Свешников, Боголюбов, Кравцов. Лекции по математической физике (1125176), страница 6
Текст из файла (страница 6)
(3.5) Из уравнения (3.4) следует, что можно ввести скалярную функцию и(М) — потенциал поля, через который вектор Е(М) выражается согласно формуле Е = — афтаб и. го!Е= — р, б!чЕ=О ди д! Пусть в системе установились электромагнитные колебания с частотой юю. Тогда векторы Е и Н можно искать в виде Е(М Г) =Ею(М)е — '~', Н(М ') =Ню(М) е-'~'. (3.11) Векторы Ею(М) и Ню(М), зависящие только от пространственных координат, обычно называют комплексными амплитудами электромагнитного поля в случае установившихся колебаний. Подставляя (3.11) в уравнения (3.9) и (3.10) и сокращая на множитель е-'"', получим го1Ню.= йюю'Ею г(!чНю=О (3. 12) (3.!3) ' го! Е,=йюрНю, г)!чЕ,=О, где е' = е + ! — †комплексн диэлектрическая проницаемость Из уравнений (3.12), (3.13) получим дифференциальные уравнения второго порядка для векторных функций Ею и Ню.
т7 юЕю+ люЕю = О СгюНю+ й~Ню '= О (3.1 4) где й'=юююе'1ю, а оператор «набла квадрат» имеет вид Ю=дгаб б!т — го! го1. Уравнение (3.14) носит название векторного уравнения Гельм- гольца. б. Постановка краевых задач Особенностью задач, описывающих стационарные процессы, является отсутствие начальных условий. Поэтому такие задачи всегда краевые. Типичным примером краевой задачи, моделирующей стационарный процесс, является следующая: г)1ч (А нгаб и) — йи = — ~, М ~ О, (3.13) а (Р) — ".+ () (Р) и = р (Р), Р ен 5, дп д где 0 = Р(У5 †облас с границей 5, — †производн по нормадя ли к поверхности 5, а(Р), р(Р), 1ю(Р) — заданные функции.
Для краевых задач, описывающих стационарные процессы, возможны предельные случаи, когда область 0 является неог- раниченной или внешней относительно замкнутой поверхности 5. В этом случае помимо граничных условий для выделения единственного решения необходимо поставить условия на бес- конечности.
Более подробно эти вопросы будут рассмотрены в последующих главах для конкретных краевых задач. ло 5 4. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ В заключение сделаем несколько общих заме- чаний, 1. На основании рассмотренных примеров можно заключить, что для многих физических процессов, описываемых изменением определенных физических величин в пространстве и во времени, математическими моделями являются начально- краевые (или краевые) задачи для линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка.
2. Различные по своей физической природе группы процессов в том случае, когда они имеют общие, наиболее характерные аспекты, описываются одними и теми же математическими моделями. Например, для процессов колебаний различной физической природы (упругие колебания сплошной среды, акустические и электромагнитные колебания и др.) общей математической моделью служит начально-краевая задача для уравнения (1.39).
Задачи, связанные с массо- или теплопереносом независимо от физической природы процесса сводятся к математическим моделям, заключающимся в решении начально-краевых задач типа (2.13). Наконец, общей математической моделью для таких совершенно различных по своей физической природе стационарных процессов, как задачи электростатики, статические задачи теории упругости, задачи стационарного распределения тепла, установившиеся колебания материальных сред и многие другие, служит одна и та же краевая задача типа (3.15). 3 Эти классы математических моделей существенно различаются между собой главными членами в уравнениях, описывающими изменение исследуемых величин во времени. В первом случае (процессы колебания) уравнение содержит вторую частную производную по времени, во втором (процессы переноса) в уравнение входит лишь первая частная производная по времени, в случае стационарных процессов вообще отсутствует частная производная по временной координате.
4. Дифференциальные уравнения приведенных типов математических моделей представляют собой основные дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка классической математической физики. Основной задачей данного курса являются изучение общих свойств решений данных ~ивов уравнений и разработка общих алгоритмов решения соответствующих начально-краевых задач. При этом возникает естественный вопрос: исчерпывается ли все многообразие линейных дифференциальных уравнений в часзных производных второго порядка данными типами уравнений? Исследованию ряда аспектов этого вопроса посвящена следующая глава.
Глава и КЛАССИФИКАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА Как было указано в предыдущей главе, многие физические задачи приводят к уравнениям в частных производных второго порядка относительно искомой функции. Общий вид таких уравнений следующий: 'л где (хь ...,хл) — независимые переменные, и=и(х„., х„) — искомая функция, à — заданная функция. Уравнение, линейное относительно старших производных, имеет вид ~~~~~~аи +ф(х!, ..., хл,—, ..., — ) =-О, !=! у=-! где коэффициенты а„являются функциями только независимых переменных х„..., хл.
Если они зависят также от и и ее первых производных, то уравнение называется квазилинейным. Уравнение называется линейным, если оно линейно не только относительно старших производных, но и относительно и и ее первых производных. Такое уравнение имеет вид л л л ~~~~~~~а!1(Хм ..., Хл) " +~~1~~Ь,(Х,, ..., Хл) З" + (=! 1=! !.= ! +с(х,, ..., х )и=)". (х!, ..., х ). В этой главе будет дана классификация уравнений в частных производных второго порядка. $1. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ Рассмотрим уравнение второго порядка, линейное относительно старших производных, для неизвестной функции и двух независимых переменных х и у: апи,„д 2а„и,„+ими„л-~- Е(х, у, и, и„ил) =О, (1.1) где действительные функции аи зависят от х и у и определены в области Р.
Будем считать, что все коэффициенты аи одновременно в нуль не обращаются. Введем новые независимые переменные (1.2) 5= 5(х у) Ч =Ч(х у) где функции $ и Ч дважды непрерывно дифференцируемы: 1 Ч~~' '(Р) Будем считать, что это преобразование осуществляет взаимно однозначное отображение области Р на область Р'. Для этого потребуем, чтобы якобиан преобразования был отличен от нуля: — — — — -ь О.
Ф($ Ч)' Я(х, и) Попытаемся преобразование (1.2) выбрать таким образом, чтобы в новых переменных уравнение (1.1) имело наиболее простую форму. Преобразуем уравнение (!.1) к новым переменным, полагая У($, т)) =и(х(С, Ч), у(С, т!)), и„=УД„+У„Ч„, и„=УД„-)-У т)„, и„„= У!1~~+ 2УЗ,Д,Ч, + У„т), + УЗД„+ Уч ~ и,т=УИ$ +2У34тЧ„+УччЧ,'+Ж +УчЧим и„„= УааД„+ У!, а,Ч„+ ~,Ч.)+ У.,Ч.Ч„+ УД.„+ У.Ч.„.
В новых переменных уравнение (1.!) принимает вид аттУ!1+ 2аттУ3„+ а„У„„+ Г = О, (1. 4) где (1.8) Теперь можно ввести следующую классификацию уравнений, линейных относительно старших производных. Определение. Если в точке Мо(хм ус) а'тт — апатт)0, то уравнение (1.1) называется уравнением гиперболического типа в МЫ если в точке М, атм — апатт(0, то УРавнение (1.1) 33 2 Зак 361 2 2 а„= а,Д, + 2атДЯц+ а,Д„, (!.5) а„= аттЧ„'+ 2аттЧ,Чд+ аттЧт, (!.6) а„=-а Ь,Ч,+атт(С,Ч„+СтЧ.)+а 1,Чт (1.7) г"=ГЯ, т), У, Уа, У„) — функция, не зависящая от старших производных.
При этом непосредственной проверкой можно убедиться в справедливости тождества т 2 ! )Э($. Ч) ам — а„а„= (ам — ама„) ~ В (х, у) называется уравнением эллиптического типа в Мо! если в точке Мо а',г — апагг=О, то уравнение (1.1) называется уравнением параболического типа в Мо. Заметим, что согласно (1.8) н любой невырожденной замене переменных тип уравнения не изменяется. Если тип уравнения сохраняется во всех точках области Р, то уравнение называется уравнением данного типа во всей области Р. Если в разных точках области уравнение принадлежит разным типам, то оно называется уравнением смешанного типа в области Р.
Отметим еще одно обстоятельство, которое потребуется в дальнейшем. Рассмотрим квадратичную форму, составленную из старших коэффициентов уравнения (1.!), взятых в точке Мо(хо уо): г г ам(х„уо)1~+2агг(хо, уо)!г!а+ага(хо, у,)1г. (1.9) Классификация уравнения (1.!) совпадает с классификацией квадратичной формы (1.9) й 2. ПРИВЕДЕНИЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ Теперь выясним, как нужно вводить новые переменные $ и ть чтобы уравнение (1З) приняло наиболее простой вид.
Будем считать, что уравнение (1.1) принадлежит определенному типу во всей области Р и коэффициенты ап(х, у) и агг(х, у) одновременно в нуль не обращаются. В противном случае уравнение (1.1) содержит только одну старшую производную ила и уже имеет простейший вид. Для определенности считаем, что ап(х, у)ФО. Из соотношения (1.5) видно, что, для того чтобы а„=О, нужно в качестве функции $(х, у) взять решение уравнения а„ге+ 2а„г,го + а„г' = 6. (2.!) Уравнение (2.1) называется характеристическим уравнением для уравнения (1.1).
Разрешая (2.1) относительно г„, можно его переписать в виде (г, + Л,(х, у) г ) (г„ + Лг(х, у) г„) = О, где Л, и Л, — корни уравнения а„Л' — 2а„Л+ а„= О. Они равны аы-ь е о~г — омам г/' г Лсг= ли *~ См., например: Ильин В. А., Р1оаняк Э. Г. Линейная алгебра. Мп Наука, 1984. Следовательно, уравнение (2.1) эквивалентно двум линейным уравнениям в частных производных первого порядка: г„+Л,(х, у) г„=О, (2.2) г„+Л,(х, у) га —— О.
(2.3) Как известно *1, для построения общего решения линейного уравнения в частных производных первого порядка достаточ" но найти интеграл соответствующего характеристического урав. нения. Для уравнений (2.2) и (2.3) характеристическими уравнениями являются уравнения — =Л,(х, у) и — =Л,(х, у). ау ау ах нх (2. 4) и,„=г,а, ч, и, и,, и„). (2.6) Форма уравнения (2.6) называется канонической формой уравнения гиперболического типа. Часто используется и другая каноническая форма, которую можно получить заменой а= $ — О), ~= — (~+и).
1 1 2 2 В этом случае уравнение имеет вид 脄— и,„=г,. (2.7) Пусть в области е1 уравнение (1.1) есть уравнение эллип- 2 тнческого типа, т. е, а~а — амааа(0 в О. Тогда уравнения ха) Смл Тихонов А. Н., Васильева А. Б., Свешников А. Г. Дифференциальные уравнения. Мл Наука, 1985. Уравнения (2.4) называются уравнениями характеристик для уравнения (1.1), а их решения — характеристиками. Таким образом, если $(х,у)=С является интегралом уравнения (2.4), то функция г=Цх, у) есть решение уравнения (2.1). Рассмотрим теперь каждый тип уравнения отдельно. Пусть в области В уравнение (1.1) является уравнением гипеРболического типа, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
