Свешников, Боголюбов, Кравцов. Лекции по математической физике (1125176), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Отметим, что решение внешней задачи Дирихле вне круга радиуса а также выражается интегралом Пуассона (4.34), в котором множитель (ио — го') нужно заменить на (го' — из), й 5. РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАНЛАСА В КРУГЕ И ~РЯМОУГОЛЪН ИКЕ Рассмотрим метод разделения переменных решения краевых задач для уравнения Лапласа. Метод применим в том случае, когда граница области такова, что возможно разделение переменных. На плоскости это осуществимо, в частности, для круга и прямоугольника.
Эти случаи и будут рассмотрены в настоящем параграфе. 1. Краевые задачи для уравнения Лапласа в круге, вне круга и в кольце (5.1) 160 Методом разделения переменных построим общее решение уравнения Лапласа в круге. Введем полярную систему координат (г, ф) с началом в центре круга. Запишем уравнение Лапласа в полярной системе координат: 11д Г да~ 1 дои Ь и= — — ( г — )+ — — =О. г дг (, дг,! го дфо Найдем решения уравнения (5.1), представимые в виде и(г', ф)=)х(г)Ф(ф) ЧВО.
(5.2) Подставляя (5.2) в (5,1) и разделяя переменные, получим !(( ы1 г — г— !(г ! !( ) Ф (З!) — Л. (5.3) (1 (г) Ф (З!) Поскольку уравнение (5.1) должно выполняться всюду в круге 0<г<а, то функция и(г, Ч!) периодична по !р с периодом 2л и ограничена в этом круге. Из (5.3) получаем уравнение для )г(г) и Ф(!р), Рассмотрим сначала уравнение для Ф(!р): Ф" +ЛФ= О, 0(гр(2л. (5.4) Следовательно, для определения Ф (!р) получена задача Штурма †Лиувил с условиями периодичности. Решение этой задачи имеет вид (см.
3 8 гл. П1) (соз щ, Ф (юр) = Ф„(ср) = $ Л„= и', п = О. 1, ~ 5(п пгр, Из (5.3) с учетом найденных значений Л, получаем уравнение для )7 (г): г%" + гЯ' — пЧ( = О. (5.6) Это уравнение Эйлера, и общее решение его может быть за- писано в виде Р (г) = Я„(г) = С,г" +С,г ", п Ф О, )т,(г) =С!+С, 1пг, п =О. (5.7) Ограниченными при 0<г<а решениями являются Я„(г)=С!г", п=О, 1, 2, ... Следовательно, получаем следующую систему решений уравнения Лапласа, ограниченных в круге 0<г<а: ( 5!П Л!)! Общее решение уравнения Лапласа в круге записывается в ви- де разложения по этим частным решениям; и (г, ф) = — '+ ~!~~ г" (А„соз п!(!+В„з'.пи!р). (5.9) Л=! Для построения общего решения уравнения Лапласа вне круга 6 зал м! 161 Решение этого уравнения должно быть периодично с периодом 2л: Ф(!р) = — Ф (<р+ 2л).
(5.5) (г>а) следует выбрать частные решения (5.2), ограниченные вне круга. Они имеют вид и«(г, (р)= ( ф1, п=0, 1, 2, ... (5.10) г«(м!и лф ! Следовательно, общее решение уравнения Лапласа вне круга, ограниченное на бесконечности, можно записать в виде и(г, !р) = — '+ т ' — (А„сохи!р+В„з!и п5р).
(5.11) г! г« л=! Перейдем теперь к решению краевых задач. Рассмотрим внутреннюю краевую задачу для круга: Ли=О, 0(г(а, (5.12) Р(и)=а — +ри!,,=!(ф), !а!+!Р!ФО. дг (5.13) Решение задачи (5.12) — (5.13) можно записать в виде разло- жения (5.9), коэффициенты которого определяются нз гранич- ного условия. Но вычисления оказываются проще, если реше- ние записать в виде и(г, (р)= — '+ 1 ! „(А«созпф+В«52ппф) при ()-ьО. «=.! (5.14) п=О, 1,2, Выпишем отдельно решения первой, второй и третьей краевых задач для уравнения Лапласа в круге. 1. Задача'Дирихле! и), «=1(ф), и(г, 5р)= — а.+~ ( — ) (А«свзпф+В«з!ппф), 2 2а(, а) «=! (5.!б) 2 Задача Неймана: — =!(ф), ди да а=а и(г,р)=~ ' (А«созпф+В«з!ппф)+С, (5.!7) «=! 262 Подставляя (5.14) в граничное условие (5.13), находим выражения для коэффициентов: 2« 2л А„= — 3! 1(ф)созпфйр, В«= — 3! 1(ф)з!ппфаф, (5.15) с ! 0 о где С вЂ” произвольная постоянная.
Напомним, что решение внутренней задачи Неймана существует только при условии вл 1 1(р) Ьр=О о и определяется с точностью до произвольной постоянной. да 3 Трегпья краевая задача: — +Ии) = =!" (гг) дг и(г !р) = Л' -(-в~" ' (А„созп!Р+В„з(пп!Р). (5.18) 2а й й (а -)- аа) а" а=! ициенты в (5.18) — (5.18) определяются формулами При построении решения внутри кольца нужно использовать весь набор радиальных функций (5.7). Но удобно при каждом и построить специальную систему фундаментальных решений 77„"' ( ), )ка ~ (г)) уравнения (5.6), удовлетворяющую следующим граничным условиям: гга!'! (а) = О, К~, ! (Ь) = О, и = О, 1, ... (5.20) В качестве таких решений можно взять функции Иь!" (г) =-1и —, )гь' ' (г) =!п —, а Тогда решение задачи (5.19) запишем в виде и, кь () Сь и(г, ф)= — '' " + — ' ', + 2 аа!~! (Ь) 2 йЬМ! (а) Л!а! (г) + Р,"„(А„соз игр+ Ва з(л игр)+ Ъ~ ...ь «=! и!ь! +'Р,"ь! (С„соз п~р+ О„з)пер).
)~л (а) а=! (5.21) )63 Коэфф (5.15) . Решение внешних краевых задач проводится аналогично. Для построения их решений следует использовать частные решения (5.10). Подробнее рассмотрим краевую задачу внутри кольца а< <г<Ь. Для определенности выберем задачу Дирихле Ьи=О, а<г<Ь, (5.19) и( = =~ (!р) и!.= =!' М) Подставляя (5.2() в граничное условие при г=а и учитывая (5.20), находим коэффициенты С„и Рп: еп еп 1 !' 1 Г Сп ~ Ге (ер) со5 пер дер, Рп = ~ 1е (ер) 51п аео Йр. я При решении других краевых задач внутри кольца следует построить нужные радиальные функции, удовлетворяющие соответствующим однородным граничным условиям при г=а и г=Ь.
2. Краевая задача для уравнения Лапласа в прямоугольнике Краевые задачи для уравнения Лапласа в прямоугольнике также могут быть решены методом разделения переменных. Для определенности рассмотрим задачу Дирихле Ьи=О, б<х<а, О<у<Ь, (5.22) и! к=о = ере (У) и! х=-а = — екае (У) (5.23) и 16=о = еб (х), и !о=о = еРе(х). (5.24) Задачу (5.22) — (5.24) разобьем на две задачи, каждая из кото- рых имеет однородные граничные условия по одной из пере- менных.
Пусть и(х, у)=и, (х, у)-';-и,(х, у), где и, и и, есть решения следующих задач в прямоугольнике: Ли,=О, Лик=О, и, !„=о = и, /о=а = О, и ! =е=Ч' (у) "~1 = =ей~(у). ие! х — о = ие! к — а = Оэ и,!е. о=ф,(х), ие(к=о =его (х) Каждую из этих задач будем называть стандартной. Рассмотрим стандартную задачу для функции и,(х, у). Построим сначала решения уравнения Лапласа, представимые в виде и (х, у) = Х (х) г'(у) ч- :0 (5.25) и удовлетворяющие однородным граничным условиям по х: 164 Аналогичным образом коэффициенты А„и В, определяются из граничного условия при г=Ь: А„= — ~ 1е(ер)созерееер, Вп = — ~ Г",(ер)51ппере(ер.
1 ! о ) (5. 26 и) =о=и(„,=0. Подставляя (5.25) в уравнение Лапласа и ные, получим уравнения для функций Х(х) и Х" +ЛХ=О. 0<х<а, 'г'" — Л~'=О, 0 < у<Ь. Учитывая (5.26), получаем для Х(х) задачу ля разделяя перемену(у): (5.27) (5.28) Штурма — Лиувил- где Л =( — "" ) 166 Х" +ЛХ=О, 0<х<а, Х(0)=Х(а)=0, Х(х) жО, решение которой имеет вид (см. гл. И1, $8) Х= — Х„=--япРЛ„х, Л„=~ — ), п=!, 2, ...
И При Л=Л, общее решение уравнения (5.28) запишем в виде У (у) = У„(у) = А зй ~Л„у+ В й 1~ Л„(Ь вЂ” у). Заметим, что такой выбор фундаментальных решений уравне- ния (5.28) аналогичен построению функций К„'" и )х~~~ в пре- дыдущем пункте. Таким образом, построены частные решения уравнения Ла- пласа и, (х, у) = (А„зй ~/Л„у+ В„зй У Л„(Ь вЂ” у)( яп ~л,, х. (5.29) и=1, 2, ...
Решение стандартной задачи для функции и, запишем в виде разложения по системе (5.29): о11 УЛ„Ь ов УЛо Ь л=! коэффициенты которого определяются из граничных условий а а В„.= — ( ф,(х)яп'Рг1.„хдх, А„= — ( фо(х)яп)~ Л„хс(х. (5.31) о.) а о о Таким образом, решение стандартной задачи для и, (х, у) дает- ся формулами (5.30), (5.31). Аналогичным образом решается стандартная задача для функции и,(х, у). Решение ее имеет внд о11 '$/Х„а ' " он ~IЛ„а и=1 0„= — 1 ~р,(у) з(пав/~.„уду, С„== ( ~рз(у) з)п')/~.„уг(у.
ь,) ь,) Итак, решение задачи (5.22) — (5.24) имеет вид и = и„(х, у) + и„(х, у), где функции и, и и, определяются формулами (5.30) и (5.32) соответственно. Таким же образом может быть решена краевая задача для уравнения Лапласа в прямоугольнике с другими граничными условиями. Осторожность нужно проявлять при решении задачи Неймана, поскольку при редукции ее к стандартным задачам может появиться задача, которая не имеет решения, В этом случае исходную задачу заменой неизвестной функции можно свести к задаче для неоднородного уравнения с однородными граничными условиями.
Схема решения такой задачи изложена в гл. 111, э 7. 3 а м е ч а н и е. Решения краевых задач для уравнения Лапласа в случае круга, кольца и прямоугольника выписаны в виде рядов. Мы не будем исследовать сходимость этих рядов. Отметим только, что при достаточной гладкости граничных функций эти ряды сходятся и дают классическое решение соответствующих краевых задач. й 6. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛА В этом параграфе рассматриваются интегралы специального вида, называемые потенциалами, и исследуются их основные свойства.
1. Объемный потенциал Рассмотрим сначала трехмерный случай. Пусть в ограниченной области Р задана функция р(М). Интеграл (5,1) называется объемным потенциалом. Как было отмечено ранее, функция 1/Рис представляет собой определенный во всех точках МФЯ потенциал единичного точечного заряда, сосредоточенного в точке Я. Если в области 0 непрерывно распределен заряд с объемной плотностью р(Я), то в силу принципа суперпозиции естественно полагать, что потенциал, создаваемый данным распределением объемного заряда, выражается интегралом (6.1). Функция р называется плотностью потенциала. 166 Будем рассматривать объемный потенциал как обобщенную функцию и покажем, что при любой интегрируемой с квадратом функции р он является обобщенным решением уравнения Пуассона Л )У= — 4пр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
