Свешников, Боголюбов, Кравцов. Лекции по математической физике (1125176), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Первая задача есть задача определения собственных функций и собственных значений отрезка, вторая — задача определения собственных функций и собственных значений круга. Первая решена в 5 8 гл. П1, вторая — в предыдущем пункте. Следовательно, собственные функции цилиндра имеют вид (з(п пго! а собственные значения вычисляются по формуле Лйат хь +~т~ где х,!"! — собственные значения круга при граничных условиях (7.22), Е (г) и о — собственные функции и собственные значении соответственно отрезка, при граничных условиях (7.23) .
3. Собственные функции шара (7.26) а — +ри ( =О, ди дг г=а и гь О. (7.27) Решение строим методом разделения переменных, отделяя радиальную переменную г: и(г, О, <О) =)т(г)о(б, го) ф-О. (7.28) Подставляя (7.28) в уравнение (7.26), записанное в сферической системе координат, и разделяя переменные, получим 122 Теперь построим собственные функции шара К,. Введем сферическую систему координат (», б, !р), 0 <г <а, 0<б<л, 0<!р<2л с началом в центре шара. Оператор Лапла- са в сферической системе имеет вид 1 д !а ди! 1 Ли= — — (г' )+ — бо,и, га дг (~ дг ) га где Ло и — сферический оператор Лапласа, равный 1 д !.
диз 1 даи Ло, и= — (з(пб — ~+ а!и О до дд а!и' д два Рассмотрим задачу Штурма — Лиувилля для шара: би+ Ли = О, М ~ К„ Д ! ~И~ — ( г' — ) + зг% (7,29) л (г) и (д, юр) о =о„(6, ~р) = У~ ' (д, <р), а собственные значения равны р=р„=п(п+1), п=О, 1,..., т=0,~1,...,~п. Для каждого р=п(п+1) из (7.29) получаем уравнение для Р(г): (7.30) решение которого должно удовлетворять согласно (7,27) гра- ничному условию при г=а: н естественному условию ограниченности прн г=О: 1я(о)(< С помощью замены Я(г) = ~ задача для Я приводится к следующей задаче Штурма — Лиувилля: г'у"+гу'+ [Ь' — (п+ — ) 1 у=О, ау'+(р — — ) у~ =О, (7.31) (7.32) !у(о)(=о.
(7.33) Общее решение уравнения (7.31) имеет вид (ср. п. 1) (23 Собственные функции должны быть ограничены в К, и перно- дичны по ~р с периодом 2л. Поэтому нз (7.29) для функции о получаем задачу Штурма †Лиувил Лв„о+ро=О, 0<д<л, 0«р<2л, о(д, <р)=о(0, ~р+2л), )о(0, <р)( < оо, /о(л, <р)( < оо, о(6, ~р) =-л О, собственными функциями которой являются сферические функ- ции и(г) = С(12+1)2 (~ Л г)+Со%а+1/2 ( / Л г), Учитывая поведение функций Неймана в нуле и условие ог- раниченности (7.33), находим С,=О. Будем считать С,=!. Для определения Л из (7.32) получаем дисперсионное уравнение а'1('Л 1„е(п (!( Ла) + (~ — — ) 1„+1)2 (Р Ла)=0.
2а ! Пусть !А=аУЛ. Тогда функцию Р(г) можно записать в виде Л(Г) =аппо(Г) = (и+1)2) 1п+1,2 Г ) У-.' , п = О, 1, ..., /г = 1, 2, ..., где р("+пи †-й корень уравнения ар1„'+,,(р) + (ра — — ) 1„+172 (р) =0 при фиксированном п=О, 1, .... Таким образом, собственная функция шара имеет вид ( „(и+1)г) иА„(г, д, (р) = — 1п.(.1)2 ~ " г у(") (д, (р), а (2=1, 2,...,п=О, 1,...,т=О, )-1„...,.+и, (7.35) (7.34) а собственные значения равны е (и+1(2) 2 )(А ' 2'Ап И где рА(п+1)2) — корни уравнения (7.34).
Видно, что каждому собственному значению Ло„соответствует 2п+1 линейно независимая собственная функция (га пи ЛА,=2п+ 1) . Найдем норму собственных функций: а2пп Цио„„~()оаа ~и22 (Ь=~ ~ ~иоо ГАЗ(ПО((Г(И(((р= ка о о о =( ', 1.+, (!' Г."И' Значение Цг'( )Ц2 дается формулами (5.10) или (5.11). Вычислим " = 1п+1/2 ~ ~ Уг- 124 а = па+1/2~~ = ) Оп+1/2 (~ ЛГ) Г()Г = 0 = — 1./„+1/2(а)/ Л)+ 1 — "+ 7„'.д!/2(а 1/' Л)) (7,36) 2 адЛ / / (использована формула (7.17) ).
Рассмотрим, как и для круга, отдельно первую, вторую и третью краевые задачи. Для задачи Дирихле (а=О, р=1) собственные значения определяются уравнением (л+1/2) ! 2 7.+ „(р)=О, Л„„=~"' а Поэтому 1 12 ад = " л+!/2 ~~ = /п+1/2 (Рд + ). м.— " (7.37) Для задачи Неймана (а=1, р=О) собственные значения определяются уравнением (л+!/2) ) 2 )('/а+1/2 !)2) ~а+1/2 1)2) = 0 Лдл = 2 а Следовательно, — /л(.1/2 ~~ = — [1 — ~,/л.п(/2 (рд ) (7 38) 1 ()2 аа 1 л (л+ 1) 1 2 (и+1/2) ~)// .
)(2 2 (П(а+02)12 7 „(л+!/2) 12 )ь/и+1/2 (Р) + ( о/2 — — ~ )и+1/2 Ы = О, Лд, = Выражение для квадрата нормы, так же как и для круга, для третьей краевой задачи можно записать по-разному: или 12 1),(л+!/2)12 л + (7.39") Формула (7.39') удобна при малых, а формула (7.39") — при больших 72.
126 Для третьей краевой задачи (а=1, р=й) собственные значения Л определяются уравнением Глава К УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА Как было установлено в гл. 11, уравнение в и Е д!и ъ1 ди ац — +~ Ь! — +си= — 1 дх!дх1 2.4 ' дх, 1,! — ! !=-! является в точке М (хп..., хх„) уравнением эллиптического типа, если в этой точке квадратичная форма а!1 (х!,..., х'„) $Д| (,у=.! знакоопределена.
Простейшим примером уравнения эллиптического типа служит уравнение Лапласа д!и + д!и + д!и дх! ду! дг! С него и начнем изучение уравнений эллиптического типа. В этой главе рассмотрены общие свойства решений уравнения Лапласа, постановка внутренних и внешних задач для уравнения Лапласа, вопросы существования, единственности и устойчивости решения краевых задач и основы теории потенциала. й 1.
ОБШИЕ СВОЙСТВА ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ О п р е д е л е н и е. Функция и (М), непрерывная в области Р вместе со своими производными до второго порядка включительно и удовлетворяющая в этой области уравнению Лапласа, называется гармонической в области Р.
Рассмотрим основные свойства гармонических функций. Будем рассматривать трехмерный случай. 1. Формулы Грина В гл. П1 выведены первая и вторая формулы Грина для общего оператора (.и=!(|ч(йдга!(и) — ди. Напомним их для того случая, когда йи=Аи. 126 Пусть в области О, ограниченной замкнутой гладкой поверхностью 5, заданы функции и(М) и п(М), непрерывные вместе с первыми производными в замкнутой области Ю и имеющие непрерывные вторые производные в 11. Тогда в области Р справедливы первая и вторая формулы Грина (см. (2.5) и (2.б) гл. П1): пбшйl = у в — сЬ вЂ” ~ ху и ху ийУ, =$ ди дп (1.1) и 5 О ди до ') (пби — ибо)Я1=$ (и — — и ) аЗ, (1.2) дв дл 1 где и — единичная нормаль к поверхности 5, внешняя по отношению к области О.
Для вывода третьей формулы Грина нам потребуется специальное решение уравнения Лапласа„которое называется фундаментальным решением. Пусть Ма — фиксированная точка области О. Найдем решение уравнения Лапласа, зависящее только от расстояния от точки М,. Рассмотрим отдельно трехмерный и двумерный случай.
В трехмерном случае введем сферическую систему координат (г,б,~р) с центром в точке Мь Тогда задача сводится к отысканию радиально-симметричного решения и(г) уравнения Лапласа, которое в этом случае принимает вид Его решение имеет вид 121 Решая это уравнение, получаем „() с+с г г=1хмм,— расстояние от точки М до М,. Решение п(М, М,) = 1 называется фундаментальным ~мм, решением уравнения Лапласа в трехмерном случае. Заметим, что фундаментальное решение удовлетворяет уравнению Лап- ласа (т.
е, является гармонической функцией) всюду, кроме одной точки Мм в которой оно неограничено (имеет особен- ность). 4 В двумерном случае введем полярную систему координат (г, р) с центром в точке Мо и будем искать решение уравнения Лапласа, зависящее только от г. Уравнение Лапласа прини- мает вид и=С,!п — +С,. г (иб — оби) е(р'= $ ( и — — о — ) Н5+ ди ди ) дл дл ) о ям Я е +~( ди ди ) хе Так как на поверхности Х, то, используя теорему о среднем, получим $( и — — о — ) НВ=$(и — — — )Ю= хе хе 1, 1 ди = ( — и (М*) — — — (М')) 4пае, ! ее е дл (1.3) где М*енЕ,. Поскольку в области 0~Ке' Ьо=О, то, переходя к пределу — м, в (1.3) при е-+-О, получим +4пи(Ме), Мее=0.
Отсюда Г( 1 Ге 1 ди д 1 — — и — ) й5— 4и'У~ймм дл дл Дмм 5 ю чне 1 Р аи — — — й'й, М, ен0, о в (1.4) !28 1 Функция 1п й называется фундаментальным решением мм, уравнения Лапласа в двумерном случае. Перейдем к выводу третьей формулы Грина. Как и ранее, будем рассматривать трехмерный случай. Пусть о= имм, фундаментальное решение с особенностью в точке Ме. Будем считать, что Ме — внутренняя точка области О. Окружим точ- ку Ме сферой Х, радиуса е с центром в точке Ме, целиком ле- жащей в области О.
Область между 5 (границей О) и сферой Х, обозначим 0",К,'. В области 0~,Ке ' применим вторую — м, — м, формулу Грина (1.2) к произвольной функции ив=Се(0)ПС'(б) и построенному фундаментальному решению о(М, Ме): (интеграл по области Р понимается как несобственный интеграл второго рода).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
