Свешников, Боголюбов, Кравцов. Лекции по математической физике (1125176), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Доказательство является почти дословным повторением рассуждений, проведенных в п. 2, и может быть легко воспроизведено читателем. Решение внешней задачи Неймана на плоскости Ли=О в 0„— ~ =т(Р))г, ди дп г регулярное (ограниченное) на бесконечности, определяется с точностью до произвольного постоянного слагаемого. Кроме того, для существования решения должно быть выполнено необходимое условие 146 (Р) !(( — О (3.6) й 4.
ФУНКЦИЯ ! РИНА ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА Для решения краевых задач для оператора Лапласа часто используется метод функции Грина (функции источника). В этом параграфе вводится функция Грина для оператора Лапласа, рассматриваются ее простейшие свойства и некоторые методы ее построения. 1. Функция Грина внутренней задачи Дирихле оператора Лапласа Рассмотрим внутреннюю задачу Дирихле Ли= — г" в О, (4.1) и(5 !.
Будем искать решение, удовлетворяющее условию и ен С" ' (О) П С"' (О). Поставим себе цель — получить интегральное представление для решения этой задачи. Согласно третьей формуле Грина непрерывная вместе. с первыми производными в замкнутой области 11()5 функция и(М), имеющая непрерывные в В вторые производные, в любой внутренней точке М области Р может быть представлена в виде и (М) = 4) ! — и — ~! с(Яр — —.~ — ~Лго (4.2) ! Р/ди 1 д ! ! 1 Р Аи 4п .!) ! дп Дмр д"р Лмр ! 4п д Ьмч 5 о (для определенности рассматривается трехмерный случай).
Пусть о (М) — гармоническая в 11 функция, непрерывная вместе с первыми производными в х)()Я. Применяя к и и о вторую формулу Грина в й, получим О = (!) !о — и — '! и5 — ~оаэи!()Р. (4.3) Складывая (4.2) и (4.3) н вводя обозначение !4т Эти утверждения также вытекают из первой формулы Грина. Можно показать, что условие (3.6) является также и достаточным условием разрешимости внешней задачи Неймана на плоскости.
Таким образом, на плоскости, в отличие от трехмерного случая, внешняя задача Неймана разрешима не всегда, а если ее решение существует, то оно неедннственно. 6(М, Р)= +и, ~и~мр получим представление для функции и(М): и(М) =Гб ~ — б — и — зи5 — ~ б Линг.
(4.4) Т(ди ди) и Поскольку в задаче (4.!) известно значение и)з, а — ~ не задади ди но, наложим на функцию 6 дополнительное условие 6 (М, Р) ! рва = О. Тогда (4.4) дает и (М) = — $ и (Р) — (М Р) Й5~ — ~ б Ли с('г'. (4.5) 3 о О предел ение. Функция 6(М, Я) называется функцией Грина внутренней задачи Дирихле для оператора Лапласа, если она удовлетворяет следующим условиям: ))6(МФ4 и+ мч где и — гармоническая всюду в Р функция; й) 6(М, РЦ„,=О.
Функции Грина различных операторов будут неоднократно встречаться в нашем курсе. Поэтому сделаем несколько замечаний по данному определению. Первое условие означает, что 6 является фундаментальным решением оператора Лапласа. Второе условие отражает тип граничных условий, для которых строится функция Грина.
Если функция Грина существует, то решение задачи (4.1) .формально может быть записано в виде и(М)= — ф1(Р) д (М, Р) Ы5р+) 6(М, Я)Р(Я)г()г. (4.6) При этом следует иметь в виду, что формула (4.6) получена с помощью формулы Грина, предполагающей выполнение опре- деленных условий в отношении функций и и 6 и поверхности да ~ 5. Кроме того, формула (4.6) содержит значение — ~, сущедп ствование которого из определения функции 6 не следует.
Для построения функции 6 достаточно найти функцию и, которая является решением следующей краевой задачи: Лп=О в и, т48 В дальнейшем будет показано, что для достаточно широкого класса поверхностей, называемых поверхностями Ляпунова, задача (4.7) разрешима, т.
е. функция Грина существует. Заметим также, что для построения функции Грина нужно решить задачу Дирихле, но со специальным граничным значением, что во многих случаях значительно проще, чем решение задачи с произвольным граничным значением. При этом, найдя функцию Грина оператора Лапласа для данной области О, на основании формулы (4.6) получаем решение целого класса задач Дирихле для уравнения Лапласа в области 6 с произвольными правыми частями Р(М) и функциями )(Р) в граничных условиях. Можно показать, на чем мы здесь не останавливаемся, что формула (4.6) дает классическое решение задачи (4.1) при 1еп е 6(5) н Ре=Сгн(о).
Наконец отметим, что в терминах обобщенных функций функцию Грина можно определить как решение краевой задачи бм6(М, Мо)= — б(М Мо), М Мо~~-', 6(Р, Мо))~ аз=О. 2. Свойства функции Грина задачи Дирихле Из определения функции Грина следует, что она положительна всюду в В: 6(М, Я) >О. Действительно, построим сферу Х. достаточно малого радиуса в с центром в точке М. На сфере Х. и внутри нее 6>0, 6(э=О. В силу принципа максимума 6>0 между сферой Х, и Я, сле- довательно, и всюду в 6. Получим оценку для функции 6 сверху.
Для функции и, являющейся решением задачи (4.7), справедлив принцип мак- симума. Поэтому о(0 всюду в 77. Следовательно, 1 1 4пД + 4~Я ме и ме Таким образом, для функции 6(М, Я) всюду в 0 справедлива оценка О<6(М, ())<, ' 4пйме Покажем, что функция Грина симметрична: 6(М, Е)=6(а, М). 149 Аналогично и (М,) = — ~) (о — и — ) Ю. (4.10) Подставляя (4.9) и (4.10) в (4.8), получаем — и(М,)+и(М,) =О, т. е.
б(М1 М2)=б(М2 М1). Функция Грина задачи Дирихле допускает очень простую и ясную физическую интерпретацию. Если вспомнить, что электростатический потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа, то становится очевидно, что первое слагаемое в представлении Функции Грина б= ' +и ~я~ма представляет собой потенциал точечного заряда, расположенного в точке г~, в неограниченном пространстве, а второе — потенциал поля зарядов, индуцированных на заземленной проводящей поверхности 5. Сама же функция Грина представляет потенциал точечного электрического заряда в присутствии заземленной проводящей поверхности 5. 3. Функция Грина внутренней третьей краевой задачи Для решения внутренней третьей краевой задачи Аи= — Рв Р, — + "и! з =1 ди дл функция Грина вводится аналогичным образом.
(4. 11) 1зв Для доказательства этого введем обозначения и(М) =б(М, М,), о(М) =б(М, М,). Окружим точки М, и Мз сферами Х, и Хз соответственно доста- точно малого радиуса. К функциям и и и в области между 5, Х, и Х, применим вторую формулу Грина. Учитывая граничные условия для функции Грина, получим ~ (и — — о — )Ю+1~1 (и — ~ — а — ) с(5=0. (4,8) х, х„ Рассматривая и внутри Х, согласно (4.4), получим и (М,) = — ф (и ' — о — ) й5. (4.9) дл дл ) Согласно формуле (4.4) и(М) =!г!1 ( —" 6 — и — ~ ДЯ вЂ” ~ 6Дисйг= Т дп дп Я в =~ ~6 ( — +Ли) — и ( — +й6) ~ гЖ вЂ” ~6Ди~П/, па О где 6= +о, о — гармоническая в 0 функция.
! 4пй Следовательно, чтобы получить решение третьей краевой задачи, следует функцию 6 подчинить условию — + 66!э =О. дп дп О п р е д е л е н и е. Функция 6 (М, Я) называется функцией Грина третьей внутренней краевой задачи для оператора Лапласа в области Р, если; 1) 6(М., Я)= +и, где о — гармоническая в О функция; 1 4п1! 2) д" +66Ь=О, ь)0, Ь=-,п:О.
дп Решение задачи (4.!!) записывается в виде и(М)=~ 6(М Р) 1(Р) ~(3п+ ~ 6(М, Я) и(Ф~() е. 5 О 4. Функция Грина внутренней задачи Неймана Перейдем к рассмотрению внутренней задачи Неймана Ди= — Рв Р, (4.12) дп 1з Прежде всего заметим, что, как было показано ранее, задача (4.12) имеет решение не всегда, а в том случае, когда решение существует, оно неединственно и определяется с точностью до постоянного слагаемого. Снова рассмотрим формулу (4.4). Покажем, что в данном случае нельзя наложить на функцию 6 дополнительное условие — дп) =0, (4.13) дп чтобы исключить слагаемое, содержащее и(з (аналогично тому, как это было сделано для первой и третьей краевых задач).
Действительно, если потребовать удовлетворения функцией ! 6= — +о дополнительного условия (4.13), то для опреде4пк ления функции и получим краевую задачу !5! Проверим разрешимость этой задачи. Необходимое условие раз- решимости имеет вид — 05=0. да Для вычисления интеграла 1 Г д 1 — (~) — — 4(5р, М ~ Р, 4п (1) дар Ймр воспользуемся третьей формулой Грина, положив в ней и=1. Тогда получим 1,6 д 1 ДЯ,= 1чьО, М Р, 4п '1' дар Ймр (4.!5) Следовательно, задача (4.14) решения не имеет. Это означает, ! что функции 6 = + и, удовлетворяющей условию (4.13), 4п!! не существует. Снова обратимся к формуле (4.4): и(М) =Г6 1! — "6 — сс — 11 ИЯ вЂ” ~6бип"г', :т ( дп да 1 3 и 6= .+и,. Лп=О в Р. 1 4я1~МЧ (4,16) 152 Напомним, что основная цель, которую мы преследуем при введении функции Грина, состоит в получении интегрального представления решения задачи (4.12).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
