Свешников, Боголюбов, Кравцов. Лекции по математической физике (1125176), страница 7
Текст из файла (страница 7)
е. всюдУ в 11 аа„— аиаае)0. Тогда всюду в области 0 Л,(х, у) эьЛг(х, у) и действительны. Никакие две характеристики из разных семейств $(х, у) =С, и а)(х, у)=С, (2.5) не касаются друг друга. Эти два семейства образуют криволинейную координатную сетку. Выбрав $=$(х, у) и т1=т1(х, у), где $(х, у) и т1(х, у) определены из (2.5), получим ам=0, ааа=О. Следовательно, уравнение (1.4) после деления на а,аФО принимает вид зз рактеристик (2.4) при действительных коэффициентах ап имеют комплексно-сопряженные правые части. Все характеристики будут комплексными. Считая, что коэффициенты ап определены в комплексной области и аналитичны и делая формальную замену $ = $ (х, у), т( = $' (х, у), (2.8) илн и„— и„„= у (й, 1, и, (у,, и,); где $(х, у) =С, н $*(х, у) =Сз — комплексно-сопряженные интег- ралы (2.4), получим уравнение и,„=г, в комплексной области.
Если сделать еще одну замену а = — Я+ ц) = Ке $, р = — — ' ($ — т)) = 1т $, 2 2 уравнение (2.8) примет вид (у +('ав=гх (2.9) уже в действительной области. Уравнение (2.9) есть канониче- ский вид уравнения эллнцтического типа. Рассмотрим, наконец, уравнение параболического типа в об- ласти .0: а,',— а1ха„=О в О, Х,(х, у)= Х,(х, у). В этом слу- чае существует только одно уравнение характеристик — =Х,(х, у).
ву Нх Пусть $(х, у)=С вЂ” его интеграл. Возьмем произвольную дваж- ды дифференцируемую функцию т1(х, у) такую, чтобы ~ О. (2.10) В (х, у) Тогда прн замене ~=$(х, у), Ч=п(х, у) коэффициент ам —— 0 в силу (2.1) и а,', =О, так как а~1,— ама„=О, Коэффициент а„чьО, так как в противном случае будет не выполняться (2.10). Следовательно, уравнение (1.4) принимает вид У„„=рь (2.1! ) Уравнение (2.11) представляет собой каноническую форму уравнения параболического типа. Итак, в случае двух независимых переменных существуют только три различных типа уравнений в частных производных второго порядка, канонические формы которых имеют следую- щий вид; а) для уравнения гиперболического типа: и-„,=г(й, гь и, и,, и„) б) для уравнения параболического типа: (учч = лй Ч ~ (.!ь г)ч).
Как следует нз рассмотренных в гл, 1 примеров, если трактовать переменную $ как временную переменную 1, то уравнения гиперболического типа в случае двух независимых переменных являются математической моделью процессов пространственно- одномерных колебаний любой физической природы, а уравнения параболического типа описывают процессы переноса. Если в уравнении эллиптического типа обе независимые переменные С и и играют роль пространственных переменных, то это уравнение служит математической моделью стационарных процессов и, в частности, установившихся колебаний. Отметим еще раз, что приведенная классификация справедлива во всей области й, где уравнение сохраняет определенный тип.
$ 3. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ В СЛУЧАЕ МНОГИХ НЕЗАВИСИМЪ|Х ПЕРЕМЕННЫХ Кратко остановимся на классификации уравнений второго порядка в частных производных в случае многих независимых переменных. Рассмотрим опять уравнение, линейное относительно старших производных: !! л ~~~ ~~~а!! (х„..., х,„) " +!' =О, 1=! 1=! (3.1) ди ди где Е =Е (х!, ..., х„, и, дх, дх„! Пусть М,(х,', ..., х„о) — точка области 1). Построим квадратичную форму и о Х Е ап(хо, ..., хо) ГА. !=! (=! (3.2) При этом в правой части уравнения — функции г' — обязательно должна присутствовать первая частная производная У! по независимой переменной $, вторая частная производная по которой в уравнении отсутствует. В противном случае исходное уравнение в частных производных вырождается в обыкновенное дифференциальное уравнение по переменной Ч, в котором переменная $ играет роль параметра; в) для уравнения эллиптического типа; Невырожденным линейным преобразованием и з; =,1'~ А!;г;, ! = 1, 2, ..., и, де1 й Ап!) Ф 0 ! =1 квадратичная форма всегда может быть приведена к каноническому виду Е л!5!!.
ь=! (3.3) зв При этом согласно теореме инерции число положительных, отрицательных и равных нулю коэффициентов Л, в каноническом виде квадратичной формы является инвариантом и не зависит от линейного преобразования. На основе этого производится классификация уравнения (3.1). Выделяются три основных типа уравнений. Если в точке М!! квадратичная форма в каноническом виде (3.3) имеет все коэффициенты одного знака, то уравнение (3.1) в этой точке называется уравнением эллиптического типа; если все Л,ФО, но существуют .как положительные, так и отрицательные Ль то уравнением гиперболического типа; если хотя бы один из ко- эффициентов Л! равен нулю, то уравнением параболического типа.
Может быть проведена и более подробная классификация (необходимости которой в случае двух переменных не возникает). Например, в случае уравнений гиперболического типа возможны следующие случаи: один коэффициент — одного знака, для определенности, Л!>О, а остальные — другого (Л!<О, !=2, „,, п) — уравнение (3.1) называется уравнением нормального гиперболического типа; Л„..., Ль>0, Ль+„..., Л„<0 — уравнение ультрагиперболиче- ского типа, В случае уравнения параболического тица возможностей больше: Л,=О, Лм ..., Л„>0 (одного знака) — уравнение эллипти- чески-параболического типа; Л! — — О, Лм ..., Л,ФО, но разного зна- ка — уравнение гиперболически-параболического типа е разде- лением на нормально гиперболически- и ультрагнперболнчески- параболического типа.
Дальнейшая классификация проводится, когда несколько Л; обращаются в нуль. В этом случае уравне- ние называется ультрапараболическим с дальнейшим делением в зависимости от знаков остальных Ль Классификация уравнения (3.1), как и прежде, проводится в отдельной точке Мь Интересен вопрос: возможно ли в случае многих переменных привести единой заменой переменных 0 уравнение . , в (3.1), в том случае, когда оно принадлежит к одноеском му и тому же ти~у во всех точках области О, к канонич у виду в некоторой окрестности точки Ма? При такой замене переменных, как легко проверить, уравнение (3.1) принимает внд ~~ ~~ ~ ан +Р = О, ! — — 1 !'=1 где функция Р не зависит от вторых производных функции и„ а коэффициенты ап имеют вид (3.4) л и !=!с=! На деталях этой процедуры мы не останавливаемся.
л л с1 %-1 д$, Ф а!!=хт хт а з — —, хт.1 Ь з. Зхз ' а=! з.=! Чтобы обратились в нуль коэффициенты при смешанных вторых производных (ап=О, 1Ф1), функции $!(х„...,х„) должны а (л — 1) удовлетворять уравнениям. Это число больше п (чис- 2 ла функций 5!) при п)3. Следовательно, привести к каноническому виду уравнение (3.1) сразу в некоторой окрестности точки, вообще говоря, нельзя (при этом, конечно, исключается случай уравнения с постоянными коэффициентами).
Процедура приведения уравнения (3.1) к каноническому виду, как в случае двух переменных, связана с решением характеристического уравнения, которое согласно (3.4) имеет вид Глстап Ш МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ. РАЗЛОЖЕНИЕ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ ЗАДАЧИ ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ РР,[и[=1и+/(М, О, Еи=с)спт(сг(М)йгас)и) — с)(М) и, где Рс[сс) =Ъс~~ас (У) — ", р(М), я(М), и(М) — функции переменной М в области О, ограниченной замкнутой поверхностью 5; ас(1) — непрерывные функции переменной ~я[0, Т); р, с(с=С(ТУ), йееСссс(сс), р, й> )О, д>0.
Уравнение рассматривается в области О=ОХ (О, Т). Заметим, что при т=2 это уравнение гиперболического типа, при т=1 — параболического, при т=Π— эллиптического. В случае т=О область С;С отождествляется с областью Р. $ Е ПОСТАНОВКА НАЧАЛЬНО-КРАЕВЪ|Х ЗАДАЧ При решении дифференциальных уравнений можно ставить различные цели. Можно искать общее решение уравнения или искать некоторое частное решение, удовлетворяющее некоторым дополнительным условиям. В нашем курсе мы исхо- 40 В предыдущих главах рассмотрены некоторые физические задачи, приводящие к уравнениям в частных производных второго порядка, и приведена классификация уравнений. Уравнения каждого типа (гиперболического, параболического и эллиптического) обладают рядом специфических свойств, и для них разработаны свои методы решения и исследования, Но существуют и общие методы, применимые для уравнений всех типов.
Один из таких методов — метод разделения переменных, или метод Фурье, — будет изложен в настоящей главе. Это один из самых старых и распространенных методов аналитического решения уравнений. Метод Фурье будет рассмотрен на примере уравнения более общего, чем те, которые рассмотрены ранее.
Это уравнение будем записывать в виде дим из того, что каждое изучаемое уравнение в рамках определенной математической модели описывает некоторый реальный физический процесс или явление, состояние которого однозначно определено. Поэтому основное внимание будет уделено исследованию полной математической модели явления, т. е. решению дифференциального уравнения со всеми дополнительными условиями, однозначно определяющими это явление. Сразу возникает вопрос: сколько дополнительных условий должно быть и какие это условия? Дополнительные условия всегда вытекают из физической постановки конкретной задачи и определяются ее природой. Однако очевидно, что с математической точки зрения они должны удовлетворять следующим требованиям: 1) дополнительные условия должны выделять единственное решение (т.
е. этих условий должно быть не слишком мало); 2) решение, удовлетворяющее всем дополнительным условиям, должно существовать (т. е. условий должно быть не слишком много, так чтобы задача не оказалась переопределенной). Кроме того, желательно, чтобы дополнительные условия были таковы, что решение мало изменяется при малых изменениях дополнительных условий. В этом случае говорят, что решение устойчиво по отношению к этим условиям (при этом, конечно, нужно определить, как понимается малость изменения дополнительных условий и решения). Этому требованию удается удовлетворить не всегда, так как дополнительные условия вытекают из физической постановки задачи.
Если задано дифференциальное уравнение со всеми дополнительными условиями, будем говорить, что поставлена начально-краевая задача (или краевая задача — для уравнения эллиптического типа). Задача называется корректно поставленной, если: 1) решение существует; 2) решение единственно; 3) решение устойчиво по отношению ко всем дополнительным условиям. В том случае, когда эти требования нарушаются, задача называется некорректно поставленной. До середины нашего века, главным образом под влиянием высказываний французского математика Ж.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
