Свешников, Боголюбов, Кравцов. Лекции по математической физике (1125176), страница 5
Текст из файла (страница 5)
В линейном приближении будем иметь Поскольку среда по предположению однородна и изотропна, то величины е., иа, о являются постоянными скалярными величинами. Подействуем на обе части уравнения (1.30) оператором го! В результате получим (с учетом (1 35) ) го1 го1 Н = е, — го1 Е-,- о го1 Е+ го1 )ь о (1.36) д! С другой стороны, по известной формуле векторного анализа "' имеем го1 го1 Н = пгаб Жч Н вЂ” х7' Н.
(!.37) Из формул (1.31), (!.34), (1.36) и (!.37) получим уравнение а„р,— +ор, — = х7 Н+го1! дН, дН а ° (со !! 38! даа дт до дн — + а — = аа сам+ 7, ды д! (!.39) где а=о!е., и'=!!еаиа, А — оператор Лапласа, и — любая из декартовых компонент вектора Н. й 2. ПРОЦЕССЫ ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА Рассмотрение следующей группы физических задач, характеризующих процессы переноса в среде тепла пли вещества, начнем с вывода так называемого уравнения теплопроводности, описывающего процесс изменения теплового состояния тела. Построим математическую модель изменения под действием заданных физических условий температуры точек тела, занимающего объем О, ограниченный поверхностью 5.
Выделим в области Р малый объем А)У с границей Л5. Обозначим через и(М, !) температуру тела !у в точке М в момент времени г, р(М) — плотность тела, с(М) — удельную теплоемкость, й(М) — коэффициент теплопроводности, 1(М, г)— объемную плотность источников (стоков) тепла. В дальнейшем нам понадобятся следующие экспериментально установленные физические закономерности. ю См: И л ь и н В. А, П о з н я к Э Г. Основы математического анализа Ч 2 М Наука, !980 Аналогичное уравнение получается для вектора Е.
Уравнение (!.38) называется векторным волновым уравнением. Как будет следовать из дальнейшего рассмотрения, первая производная по времени определяет затухание колебаний— диссипативные потери энергии. Для компонент вектора магнитного поля Н из (1.38) получим скалярные волновые уравнения, которые в декартовых координатах можно записать в виде Закон Фурье. Если температура тела распределена неравномерно, то в нем возникают тепловые потоки, направленные от более нагретых участков тела к менее нагретым.
Количество тепла Ы9, протекающее через площадку г)а за промежуток времени етг, равно ей~ = — А (М) — е)а с(1, дл (2.1) д где — — производная по нормали к площадке На. дл Закон Ньютона. Количество тепла Я, протекающего в единицу времени через площадку а поверхности тела в окружающую среду, равно Я =ой(и — и,), (2.2) где ие — температура окружающей среды, и — температура поверхности тела, Ь вЂ” коэффициент теплообмена. Используем для вывода уравнения теплопроводности метод баланса. Запишем уравнение теплового баланса для выделенного малого объема ЛУ.
Пусть за промежуток времени Л1 температура объема ЛУ изменилась на Лиг и(М, 1+Л1) — и(М, 1). При этом, как обычно, считаем объем столь малым, что в его пределах температуру можно считать постоянной. Количество тепла Ле,~ь которое нужно сообщить объему ЛУ в течение промежутка времени Л1 для повышения его температуры на Ли, равно ЛЯт= ~с(М)р(М)(и(М, 1+Л1) — и(М, 1))е(У. (2.3) ду (2,5) ' См там же. 2э Между объемом ЛУ и остальной частью тела 0 через по- верхность 5 происходит теплообмен, который согласно закону Фурье определяется формулой (2.1). Количество тепла ЛЯ2, участвующее в этом теплообмене, равно ЛЯа= ~ ~/г(Р) е)ое(т, дл д где — — производная по нормали к поверхности ЛЮ, внешней дл по отношению к области ЛУ.
Предположим, что функции й и и являются достаточно глад- кими, и преобразуем поверхностный интеграл в правой части формулы (2.4) к объемному с помощью теоремы Остроградско- го — Гаусса *>. В результате получим ~ еде ЛЯа=- ~ ') п(ч(текгапи)е(Уе(т. дУ Внутри объема Л)г за промежуток времени Л( может выделяться или поглощаться некоторое количество тепла, например за счет прохождения тока, вследствие различных химических реакций и т.
д. Это количество тепла ЛЯз выражается с помощью введенной плотности источников (стоков) тепла следующим образом; г+л! (2.6) аи Уравнение теплового баланса имеет вид Лгь1 ! =Л(из+ Лгез. (2.7) Подставляя (2.3), (2.5), (2.6) в формулу (2.7), получим интегральное уравнение теплового баланса, справедливое для любого достаточно малого элемента Л)У рассматриваемого тела 0: ~ ср(и(М, 1+Л!) — и (М, 1))с()г= ! из! гч- м '1 г))у(йдгаг) и)д)Ус(т+ ~ '1 1'с()гг(т. (2 8) аУ ам Чтобы из интегрального соотношения (2.8) получить дифференциальное уравнение, потребуем, чтобы функция и(М, 1) была дважды непрерывно дифференцируема по координатам и один раз непрерывно дифференцируема по времени, функция гз(М) непрерывно дифференцируема, а функции с(М), р(М) и 1(М,() непрерывны.
Тогда, применяя к выражению (2.8) формулу конечных приращений и теорему о среднем *! и переходя к пределу при Л( — и0 и Л)г, стягивающемся в точку М, получим с(М) р(М) и!=о))ч(й(М) ага!) и)+7(М, 1). (29) ,1(ля постановки начально-краевой задачи к уравнению (2 9) необходимо добавить дополнительные условия. Это начальное условие, определяющее температуру тела 0 в начальный момент времени 1=0.
Отметим, что в случае уравнения теплопроводности, в котором старшей производной по времени является производная первого порядка, достаточно одного начального условия. В этом отношении уравнение теплопроводности отличается от уравнения колебаний, рассмотренного в $ 1, для которого необходима постановка двух начальных условий. Более подробно эти вопросы будут рассмотрены в дальнейшем. Граничное условие задает тепловой режим на поверхности 5 тела )). Если граница Я поддерживается при заданной темпе- ' См И л ь и н В д, П о з н н к Э Г.
Основы математического анализа. ь! 1 ГИ . Наука, !989 ратуре и(Р, 1), имеем граничное условие первого рода, или граничное условие Дирихле; и (Р, Г) = р(Р, Г), Р я 5, 7) О. (2.10) Если на поверхности 5 задан тепловой поток ч(Р,Г), имеем граничное условие второго рода, или граничное условие Неймана; й(Р) — "(Р, !) = — ч(Р, Г), Р я= 5, »О, дл где ††произво по нормали к поверхности 5. Зто условие д дл обычно записывается следующим образом: — (Р, () = р(Р, 1), Р ен 5, 1) О, (2.1 1) дл где р(Р, 1) — заданная функция.
Наконец, если на поверхности 5 происходит теплообмен с внешней средой заданной температуры, то, применяя запои Ньютона (2.2), после несложных преобразований получаем гра- ничное условие третьего рода —" (Р, 1) -1- 6 (Р) и (Р, 1) = р(Р, Г), (2.12) дл где р(Р,1) и й(Р) — заданные функции, Р~5, 1>0. Таким образом, начально-краевая задача для уравнения теплопроводности ставится следующим образом: сри, =б)ч(ййгаг(и)+/, М ев В, 1~0, и(М, 0) =гр(М), М а= О, а(Р) — "+р(Р) и =р(Р, 1), Рея 5, 1)0, дл (2.1 3) где 7(М, 1), р(Р, г), с(М), р(М), й(М), ~р(М), а(Р), р(Р) — заданные функции. При этом, если а= — О, а бчьО, имеем граничное условие (2.10), если ачьО, О=в 0 — граничное условие (2.11), а если аФО и рФΠ— граничное условие (2.12). Для уравнения теплопроводности, кан и для уравнения колебаний, могут возникать и более сложные граничные условия, чем условия (2.10) — (2.12). В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением только граничных условий первого, второго и третьего рода.
Заметим, что к уравнению теплопроводности приводит не только рассмотрение процессов распространения тепла, но н процессов диффузии, процессов переноса вещества н др. Например, уравнение диффузии имеет вид с(М) —" =б1ч(о(М)йгаг(и)+1(М, 1), (2.14) дг 27 где и(М, 1) — концентрация газа в точке М в момент времени 1, с(М) — коэффициент пористости, равный отношению объема пор к полному объему, 0(М) — коэффициент диффузии, 1(М, 1) — плотность источников (стоков) вещества. Уравнения теплопроводности (2.9) и диффузии (2.14) отличаются только обозначением коэффициентов.
В ряде случаев и процессы распространения электромагнитных волн могут описываться уравнениями типа уравнения теплопроводности. В заключение параграфа заметим, что если уравнение теплопроводности рассматривается в неограниченном пространстве или в области внешней относительно замкнутой поверхности, то для однозначного описания процесса нужно ставить определенные условия на бесконечности. Конкретный вид этих условий будет рассмотрен в гл. Н1. $ 3. СТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ 1.
Стационарное распределение тепла Пусть физические условия в задаче о тепловом состоянии тела таковы, что плотность источников (стоков) тепла и граничные условия не зависят от времени. Тогда с течением времени в теле устанавливается некоторое не зависящее от времени распределение температуры, т е. тепловое состояние тела выйдет на стационарный режим. Распределение температуры в таком случае описывается уравнением, которое поди лучается из уравнения теплопроводности (2.9) при — =О и д~ 1(М, г)=1(М). Уравнение, описывающее стационарное распределение тепла, имеет вид г))ч (lг ягаб и) +1(М) = О, (3 1) Граничные условия ставятся так же, как и для уравнения теплопроводности, но граничная функция не зависит от времени: гг=р(Р). Частным случаем уравнения (3.1) является так называемое уравнение Пуассона, получающееся при постоянном коэффициенте й: Ьи =- — 1(М). (3.2) Однородное уравнение (3.2) называется уравнением Лапласа Ли=О.
(З.З) 2. Задачи электростатики В электростатическом случае уравнения Максвелла для электрического вектора Е(М) получаются из уравнений (1.31), (!.32), (! 34) и имеют вид (3.6) Прн этом уравнение (3,4) выполняется автоматически. Подставляя (З.б) в (3.5), получим уравнение г)1ч (е афтаб и) = — р(М), которое с точностью до обозначений совпадает с уравнением (3.1) . 3. Установившиеся колебания Если на некоторую материальную систему с непрерывно распределенными параметрами действует внешняя периодическая сила с частотой о>, то с течением времени в системе устанавливаются колебания с частотой внешней силы оь В 3 1 было получено уравнение акустики (!.28). Пусть 1(М,1) =1(М)е-'"'.
Если в системе установились колебания с частотой о~ вынуждающей силы, то функцию р(М,1) можно искать в виде р(М, 1) =и(М)е '"'. Подставляя эту функцию в (128) и сокращая на множитель е-'"', получим уравнение г(!ч(йпгаб и) +оРи = — )(М). (3.7) В частности, в случае однородной среды коэффициент й(М) =)го постоянный н уравнение (3 7) принимает вид Ли+ си= — ~р (М), (3.8) где с==а'(й„гр= — 7'. Уравнения (3.7) и (3.8) называются приве- 1 ао ленными волновыми уравнениями, или уравнениями Гельмгольца.
4. Установившиеся электромагнитные колебания Аналогично п. 3 можно рассмотреть установившиеся электромагнитные колебания. Для изотропной и однородной среды в отсутствие сторонних токов и зарядов уравнения Максвелла имеют вид го(Н=е — +оЕ, б!чН=О, дп д~ (3.9) го! Е=О, (3. 4)' б!ч (еЕ) = р (М).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
