Свешников, Боголюбов, Кравцов. Лекции по математической физике (1125176), страница 18
Текст из файла (страница 18)
(5.4) Подставляя (5.4) в уравнение (5.1), получим для Ф(~р) за- дачу Ф Ор)=-~ ' т=О, 1, 2,...,и. ! соз тщ, В этом случае систему сферических функций, условившись, что положительный верхний индекс т функции г„' ~(Ь, ф) соответствует умножению на з!и т~р, а отрицательный — на соз т~р, можно записать в виде у~ '(б, ~р) =Р! ! (созб) з!отвар, 5.9) У~~ ! (б, <р) = Р! ' (соз б) соз т~р (т = О, 1, 2,..., и). Учитывая полноту системы тригонометрических функций и системы присоединенных функций Лежандра, можно утверждать справедливость следующей теоремы.
Т ео р е м а 4.7. Система сферических функций полна на единичной сфере г.:(0<6<я, 0<ф<2п). Поскольку в силу общих свойств собственных функций сферические функции ортогональны на единичной сфере (для функций вида (5.9)): н 2п ') г.,в(б, гр) г.','в(б, <р)з!и Одбдр=О при п,чьп„т,~тм о то из теоремы 4.7 вытекают следующие следствия. С л е д с т в и е 1. Система сферических функций замкнута С л е д с т в и е 2.
Система сферических функций исчерпывает все собственные функции задачи Штурма — Лиувилля (5.1)— (5.3). Каждому собственному значению Л„=п(п+1) соответствует 2п+1 линейно независимых собственных функций, т. е. каждое собственное значение является (2п+1)-кратно вырожденным. Для сферических функций справедлива теорема разложимости Стеклова. Те о р ем а 4.8, Всякая функция !" (б, <р), дважды непрерывно дифференцируемая на единичной сфере, разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся ряд по сферическим функциям: 7(б, р)=~; у 1. У.' '(б, р), и=.О а — л где коэффициенты 7"„, имеют вид (для функций вида (5.9)) ~ ~ )(О, ~р) г'! '(б, ~р) з!пбгЭйр.
о о Если сферические функции имеют вид (5.8), то квадрат нормы для них равен 115 2л л 1()гй ~по=~ ~У1 1(д„ар) )г( ' (д, ар)з(идой(ар= о о 2л л =~ ~Р1( (~ (созд) )е' ч(оз!пбо(до(ар= о о = 2п 2 (и+ иа)1 , и=О, 1,..., т=О, .+ 1,..., ~ п. (6.16) 2и+ 1 (и — т)! Для сферических функций вида (5.9) ол и а«Г '~а=) )а„'"'«а)("" "а~)а»ааааа= о о соз' тар ', п=О, 1,...,т=О, 1, ..., п,(5.11) (и — т)1 = 2пз 2 2и+ 1 где 1, т=О, Ела 1 —, тчьО. й В.
ШАРОВЫЕ ФУНКЦИИ Рассмотрим уравнение Лапласа в шаре радиу- са а 11В Ли=О. (6.1) Будем искать решение уравнения (6.1) методом разделения переменных, отделяя прежде всего радиальную зависимость: и (г, 6, ~р) = й (г) )«(6, ар). (6.2) Подставляя (6.2) в (6.1) и разделяя переменные, получим —.", (" — "-') Й(г) ' 1«(д, ф) Учитывая, что из рассмотренной в $ 5 задачи Штурма — Лиувилля для сферических функций вытекает = — п(п+1), (6.4) У(О, ар) получим из (6.3) и (6.4) уравнение для радиальной части г%" + 2гй' — и (и + 1) й = О. (6.5) Последнее уравнение является уравнением Эйлера, решение которого ищется в виде )7 (г) га Подставляя (6.6) в (6.5) и сокращая на г, получим характеристическое уравнение для определения параметра си о (о+ 1) — и (и + 1) = О.
(6.6) Его решения имеют вид ас и и о= — (и+1). Таким образом, получим два семейства частных решений для уравнения Ла- пласа (и+31 у1~л) (б (6.7) $?. СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА ДЛЯ КАНОНИЧЕСКИХ ОБЛАСТЕЙ В э 8 гл. П1 построены решения задачи Штурма — Лиувилля для отрезка, прямоугольника и прямоугольного параллелепипеда. Собственные функции этих областей выражаются через элементарные функции.
В этом параграфе рассмотрим задачу Штурма — Лиувилля для круга, прямого кругового цилиндра и шара, собственные функции которых выражаются через специальные функции, изученные в этой главе. 1. Собственные функции круга Начнем с задачи Штурма — Лиувилля для кру- га К,: (7.! ) (7. 2) Ли+Хи=О, (х, у) ~К„ а — +ри ! =О, ! а(+ (~! Ф О, и эь О.
дл (с Введем полярную систему координат (г, ф) с началом в центре круга К . Напомним, что оператор Лапласа в полярной системе координат равен 1 д Г ди ~ 1 дйи Ли= — — ~г — )+ —— г дг (, дг ) г~ дф~ 117 0 п р е д е л е н н е. Функции и„(г, б, ф), определяемые формулой (6.7) и являющиеся частными решениями уравнения Лапласа в сферической системе координат, называются шаровымн функциями. Функции г"Ги'о (О, ф), ограниченные в начале координат и растущие на бесконечности, используются для решения внутренней задачи, функции г ~"~ ~1'„' ~(б, ф), неограниченные в окрестности начала координат и стремящиеся к нулю на бесконечности, — для решения внешней.
Собственную функцию будем искать в виде сс(г, ср)=1!(г)Ф(ср) ~0. (7.3) Уравнение (7.1) запишем в полярной системе координат, подставим в него (7.3) и разделим переменные. Получим сс ! И~ г — (г — ) + Лг% и. ( и.) Ф. (7.4) Й (г) Ф(е) Поскольку собственная функция должна быть периодической по ср с периодом 2л, то для Ф(!р) получаем задачу Штурма — Лиу- вилля Ф" +тФ=О, 0<ср<2л, Ф (ср) = — Ф (ср + 2л), решение которой имеет вид (см. $8 гл. П1) Ф(ср)=Ф„(ср)=~ Р' т=т„=л, л=О, 1, ... 1 81п лср, (7.5) При каждом т=лс получаем задачу для Р(г): г — ( г — 1 + (Лг' — л') Я = О, 0 ( г < а.
ог ~, сСг ! (7.8) Функция 1с должна удовлетворять граничному условию а — +р17~ =О, (а!+)р1~0, вытекающему из (7.2), и естественному условию ограниченно- сти при г=О !)т (0)( < оо, поскольку г=О является особой точкой уравнения (7.6). Следовательно, для определения Я(г) получается задача Штурма— Лиувилля !!8 гсст"-1-г1!'+(Лгс — лс) Я = О, 0 < г< а, (7.7) а — +р)1) =О, са1+ !р( ~0, ! К (0)! ( оо, сс (г) ч=: О. (7.9) Уравнение (7.7) заменой х=грЛ приводится к уравнению Бес- селя л-го порядка: х'у" + ху'+ (х' — л') у = О, Поэтому общее решение уравнения (7.7) можно записать в виде й(г) =К„(г) =С,З„М Л г)+С.,У„Е/Ег).
Учитывая неограниченность функции йГ„(ТЛг) при г-~-0 и условие (7.9), находим Сз=О. Будем считать С,=1, поскольку собственная функция определяется с точностью до числового множителя, который в свою очередь определяется из условия нормировки. Поэтому собственная функция задачи (7.7) — (7.9) имеет вид Я„ (г) = l„ ( $' Х г). (7.10) Подставляя (7.10) в граничное условие (7.8), получим днсперснонное уравнение для определения собственных значений йл а')Юу„(~/Ха)+(У Д/Ха) = О.
(7. 11) где штрих обозначает производную функции Бесселя по полному аргументу. Обозначим р=)О,а. Тогда собственные функции и собственные значения задачи (7.7) — (7.9) можно записать в виде (7.12) где р~") — й-й корень уравнения (7.13) ар/„(р) + (3ау„(р) = 0 прн фиксированном п=О, 1, 2,.... Таким образом, собственные функции круга имеют вид ид„(г, ~р)=l„(УХР'г) ~ ' п=О, 1, 2,..., й=1, 2, (з(п п~р, (7.14) оо ~й а собственные значения равны Хь =( — ) Найдем норму ьв нь й собственной функции (7.!4): а зл Циь„Цз= ~ '1 и~~„(г, ~р) п(гйр= ЦУ„Ц~ ° ЦФЦз.
(7.15) о' о Поскольку норма Ф„(Ф =соза~р или Ф„=з1пер) известна, остается найти ()У„~Ц Чтобы найти )(У„Ц, вычислим интеграл 1= ') Л,'(х)хйх, где Л„(х) — произвольная цилиндрическая функция. Имеем 7=~2 (х)хг(х=~2 (х)п' ( — 11 = 1 х'Л (х) — ~х Л (х)Л (х) Ы. 12/ 2 Используя уравнение Бесселя х'х,~+ хЛ, + (х' — т') х.„= О, находим х'Л,= — х'2,— х2~+~'Л,= — х — (хЛ )+ т'Л„. Йх Поэтому 7 = — ' 2~ (х) + 1 х2„— (хЛ,) йх — тз ~ Л Л с(х = 2 2 2 Итак, ~Л„'(х)хйх= — ~Л, (х)+ (1 — — )Л,' (х)~. (7.16) Полученная формула позволяет вычислить квадрат нормы функции Бесселя для соответствующей краевой задачи: Ц,(„Ц' = — 1,7~()/Л г) п6 = — ~ l~ (х) хс(х = О 0 = — (,7„(а~/Л) + (1 — — ),У„(а~ГЛ) (7.17) Рассмотрим теперь первую, вторую и третью краевые задачи отдельно.
Для задачи Дирихле (а=О, Ц=1) собственные значения определяются из уравнения (согласно (7.13)) Следовательно, Ц7 Цз / (фи)) 2 (7.18) Следовательно 2 ! (впп) ) (7. 19) Для третьей краевой задачи (я=1, (1=6) собственные значения определяются из уравнения !20 Для задачи Неймана (а=1, Ц=О) собственные значения опре- деляются из уравнения рУ„' (р) + айу„(р) = О. Следовательно, 2 м) 2 м) м)* 2 а'а' (7.20') (7. 20") Формула (7.20') удобна для вычисления при малых й (й- 0), а формула (7.20") — при больших й (й — со).
Непосредственно видно, что при й-~0 формула (7.20') переходит в (7.!9), а при й- со (7.20") переходит в (7.18). 2. Собственные функции цилиндра Рассмотрим задачу Штурма — Лиувиллядля прямого кругового цилиндра Т, Введем цилиндрическую систему координат (г,ф,г) с началом в центре нижнего основания цилиндра и осью г, направленной вдоль оси цилиндра. Напомним, что оператор Лапласа в цилиндрической системе координат имеет вид д~и Ли = А,и+ —, дг~ 121 где аг — оператор Лапласа на плоскости. Задача Штурма— Лиувилля имеет вид Ли+Ли=О, 0<г<а, 0<ф<2п, 0<г<С (7.21) а — +ри ~ =О, (7.22) дг ~~=а а, — — р,и~ =О, аг +р.,и~ =О. (7.23) Решение будем строить методом разделения переменных, отделяя переменную г: и(г, )р, г)=о(г, Ч))Я(г) Ф О. (7.24) Подставляя (7.24) в уравнение (7.21), записанное в цилиндрической системе координат, и разделяя переменные, получим а|о+ Ли Я" (г) (7.25) и(., р) = 2(.) С учетом граничных условий (7.22) — (7.23) для определения и и г имеем следующие задачи Штурма — Лиувилля: Ло+хо=О, 0<г<а, 0<юр 2л, сс — +ро / =О, да дг г=а где х=Л вЂ” ч, о(г, ср) ча О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
