Свешников, Боголюбов, Кравцов. Лекции по математической физике (1125176), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Прямоугольный параллелепипед. Задача Штурма — Лиувилля для оператора Лапласа в прямоугольном параллелепипеде имеет вид ,аг Ли+Хи=О, 0<х<а, 0<у<Ь, 0<г<с, ди С ди Р,(и)=а,— — рси~ =О, Р,(и)=а,— +($»и =0 д» ~» о дх Р,(и)=а — — рои~ =О, Р,(и)=໠— +р сс! =О, дно~=о=од Р,(сс)=ао — рои =О, Р,(и)=ао — +пои =О, д» С»=о дг !»=» а„Рс=сопз(, (ссс(+ (()с! ~0, 1=1, 2,...,б.
Используя результаты п. 3 этого параграфа, легко показать,. что собственные функции и собственные значения для прямоугольного параллелепипеда имеют вид и„„о (х, у, г) = Х, (х) У„(у) 2„(г), )ь тА р»+ты+~со где (Х„(х), р,), (У„,(у), т ), (Уд(г), х„) — собственные функции и собственные значения соответствующих одномерных зада г Штурма — Лиувилля по каждой переменной.
На доказательстве. этого утверждения мы не останавливаемся, поскольку оно полностью аналогично приведенному в п. 3. Задачи Штурма — Лиувилля для некоторых других областей будут рассмотрены в следующей главе„ после того как будут. изложены необходимые сведения о специальных функциях.
Глава 1Р СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ Собственные функции задачи Штурма — Лиувилля для оператора Лапласа могут быть найдены аналитически только для очень небольшого числа областей. В самых простых случаях (отрезок, прямоугольник, прямоугольный параллелепипед) они выражаются через элементарные функции, что показано в $8 гл. 1П. Для некоторых областей (круг, круговой цилиндр, шар и другие области) собственные функции выражаются через так называемые специальные функции. В этой главе будут рассмотрены наиболее часто встречающиеся специальные функции — цилиндрические функции, классические ортогональные полиномы, присоединенные функции Лежандра, сферические функции, шаровые функции.
$ Ь УРАВНЕНИЕ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ И СВОЙСТВА ЕГО РЕШЕНИЙ Специальные функции одной переменной, кото- рые будут изучены в этой главе, являются решениями обыкно- венного дифференциального уравнения Яи (х) = О, х ее (а, Ь), (1.1) где оператор Я' имеет вид в г ии~ ,хи= — (й(х) — ) — а(х) и. ° ) Предположим, что коэффициент й(х) удовлетворяет следую- щим условиям: а) й(х) >О при хее(а, Ь), (1.2) б) й (х) = (х — а) (р (х), где Ф(х) — непрерывная на отрезке [а, ь) функция и ~р(а)ФО, т. е.
коэффициент й(х) имеет в точке х=а нуль первого по- рядка. Таким образом, точка х=а, в которой коэффициент при старшей производной уравнения (1.1) обращается в нуль, яв- ляется особой точкой этого уравнения. Имеет место следующая лемма. (1.5) Л е м м а ' 4.1. Пусть и1(х) и иг(х) — два линейно незави- симых решения уравнения (1.1), коэффициент й(х) которого удовлетворяет условиям (1.2). Тогда, если и, (х) — ограничен- ное решение, имеющее конечный предел в точке х=а, то второе решение и2(х) при х- а является неограниченным. Причем ес- ли и,(а)ФО, то иэ(х) имеет в точке х=а логарифмическую осо- бенность, а если и, (х) имеет в точке х=а нуль ч-го порядка, то функция и,(х) имеет при х=а полю. "т-го порядка. Д о и а з а т е л ь с т в о.
Пусть и, (х) — ограниченное решение уравнения (1.1), представимое в виде и,(х)=(х — а) о(х), ч ьО, (1.З) где о(х) — непрерывная на отрезке [а, 5] функция, причем о(а)ФО. Функция и~(х) ограничена в точке х=а при о=О и имеет в этой точке нуль ч-го порядка при т)0. Представим линейно независимое решение ит(х) в виде квадратуры через функцию и,(х). Очевидно и,Ыи,— и,Яи,=(/г(х)(и,и,'— и,'и,О'=0 откуда вытекает, что определитель Вронского, построенный на решениях и,(х), ит(х), имеет вид %'[ии и,]=и,и,' — и,'и, = —, С (1.4) й (х) где постоянная С не равна нулю, так как по условию решения и, (х) и ит(х) — линейно независимы.
Поделив обе части формулы (1.4) на и1т(х), получим Проинтегрируем последнее уравнение в пределах от хь до х: и,(х)=,(х) ~~, + С, Сйа ) й (а) и1~(а) «« Нас интересует поведение решения, линейно независимого от и,(х). Поэтому постоянную С, можно положить равной нулю, так как слагаемое С,и, (х), линейно связанное с и1(х), ведет се- бя так же, как функция и|(х). Кроме того, поскольку уравне- ние (1.1) является однородным, то функции и1(х) и ит(х) оп- ределяются с точностью до произвольного постоянного множи- теля и можно положить С=!. Выберем, наконец, хь так, чтобы функция о(х) не обращалась в нуль на отрезке (а, хь].
Это, оче- видно, возможно, поскольку о(х) непрерывна на отрезке [а, О] и о(а)~0. В результате, сохраняя для решения, линейно независимого с и,(х), обозначение и2(х), получим « ,()=,()1 1 ь (а) и[(а) «« Подставим (!.2) и (1.3) в интеграл (1.5 )и обозначим «р (х) = ~~ (х) о' (х). 3 з««. зм аь При нашем выборе х, функция ф(х) отлична от нуля на отрез- ке [а, ка), Воспользовавшись теоРемой о сРеднем, полУчим длЯ хя(а, ха) к х и.
(х) = и, (х) ~, = (х — а)' о (х) ~ Йх О аи а (и) и, (и) (и — а)ач+' Ф (и) Ко х~ 1п (и — а) ) х при ч = О, (х — а)ч а (х) ( !х Ф (х*) при ч)0, 2ч (и — а)ьх где х' ~(х, х,). Таким образом, и,(х) =),(х)+)а(х, х ), где 1п(х — а) при ч = — О, (,(х) = а (х) 1 Ф (х*) ~ х при ч)0 2ч (х — а)" — 1п(х,— а) нри ч = О, ( -а)' (х) /а (х ха) 1 Ф (х') при ч>0.
2» (х, — а)ах Из последних формул следует, что функция ),(х, ха) остается ограниченной при х- а, а функция ),(х) при х-а-а неограниченно возрастает либо как 11п (х — а)(, либо как (х — а)-", что и доказывает лемму. ° $2. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 1. Уравнение Бесселя Уравнением Бесселя, или уравнением цилиндри- ческих фуниций, называется уравнение вида 1 а ! ау — — (х — )+(1 — — ) у=О. (2.1) к ах ах ) , ха, Оно может быть получено из уравнения (1.1) при й(х)=х н чй д(х) = — х+ —, Любое ненулевое решение уравнения Бесселя называется ци- линдрической функцией, Нашей ближайшей задачей будет изу- чение основных свойств цилиндрических функций.
Заметим, что уравнение (2.1) можно записать в эквивалент- ном виде (2. 2) х'у" (-ху'+ (х' — ч') у = О. 66 2. Свойства гамма-функции Напомним некоторые свойства гамма-функции, которые понадобятся нам в дальнейшем. Гамма-функцией Г(в) называется интеграл Г(г) = ~ е / г)/, о где и — комплексный аргумент, реальная часть которого положительная — Ке г)0. Нам понадобятся следующие свойства гамма-функции а!: 1) Г(1)=1, Г ( — ) = !/и. г 2/ 2) Г(г+1)4 гГ(г). В частности, если г=п — натуральное число, то Г(п + 1) = п1 3) Теорема умножения: (2,3) Г(г) Г(1 — а)= а!н яа 4) Представление в виде контурного интеграла Римана — Ханкеля (2.4) где у — любой контур на комплексной плоскости 1, обходящий точку 1=0 против часовой стрелки и концы которого уходят на бесконечность вдоль положительной вещественной оси.
Например, это может быть контур, изображенный на рис. 4.1 (1= =И+ П,). Заметим, что интеграл Римана — Ханкеля (2.4) определяет гамма-функцию всюду на комплексной плоскости н. При = — и, где лъ0 — целое число, гамма-функция имеет полюсы. 5) Из формул (2.3) и (2.4) получается полезная для дальнейшего формула чфт 1 агяк и = — ~ е '! ' ' г(!. (2.5) Г (г -1- ! ) 2и! 7 Рис.
4.! м См; И л ь и н В А, По а н я к Э Г. Основы математического аналиаа. Ч. 2. Мл Наука, 1980. 87 В самом деле, 1 Мпп(1+я) . е)ппе Г(2+1) Л и е-!чг е~™ !Йе Г -! 1- -!,(! ° Г -ег- -!,(! 2л! (е еече — 1) ) 2я! ) т т 3. Степенной ряд для функций Бесселя Будем рассматривать случай ч) О. Из формул (2.1), (2.2) следует, что уравнение Бесселя имеет особую точку х=О. Поэтому его решение у(х) можно искать в виде обобщенного степенного ряда (этот метод называется методом Фробениуса) ОЭ У(х)=хе(ае+а,х+... +а„х" +...)= ~ а„,х'+, (2,6) я=0 где а,ФО и о — некоторая постоянная. Подставив ряд (2.6) в уравнение (2.1), из требования обращения в нуль в полученном выражении коэффициентов при всех степенях х будем иметь следующие рекуррентные соотношения: а, (о' — т') = О, а, [(о+ 1)е — те[ = О, ае [(о+ 2)' — че)+ ае — О, (2.7) а„,[(о+т)' — те)+а е=О, т=2, 3, Из первого уравнения (2.7) вытекает, что о' — те=О, или о = -+ т.
(2 8 Как легко установить, прн тФ вЂ”, т=), 2, ..., выполнено ус- 2 ловие (2.9) (о+ т)' — че ~ О, т = 1, 2, . Из второго уравнения (2.7) прн о=-~-т следует, что а! — — О. (2.10) 68 Условие (2.9) дает согласно уравнению (2.7) рекуррентную формулу а , и = 2, 3, ... (2.1 1) (о+ т+ т) (о+ ее — т) Из формул (2.10) и (2.11) вытекает, что все нечетные коэффициенты равны нулю. а) Рассмотрим случай о=ч.
Положим в формуле (2.11) т=2Й. Тогда из (2.11) следует, что ам ~ 2~9 (а+ ч) Последовательно применяя формулу (2.12), получим ( — 1)" а 2мм (я+ 1) (т+ 2) ... (я+а) (2.12) (2.13) Решение однородного уравнения Бесселя (2.1) определяется с точностью до произвольного множителя ам Выберем его в виде а,= (2. 14) О= амГ(„+1, . Тогда из формул (2.13) и (2.14) получим ( — 1)" 2м ' ~ Г (а+ 1! Г (а+ ч+ 1) Рассмотрим ряд (2.15) ( 1)й х ~ыь~ а,(х) = Ъч 4а3 Г(а+1)Г(А+я+1) ~ 2 / (2.16) 1 2-ч1 (1 я) и проделав выкладки, аналогичные выкладкам п. а), получим следующее определение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
