Свешников, Боголюбов, Кравцов. Лекции по математической физике (1125176), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Таким образом, вопрос о разрешимости внутренней задачи Дирихле (7.4) сводится к вопросу о разрешимости интегрального уравнения (7.8). Покажем, что уравнение (7.8) имеет н при этом единственное решение при любой непрерывной функции ). Для уравнений Фредгольма с полярным ядром справедлива теория Фредгольма. Поэтому, согласно первой теореме Фредгольма, для доказательства однозначной разрешимости уравнения (7.8) достаточно показать, что однородное уравнение м(~ 0) ~1~(Р) г'~Р 1 . д 1 2п дар 11 рр (7.9) имеет только тривиальное решение. Согласно второй теореме Фредгольма исходное и союзное интегральное уравнение р (Ро) — — ~ р (Р) 1(5р — — 0 (7.10) 2п дар крр Р(М)=~р.(Р) "'". ~м (7.11) Функция Г(М) является гармонической функцией как в 0ь так и в О, и равномерно стремится к нулю в бесконечности.
Вычислим предельное значение нормальной производной функции У(М) на 5. Согласно (6.22) ( — ) =~1р.(Р) ду д ! 118~ — 2про (Ро) Ро е=- 8. дШ,) е дар ьрр 5 Поскольку р,(Р) есть решение уравнения (7.!0), =0 на Я. Таким образом, функция Р(М) является решением внешней од- нородной задачи Неймана Л$'=0 в О, 185 имеют одни и те же собственные значения, и ранги их одинаковы. В данном случае легче исследовать уравнение (7.!0). Покажем, что уравнение (7.!0) имеет только тривиальное решение. Доказательство проведем от противного. Пусть уравнение (7.10) имеет ненулевое решение ра(Р)ФО.
Естественно считать, что оно непрерывно. Построим потенциал простого слоя с плотностью р,(Р): И О,г- ьь. В силу единственности решения внешней задачи Неймана в трехмерном случае задача (7.12) имеет только тривиальное решение: )т(М) = — 0 в О, () 5. Функция )т(М), как потенциал простого слоя (7.11), непрерыв- на при переходе через поверхность 5.
Поэтому в области ст функция (т(М) есть решение однородной задачи Дирихле а!т=-0 в Ез, )т! В силу единственности внутренней задачи Дирихле )т(М) =0 в 17()5. Итак, функция )т(М) = — 0 во всем пространстве. Восполь- зовавшись формулой (6,17), находим р,(Р) = О 5, что противоречит исходному предположению. Следовательно, уравнение (7.10) имеет только тривиальное решение. Согласно первой теореме Фредгольма неоднородное уравне- ние (7.8) имеет и при этом единственное решение при любой непрерывной функции 1. Отсюда вытекает, что при любой непрерывной функции ) внутренняя краевая задача Днрихле (7.4) имеет классическое решение, и это решение единственно.
Таким образом, справедлива следующая теорема. Теор е м а 5.12. Внутренняя задача Дирихле (7.4) имеет классическое решение при любой непрерывной функции !'. Заметим, что построение функции Грина для задачи Ди- рихле эквивалентно решению краевой задачи со специальным граничным условием. Отсюда вытекает существование функ- ции Грина задачи Дирихле для области, ограниченной поверх- ностью Ляпунова.
Сделаем еще одно замечание. По ходу рассуждений было доказано утверждение, которое сформулируем в виде леммы. Л ем и а 5 1, Если потенциал простого слоя с непрерывной плотностью тождественно равен нулю либо в В, либо в Р„то его плотность равна нулю всюду на 5. 3. Интегральное уравнение для внешней задачи Неймана (7.
13) Рассмотрим теперь внешнюю задачу Неймана Ли=0 в 0„ ди — =0 дл, и 0 в бесконечности. Решение этой задачи будем искать в виде потенциала простого слоя: ддр и (М) =- ~. р (Р) (7.14) 5 МР При любой непрерывной плотности 1о(Р) функция (7.14) гармоническая в О, и удовлетворяет условию регулярности на бесконечности. Плотность !5(Р) определим так, чтобы выполнялось граничное условие () ~(), м Р 55 дле (7.15) Воспользовавшись формулой (6.22), из (7.15) получим ~ р (Р) йор 2пр (1 о) = — 1(Ро) дл р 17рр илн р (' о) — — ~5 !о (1') — йВР = — — 1(ро) Ро е- =В (7.16) 1 р д ! ! 2п длр 17р 2п 5 Р Найдя решение уравнения (7.16) и подставив его в (7.14), получим классическое решение задачи (7.!3). Таким образом, вопрос о разрешимости краевой задачи (7.13) опять сведен к вопросу о разрешимости интегрального уравнения.
Интегральное уравнение (7.16) согласно первой теореме Фредгольма имеет и притом единственное решение при любой непрерывной функции Н поскольку соответствующее однородное уравнение (уравнение (7.10)), как было доказано, имеет только тривиальное решение. Таким образом, внешняя задача Неймана разрешима прилюбой непрерывности функции 1. Следовательно, имеет место теорема. Т е о ре м а 5.13. Внешняя задача Неймана (7.13) шчеет классическое решение при любой непрерывной функции 4.
Интегральное уравнение для внутренней задачи Неймана и внешней задачи Дирихле Предыдущее рассмотрение показало, что интег. ральные уравнения для внутренней задачи Дирихле и внешней задачи Неймана оказались союзными интегральными уравнениями, так что исследование этих двух задач следовало бы вести одновременно. Естественно того же ожидать от внешней задачи Дирихле и внутренней задачи Неймана.
Поэтому исследование этих двух задач будем вести одновременно. Рассмотрим внутреннюю задачу Неймана 187 Ьи=-О в П, — — У (Р), ао, ~з (7. 17) Решение задачи (7.17) будем искать в виде потенциала про- стого слоя: азр и(М) = — су р(Р) — Р (7.18) Плотность и(Р) определяется из граничного условия ( — '" ) =( — '" )'+2пр(Р,)=-~(Р), Р, =8, Следовательно, для функции и(Р) получаем интегральное урав- нение и(Р,)+ у р(Р) а ~ г(ор — — 7(Ра), Р,~о.
(7.19) Подставляя решение уравнения (7.19) в (7.18), получим клас- сическое решение задачи (7.17). Напомним, что задача (7.17) имеет решение не всегда. Необходимым условием существова- ния решения является соотношение ~~(Р) о=О. (7.2О) Одновременно будем рассматривать и внешнюю задачу Дирихле Ли=О в В„ и регулярна на бесконечности. (7.2!) Решение задачи (7.21) будем искать в ниде и (М) = —,р ч (Р) — ЙБр+ кмр дмо (7. 22) 1зз где а=сопз1, )смо — расстояние от точки М до некоторой фиксированной точки О, расположенной в области 0: 0~0.
Решение представлено в виде потенциала двойного слоя и потенциала точечного заряда, находящегося внутри области Р. Необходимость второго слагаемого в (7.22) связана с тем, что потенциал двойного слоя на бесконечности имеет оценку 1 0 ( — ~ (см. п. 3), в то время как функция, регулярная на бес1 конечности, может убывать как 0 ( — !. Поэтому если в г (7.22) опустить второе слагаемое, то решения задачи (7.21), представимого только в виде потенциала двойного слоя, т. е.
( 1 убывающего в бесконечности как 0( — ~, может и не быть. (,~, Величину и определим позже. Плотность потенциала т(Р) определяется граничным усло- вием Вгп и(М) =)(Р,), Р„~ Я. м Р,еэ Используя формулу (6.16), отсюда получим — т(Р) — — с(Ю вЂ” 2пт ( и)+ =1(Ро). д 1 я д„~ ~ о Р о Следовательно, для функции ч(Р) получаем интегральное урав- нение ~(Р0)+ у~(Р) д 11 г(~Р ~ р 1( О)) Оен 1 д111а 2я . д"р ~рр, 2л ~р,о Заметим, что величина а пока не фиксирована.
Интегральные уравнения (7.19) и (7.23) являются союзными интегральными уравнениями. Поэтому разрешимость их нужно исследовать одновременно. Рассмотрим однородное уравнение т(~ ю)+;~т(Р) д Л !(ор — б .Ро ~3 (7.24). РР~ Ранее (см. 6.12)) было показано, что при Р, ен5 — — д5р= — 1, Р,с=Я.
1 д ! 2п . дар 5 Поэтому очевидно, что функция т(Р)=то=сонэ! является решением уравнения (7.24). Это означает, что Х=! является собственным значением ядра К (Р„Р) = —— 1 д 1 2л да йрр которому соответствует собственная функция т=ч,=сопз1. Согласно второй теореме Фредгольма Х=! является собственным значением и союзного ядра К*(Ро Р) =- Поэтому прежде всего вычислим ранг этого собственного зна- чения. 1ва Покажем, что ранг собственного значения Х=! равен единице. Для этого достаточно показать, что однородное урав- нение р(Ро)+ — ~И(Р) э д г(Бе=О (7.25) имеет только одну собственную функцию.
Пусть ц,(Р) — собственная функция уравнения (7.25). Составим потенциал простого слоя с плотностью рэ(Р): 1(М)=~р,(Р) "' ~и Поскольку м,(Р) удовлетворяет уравнению (7.25), то ( ) =~рз (~ ) д я пог+2про(Ре)= — О. Следовательно, функция 1'(М) есть решение внутренней однородной задачи Неймана АУ=О в О, =О. Поэтому $~(М) =С=сонэ! в 0+5. Заметим, что постоянная СФО, 'поскольку иначе по лемме 5.1 п. 2 получим по= — 0 на 5, что противоречит сделанному предположению.
Пусть существует второе ненулевое решение ро(Р) уравнения (7.25), т. е. вторая линейно независимая на 5 с р,(Р) собственная функция, соответствующая 7.=1. Тогда аналогично предыдущему и5, (г(М)=~ р,(Р) — = С=сонэ(~0 ~ме всюду в В()5. Построим функцию с, — ~~с„~~ Б С 5 (7.26) По построению Ф',(М)= — 0 в РЦ$. Поскольку согласно (7.26) 1/,(М) есть потенциал простого слоя, то по лемме 5.1 его плотность равна нулю на Я, т. е. ра(' ) ро(~ ) =О С гао Это означает, что функции ц,(Р) и н,(Р) линейно зависимы. )г(М) .~)з„(р) Р =1 всюду в О+5. (7.27). ~мр Потенциал г'(М) с плотностью ро(Р) носит название потенциала Робэна.
Итак, уравнение (7.25) имеет единственную собственную функцию мс(Р), а союзное однородное уравнение Р'(~ ь)+ )1 9(~ ) 1 р д 1 дь к~р ' О имеет единственную собственную функцию ч=чс=сопз(, причем можно считать, что чь — =1. Отсюда получаем, используя третью теорему Фредгольма что неоднородное уравнение (7.19) разрешимо, если ~ ~(Р) ! (8 = 0, (7.28) а уравнение (7.23) разрешимо, если (Р)~ и (Р)ЙЯр — 0 ! про (7.29) При выполнении условия (7.28) решение уравнения (7.19) имеет вид р(Р)=р(Р)+Ср,( ), (7.30) где р — некоторое решение неоднородного уравнения (7.19), С вЂ” произвольная постоянная. Подставляя (7,30) в (7.18), получаем решение внутренней задачи Неймана и (М) = ~1 !з (Р) + С ~ р (Р) р 3 мр 3 мр илн согласно (7.27) дхр и(М)=~р(Р) +С. Б ~~м~ (7.31) Итак, условие (7.20) является не только необходимым, но и достаточным условием разрешимости внутренней задачи Неймана.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
