и) =(.и+/ в 9, (1.3) сс + нм =(ь(Р 1)! Риз ~сс! + !(1~ Ф 0 дп !з — =гр„(М), й.=О, 1,....
т — 1. (1.5) дге )г=е (1.4) ы Смп В а с и лье в а А. Б., Тихонов Н. А. Интегральные уравнения. Иад-во Моск. ун-та, 1989. 42 Естественно, что для эллиптического уравнения (лг=О), описывающего стационарный процесс, начальные условия не нужны. Прежде чем переходить к исследованию задачи (1.3)— '(1.5) и построению ее решения, следует точно определить, что является решением этой задачи. Определение. Классическим решением задачи (!.3)— (1.5) называется функция и(М, г), определенная и непрерывная вместе со всеми производными, входящими в уравнение (1.3), в области 1,1, удовлетворяющая уравнению (1.3) в этой области, непрерывная вместе с первыми производными по М и (т — 1)-ми производными по 1 при Мееп, 1ее[О, 7] и удовлетворяющая граничному (1.4) и начальным (!.5) условиям.
В случае граничного условия Дирихле (а=О) непрерывности первых производных по М в замкнутой области О не требуется. При таком определении классического решения сразу появляются некоторые необходимые условия его существования. В частности, функции 1, р, фо должны быть непрерывны в соответствующих областях. Появляются также условия согласования граничного и начальных условий. При невыполнении этих условий классического решения не существует.
В этом случае можно видоизменить понятие решения и ввести понятие решения в некотором обобщенном смысле. Полная начально-краевая задача (1.3) †(1.5) в силу ее линейности может быть сведена к трем более простым. Эта процедура называется редукцией общей задачи. Пусть функции ин ио и ио являются классическими решениями следующих задач: — =О, Я=О, 1,...,т — 1, дй !г=о (1.7) =О, 5=0, 1,...,т — 1. дй я=о (1.8) Тогда непосредственной проверкой можно убедиться, что функция и=и,+и,+ио является решением общей задачи (1.3) — (1.5). В дальнейшем будет рассмотрена отдельно каждая из задач (1.6) — (1.8).
й 2. ПЕРВАЯ И ВТОРАЯ ФОРМУЛЫ ГРИНА В дальнейшем в нашем курсе широко используются формулы, которые называются формулами Грина. Выведем первую н вторую формулы Грина для общего эллиптического оператора. рР,[иь]=Т.и, в 1',1, а л' +Ди,! =О, рР, [ио] = 1.ио+ ~ в а — +риз~ =О, ди, дл рР, [мо] = 7.ио-Щ в дио а — +ри,[ =р дл — = орд (М), й = О, 1,..., т — 1, (1,6) дй 1 с=о ~ с!!» Ас()> = 1~ пАс(5, (2.1) где п — единичный вектор нормали к поверхности 5, внешней по отношению к области Р.
Формулу Гаусса — Остроградского используем для вывода формул Грина. Пусть в области Р заданы функции и и о, непрерывные вместе с первыми производными в Р и имеющие непрерывные вторые производные в Р(и, оенС»>(Р)()С>'>(Р)). Введем дифференциальный оператор 1а =с)!и (й нгас) и) — ди, где функции >г и >> непрерывны в Р, функция й непрерывно дифференцируема в Р. Рассмотрим интеграл ~ оЕиг()г =- ~ о й и (>г дгаб и) с()г — ~ г>пиг()>. Ь о Учитывая, что об!и(/гига>) и) =г!!н(интас) и) — lг т7 н т7 о, и используя формулу (2.!), получим ди оЕи>Л> = <(> Ею —" с(5 — ~ (>г т7 и >7 о+ див) с()'.
дп о 3 о (2.2) 4>ормула (2.2) называется первой формулой Грина. Поменяем в формуле (2.2) функции и и о местами: иЕо>!)> = (~ Аи — ' г!5 — ~ (и — и т> а + див) с! >'. дп о й О Вычитая (2.3) нз (2.2), получим вторую формулу Грина (иЕи — иЕо) с!)> = $ й ~ и — — и — 1 г(5 дп дп ) о 3 (2.,3) (о 4) ьч См: Ил вин В.
А., Позняк Э. Г Основы математического анализа. Ч. 2. Мл Наука, 1980. Пусть область Р ограничена гладкой замкнутой поверхностью 5. Напомним, что поверхность 5 называется гладкой, если в каждой точке ее существует касательная плоскость (или нормаль) и при переходе от точки к точке положение этой касательной плоскости (нормали) меняется непрерывно. Пусть в области Р задана векторная функция А(М), которая непрерывна в Р и имеет непрерывные первые производные в Р. Тогда для нее справедлива формула Гаусса — Остроградского* > Отдельно выпишем формулы Грина для случая, когда Ря =— би: о Ь иЛ' = (|) о — |(Я вЂ” ~ ху и ху пЛ', да дп (2.5) (поп — ибо)|Л/=$ (о " — и — а) |15. (2.6) да да / $ 3.
ПОЛНЫЕ И ЗАМКНУТЪ|Е СИСТЕМЫ ФУНКЦИИ )1 — ) пар„~~ (е. а=! Другими словами, это означает, что произвольная функция (~ ее1.,(0) может быть с любой наперед заданной точностью аппроксимирована в среднем конечной линейной комбинацией функций данной системы. В дальнейшем будем считать, что система (|ра) ортонормирована: ~ |р„|р Л'=О, п ~т, ((<рД, |о, — — 1.
о Для ортонормированных систем необходимым и достаточным условием полноты является равенство Парсеваля — Ляпунова— Стеклова: для любой функции )е:-т.а(0) (3.!) а! Там жа. Прежде чем переходить к изложению общей схемы метода разделения переменных, напомним некоторые понятия математического анализа а!. Пусть в области 0 задана бесконечная счетная система функций (|р„(М))|, интегрируемая с квадратом в Р ((!р„)ее ~~ 2 (Р) ) ° 0 п р е д е л е н и е. Система функций (!р„(М))~ называется замкнутой в Ра(0), если не существует функции ~~У.,(Р), отличной от тождественного нуля, ортогональной ко всем функциям данной системы, т, е, если ~~|р„||У'=О при всех и, то |=О. й 0 п редел е н не.
Система функций (!р„(М))~ называется полной в Ьа(0), если для любой функции (~Еа(0) и любого е>О существуют число Й|(в) >О и коэффициенты аь ..., ан такие, что где 1', — коэффициенты Фурье функции 1(М): ~„= ~ уф„аУ. о (3.2) Замкнутость системы есть следствие ее полноты. Действительно, пУсть фУнкциЯ 1еиЕв(Й) оРтогональна всем фУнкциЯм системы (фа): ~ ~ф„с(У = 1„=- О, и = 1, 2,..., оо. о Если система (ф.) полна, то в силу (3.1) Отсюда следует, что )в = 0 в Ез(х)), т. е. система (ф ) замкнута. Можно показать, что полнота системы в Ез(О) есть следствие ее замкнутости*0 Таким образом, понятия полноты и замкнутости в пространстве Ез эквивалентны.
Заметим, что для любой функции (~Ез(хт) ряд Фурье по полной ортонормированной системе сходится к этой функции в норме 1.5. Примером полной и замкнутой системы может служить тригонометрическая система 1, со5х, 51пх,...,со5пх, 5!ппх, — ((с(х) — ) — ду+)ьу=О, а(х(Ь, д г аут дх (, дх ) у(а)=0, у(Ь)=0, у(х)=„ьО. $4. ОБШАЯ СХЕМА МЕТОДА РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ ДЛЯ ОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ Метод разделения переменных, или метод Фурье, состоит в построении решения начально-краевой задачи в виде ряда по некоторой ортонормированной системе функций, причем эта система функций естественно возникает из самой задачи. ь' Смз Ильин В.
А., Поз н як 3. Г Основы математического анализа. Ч. 2. Мл Наука, Г950. на отрезке ( — и, и] или система собственных функций задачи Штурма — Лиувилля для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка вида Рассмотрение метода Фурье начнем с наиболее простой задачи (1.6): рР,[и) =Ли в Я, а — +ри~ =О, ди дл дои — =«ри(М), л=О, 1,...,т — 1.
дж [~=о (4.1) (4.2) (4.3) Прежде всего построим систему функций, по которой удобно разлагать решение задачи (4.!) — (4.3). Для этого рассмотрим вспомогательную задачу: найти нетривиальные в Я решения уравнения рР, (и[= Е.и, (4.4) удовлетворяющие однородному граничному условию а — +ри~ = 0 ди дл (4.5) н представимые в ниде и(М, ()=о(М)Т(1)„-ь О. (4.6) Подставляя искомый вид (4.6) решения в уравнение (4.4), получим тождество Р~[Т[ Ео = — = — — Л. Т ро Отсюда получаем 1.о+ Лро = О, о (М) Ф О, М,~ О, Р,[Т)+ЛТ=О, Т(!) ~ О, Е~О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
