Свешников, Боголюбов, Кравцов. Лекции по математической физике (1125176), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Так как каждый член ряда (4.13) является частным решением однородного уравнения (4.10), то в силу обобщенного принципа супер- позиции достаточно показать, что в области 11 существуют производные функции и(х, 1), входящие в уравнение (4.!0), и их можно вычислять путем почленного дифференцирования ряда (4.13) . ! Там жп. воз Покажем прежде всего, что функция и(х, (), представимая рядом (4.13), непрерывна в области й. Из формулы (4.15) следует, что мажорантным для ряда (4.13) будет ряд из модулей коэффициентов Фурье функции ор(х) ! ~ (С„(, л=! Е''' ъ '' длил(х, !) %ч дел(х, !) и ~.
дхо ллл) д( л=! л= ! (4.16) где и„(х, () =С„е ! 1 з(п — х — обший член ряда (4.13). Поскольку функция !р(х) непрерывна на отрезке 10, Д, то она ограничена на нем (ор(х)3 < М, х е 10, (), где М ~ 0 †некотор постоянная и )С„! =- — ~~<р(х)з(п — хо(х)(2М, о Поэтому при ()! получаем 'лал о " (=) — С„( — ) пое гйп ~ х)< (2М ( — ) пое (4.17) ~ — "~=~ — С„( — ) е з!и™ х ( х04 который сходится в силу условий, наложенных на функцию !р(х), и сформулированных выше свойств рядов Фурье. Тем самым ряд (4.13) сходится равномерно к функции и(х, !) в области Й и функция и(х, !) непрерывна в Й.
Следовательно, при !' — !-0 функция и(х, () удовлетворяет начальному условию (4.11), а при х- 0 и х- 1 функция и(х, () удовлетворяет однородным граничным условиям (4.12). Покажем теперь, что при 1)1, где 1)0 — любое число, сходятся равномерно ряды из производных 4 а.
Функция ГРинА Вернемся к решению начально-краевой задачи (4.1) — (4.3). Пусть система собственных функций (ол(М)1 задачи Штурма — Лиувилля ортонормирована: !!о„!)=1. Решение задачи (4.1) — (4.3) дается формулой (4.6): л и (М, 1) = ~, Сле л'ол (М) л=! с коэффициентами, вычисляемыми по формуле Сл = ') сР (ф о, (ф Р (Се) с()'Ф и = 1, 2, о (5.1) Используя асимптотику собственных функций ол(М), можно доказать*с, что при достаточных условиях гладкости функций *! См., например: М и х а й л о в В. П. Дифференниальные уравнения в частных производных.
Мл Наука, !976. 20а ( л ) у (2М ( — ) иге (4. 18) Из формул (4.17), (4.!8) вытекает, что для доказательства равномерной сходимости рядов (4.16) нужно доказать сходимость мажорантных рядов вида слал а- л 1ч иге ( с,! =~ ал, (4.19) л=! л=! ! и с иота где сч'= 2М ( — ) для первого мажорантного ряда и сч'=2М ( — ) — ~!) для второго. Сходимость ряда вида (4.19) следует из признака сходимости Даламбера, так как — !за+!! С о„! л т л Поскольку при 1) 11)0 мажорантные ряды для рядов (4.16) сходятся, то сами ряды сходятся равномерно и ряд (4.!3) можно дифференцировать почленно дважды по х и один раз по 1 при 1~1 или, ввиду произвольности 1)0, в области 11= = (О, 1) Х (О, оо) .
В силу обобщенного принципа суперпозиции функция и(х,1), представимая рядом (4.13), удовлетворяет уравнению (4.10). Итак, мы доказали, что при условиях теоремы функция и(х,г), представимая формулой (4.13) с коэффициентами (4.14), является классическим решением начально-краевой задачи (4.10) — (4.12).
° гр(М) ряд (4.6) представляет классическое решение задачи (4.1) — (4.3). Подставим (5.!) в (4.6) и поменяем порядок интегрирования и суммирования: и (М, 1) = ~ Д е " 'о„(М) он (6)~ ~р (6) р (6) Ю)г,, Р в=-1 Введем обозначение 6(М Я Г)=.~ и '"'о (М)о (Ю) л=! (5.2) Тогда н(м, г) = '! 6(м, 6, Фр(®р(Я)ж (5.3) о Можно доказать, что если функция го(М) непрерывна в области О, то формула (5.3) определяет классическое решение задачи (4.!) — (4,3), Определение. Функция 6(М, Я, 1), определяемая формулой (5.2), называется функцией Грина, нли функцией источника задачи (4.!) — (4.3). Для начально-краевой задачи общего вида функция Грина была введена в $ 5 гл. П1. Рассмотрим физический смысл функции Грина. Выберем в качестве начальной функции непрерывнлую в области Р функцию ер,(М), равную нулю вне шара К,' радиуса а с центром в точке М,, принадлежащего области О, и положительную в этом шаре.
Предположим, что функция ер.(М) удовлетворяет условию нормировки: для любого е)0 '1 го,(6) р(6) Я~=1. .Мо Согласно формуле (5.3) решение и,(М, !) задачи (4.1) — (4.3) с начальной функцией гр,(М) имеет вид ие (М, Г) = ~ 6 (М, Я, 1) СРе Й) Р (1Еч) Г()ГЧ вЂ”вЂ” о ~ 6(м* Я г)ч.(6)р(Я)"Р'о к ' Применяя к интегралу (5.5) формулу среднего значения ', получим с учетом (5.4) (5.5) 200 м См,. И ль и н В, А., Поз н я к Э. Г. Основы математического анализа. Ч 1.
4-е нзд М.: Наука, 1982. ме (М, г) = 6 (М, М*, 1) 1 ф, (6) р (6) е(1'= 6 (М, М', 1), (5.6) м, к.' где точка М" принадлежит шару К,'. М ан Ке'. Перейдя в формуле (5.6) к пределу при в- О, получим ме(М Г)=11шм (М 1)=6(М Ме 1). е е (5.7) при этом мы учли формулу (5.4). Итак, функция Грина 6(М,Мо,() представляет собой температуру тела Р в точке М в момент времени г при мгновенном выделении единичного количества тепла в точке Мо в момент времени 1=0. Из физического смысла функции Грина становится ясным ее второе название — функция источника.
3 а м е ч а н и е. Рассмотрим функцию фе(М), являющуюся пределом при в- 0 функции ф,(М): ф, (М) = 1пп ф, (М). е о Согласно определению дельта-функции дирака ю функция фе(М) выражается через дельта-функцию б(Я, М) следующим образом: фе (М) = б (Ме М). р(м) Итак, функция фо(М) является обобщенной функцией. При этом формулу (5.7) можно сразу получить из формулы (5.3), пользуясь известным свойством дельта-функции. Если ввести обобщенную функцию ио(М, 1) как решениеследующей начально-краевой задачи: рисе=0(ч(lгдгадие), (М, г) ~6 Из формулы (5.7) следует„что функция Грина 6(М,Мо,г) с физической точки зрения представляет собой температуру тела Р в точке М в момент времени 1, если возбуждение тела производится мгновенным точечным источником, действующим в момент времени 1=0 в точке М,.
Подсчитаем мощность точечного источника. Напомним, что коэффициент р(М) равен р(М)=с(М)р(М), где с(М) — удельная теплоемкость тела Р, а р(М) — его плотность. Количество тепла д, сообщенное телу Р в начальный момент 1=0, равно д =! пп 1 с (ф о (9 ф„(6) дР = 1пп ~ р (6) ф, (6) е(Р' = 1, (5.8) е ос е ой о См: В л а н н м и р о в В. С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1988. 207 и'(М„О)= б(М„М), Ме О, М,~ О, Р (!Но) а(Р) — +()(Р)из=О, Р~ 3, !'я(0, оо), дп то б(М, М„!) =и'(М, !). й 6.
НЕОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И НЕОДНОРОДНЫЕ ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ 1. Неоднородное уравнение теплопроводности Рассмотрим задачу для неоднородного уравнения теплопроводности с однородными начальным и граничным условиями: ри,=йу(йпгаг(и)+1, (М, !)~Я, (6.1) и (М, 0) = О, М е= О, а (Р) — + Р (Р) и = О, Р— Я, Г ~ (О, оо). дп Предполагая, что классическое решение задачи (6.!) — (6.3) су- ществует, получим его представление через функцию Г(М,1) методом Фурье. Заметим, что согласование начального (6.2) и граничного (6.3) условий происходит автоматически.
Общая схема построения методом разделения переменных решения краевых задач для неоднородного уравнения дана в гл. П1. Так как классическое решение является дважды непрерыв- но дифференцируемой по координатам точки М функцией, удов- летворяющей однородному граничному условию (6.3), то для него имеет место разложение и(М, !) =~ и„(!) г„(М), (6.2) (6.3) (6! и=1 где "! См: Ильм н В. А., Позняк Э Г. Основы математического анализа.
Ч. 2. М.: Наука, 1990. 208 ич (Г) = ) и (Ч!, О о„ф) о (!З) тЛ/, п = 1, 2, ..., и для а (о„(М)) — ортонормированная система собственных фун. 4ач задачи Штурма — Лиувилля (4.4). В силу известных свойств собственных интегралов, зави щих от параметра для коэффициентов и„(г), выполнены уел, вия теоремы о дифференцируемости интеграла по параметру*!. Следуя схеме, изложенной в $5 гл.
П!, подставим разложение (6.4) в уравнение (6.1). После преобразований для коэффициентов и„(1) получим неоднородное дифференциальное уравнение и„' (г) + Х„и„(!) = 1„(г), где 7„(1)=~,~(ф Г)со(О)с(Р, п=!, 2, о Из формул (6.2) и (6.5) следует также, что и„(0)=0, п=!, 2, ... Итак, для коэффициентов и„(1) получается задача Коши и„'+Х„и„=1„, 1ен (О, оо), (6.7) (6.8) ио(0) =О. Решение задачи Коши (6.7), (6.8) можно записать с помощью импульсной функции 0 и„(1)=) е ~ои "~„(т)е(т, п=1, 2, ... (6.9) а Подставляя формулу (6.9) в формулу (6.4) и меняя порядок интегрирования и суммирования, получим и(М, г) = ) ~ б(М, Я, 1 — т) ~(Я, т)еВ'ой, о й где функция Грина ех(М, Я, 1) определяется формулой (5.2). Замечания.
1) Доказательство существования классического решения задачи (6.1) — (6.3) и представление его формулой (6.10) мо"~т быть проведены с помощью метода Фурье для достаточно ткой границы 5 области 11 и достаточно гладкой в цилиндфункции 1(М, 1), удовлетворяющей граничным условиям н . Введем понятие фундаментального решения задачи нес" -(6.3) как решение задачи рис с))у(ййгабио)+б(М Мо)б(1 го) (М 1)~ Я огр." ио(М, О)=О, М =О, а(Р) — +р(Р) ив=О, Ре:-5, Ген(0, оо). дп '1 Сих Тихонов А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
