Свешников, Боголюбов, Кравцов. Лекции по математической физике (1125176), страница 31
Текст из файла (страница 31)
3) Принцип сравнения 2. Теорема 6.4, Если два решения уравнения теплопровод- ности (1.1), непрерывные в замкнутом цилиндре 0т, удовлет- воряют условиям )и,(М, О) — и (М, О)! <е, Ме й, (и„(Р, () — и,(Р, 1)) <е, РеЯ, 1ен'10 Т), 197 Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим функцию о=и,— иь В силу линейности уравнения теплопроводности функция о удовлетворяет однородному уравнению (2.1), причем как классическое решение этого уравнения функция о(М,1) непрерывна в замкнутом цилиндре 0т. Так как из условий (2.7) и (2.8) следует, что то (иг(М, !) — и,(М !)! (е, (М, !) «=фт, (2,!0) Доказательство.
Рассмотрим функции г,(М, !) = — е, оа(М, !) =и,(М, ~) — и,(М, ~), г,(М, !)=е. Эти функции удовлетворяют однородному уравнению теплопроводности (2.1) и непрерывны в замкнутом цилиндре 5г. Применяя принцип сравнения 1 к функциям о, и гз и к функциям оз и оз, получим о! (М ~) ~па (М ) ~па(М ') (М ) «-"" 'чт! откуда следует (2.10). Заметим, что доказанный принцип максимума не противоречит существованию классического решения уравнения теплопроводности (2.1), равного постоянной.
Физически принцип максимума для уравнения (2.1) означает отсутствие флуктуаций: температура тела во внутренней точке не может стать большей, чем температура тела в начальный момент или на границе тела при отсутствии источников (!(М) =— 0).
Принцип максимума выполняется и для общего уравнения параболического типа, описывающего самые различные физические явления, а не только процессы распространения тепла. Имеет место следующая теорема ю. Т е о р е м а (принцип максимума для общего параболического уравнения), Пусть функция и(М, !) непрерывна в замкнутом цилиндре ггт=(М~К 0<г<Т) и удовлетворяет в открытом цилиндре !1т однородному уравнению ри, =д!У(й пгад и) — ди, (2. 11) где р(М), !г(М))0, а д(М))0.
Тогда функция и(М, !) может достигать своих положительного максимального и отрицательного минимального значения только либо при 1=О, либо на поверхности 5 границы области й. Отметим, что если функция и(М, !) имеет физический смысл температуры, то при положительной температуре и условии д)0 член уравнения (2.11) — ди описывает процесс поглощения тепла. 5 3. ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ И УСТОИЧ ВОСТИ Ра отрим начально-краевую задачу для уравнения теплопров ности с граничными условиями первого рода (задачу Дирихле) ' См: В л а д и м и р о в В. С. Уравиеиии математической физики 4-е взд. Мл Наука.
!988. !98 ри,=д(ч(ййгади)+~, (М, 1) ~ Ят, (3.1 и(М, 0)=ф(М), Мен О, (3.2) и (Р, Г) = р(Р, Г), Р е 5, Г е= [О, Т~1. (3.3) Если рассматривать классическое решение задачи (3.1) — (3.3), необходимо добавить условие согласования начального и граничного условий ф(Р)=р(Р, 0), Ре= Я. Докажем для задачи (3.1) — (3.3) теорему единственности. Теорем а 6.6, Задача (3,1) — (З.З) может иметь только одно классическое решение. До к а з а т ел ьс т в о.
Предположим противное. Пусть существуют два классических решения задачи (3.1) — (3.3) и,(М, г) и из(М,(). Рассмотрим функцию о=и,— иь Очевидно, о(М, 1) является классическим решением однородной начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности (3.1), непрерывным в замкнутом цилиндре 0т. Применяя к функции о(М, 1) принцип максимума, получим о(М, Г)(0, (М, 1) ЯЯт, а применяя принцип минимума, имеем о(М, 1)>0, (М, 0~от. Из двух последних формул следует, что о (М, 1) = О, (М, Г) ест, т. е. и, = и,, (М, 1) ~ гт.
Полученное противоречие доказывает теорему. Если существует классическое решение задачи (3.1) — (3.3), то оно устойчиво по начальным и граничным значениям. Теор ем а 6.6. Классическое решение задачи (3.1) — (З.З) устойчиво по начальным и граничным значениям. Доказательство, Пусть и,(М, 1) — решение задачи (3.1) — (З.З) с начальной и граничной функциями ф, (М), рл(Р, 1), а иг(М,1) — решение той же задачи с начальной и граничной функциями фт(М), и,(Р,1). Предположим, что выполняются неравенства [ рь (М) — ф, (МН ( е, М е- =И, [р,(Р, 1) — рг(Р, 1) [ (е, Р в= 3, 1 а=[0, Т~.
Нам нужно доказать, что функции и,(М,1) и и,(М,() удовлетворяют неравенству [и,(М, ~) — и,(М, г)[ (е, (М, 1)~фт. (3.4) 199 Неравенство (3.4) сразу следует из принципа сравнения 2, ес- ли его применить к функциям и,(М, 1) и и,(М, 1), $4. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В СЛУЧАЕ ОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ 1.
Построение формального решения начально-краевой задачи для однородного уравнения теплопроводиости с однородными граничными условиями Проведем редукцию (см. $ 1 гл. 111) общей начально-краевой задачи (!.1) — (!.3) и рассмотрим задачу для однородного уравнения теплопроводности с неоднородным начальным и однородным граничным условиями ри, = — йч (lг афтаб и), (М, Г) ее Я, (4.1) и (М, О) = ~р (М), М ~ О, (4.2) а — +ри=О, Р е5, ! е [О, со). (4.3) д« Для классического решения задачи (4.!) — (4.3) должны быть выполнены условия согласования начального и граничного условий а — + ~<р[з — — О.
де д« Построим методом Фурье формальное решение задачи (4.1)— (4.3). Общая схема метода разделения переменных приведена в $ 4 гл. Н1. Рассмотрим в области г) следующую задачу Штурма — Лиувилля: 4!У (й нгас! о) + Хро = О, М ~ Р, (4.4) д« а — + ро[э — — О.
д« Нз общей теории следует, что существуют счетное множество собственных значений (А„) и полная в области Р система собственных функций (о„(М) ). Будем искать решение задачи (4.1) — (4.3) в виде разложения по этой системе: (4.5) и (М, г) = ~1 Т„(!) 0„(М).
«=1 Для функции Т„(1) получаем уравнение Т„+ Е„Т„= О, 200 решение которого имеет вид Т„(1)=С„е ~ '. Таким образом, и(М, !)=~ С„е хп о„(М), (4.6) (4.7) В силу полноты системы собственных функций задачи Штурма — Лиувилля (4.4), если функция !р(М) удовлетворяет условиям теоремы Стеклова (ч!енС!з>(1з)) и удовлетворяет граничным условиям (4.3), то ряд (4.7) сходится к функции ф(М) равномерно. Коэффициенты С„вычисляются по формуле С„=- 1 ср(М) о,(М)р(М)с('г'и, ~~~И~' 1 о (4.8) где 'по„()' = 1 о~ (М) р (М) !(о о (4.9) — квадрат нормы собственной функции. Итак, формально построенное решение задачи (4.1) — (4.3) представляется рядом (4.6), коэффициенты которого определяются по формулам (4.8) — (4.9). Подчеркнем еще раз, что мы построили решение задачи чисто формально.
Необходимо обоснование того, что функция и(М, 1), представимая рядом (4.6), является классическим решением задачи (4.1) — (4.3). Оно может быть проведено при условиях гладкости функции ф(М), обеспечивающих не только равномерную сходимость ряда (4.7), но и удовлетворение функцией (4.6) уравнению всюду в цилиндре (е. Это обоснование будет проведено в следующем пункте для одномерной задачи Дирихле. 2. Существование классического решения уравнения теплопроводиости на отрезке Рассмотрим задачу для уравнения теплопровод- ности с постоянными коэффициентами на отрезке при однород- ных условиях Дирихле: и,=а'и„„0<х<1, 0<1< со, и(х, 0) =<у(х), О <х<1, (4.10) (4.1 1) зо! я=! Коэффициенты ряда (4.6) определяются из начального условия (4.2): и(0, 1) =О, и(Е, !) =О, 0 <Е( оо, (4.12) где коэффициент а'=й/ср, !з — коэффициент теплопроводности, с — удельная теплоемкость, р — плотность.
Коэффициент а' час- то называют коэффициентом температуропроводности. Формальное построение решения этой задачи методом Фурье было проведено в гл. П1. Оно имеет вид (ив )а и(х, !)=~С„е ' ' ~ з(п — х, (4.13) в=! где ! С„'= — [ !р(х) ейп — хйх, п=-1, 2,... (4.
14) 1,1 'о Покажем, что при определенных условиях на функцию гв(х) ряд (4.13) с коэффициентами, вычисляемыми по формуле (4.14), представляет собой классическое решение задачи (4.10) — (4.12) . Напомним, что необходимым условием существования классического решения задачи (4.10) — (4.12) является условие согласования начального (4.11) и граничных (4.12) условий: ч (О) =р (1) =О. Предварительно сформулируем полезное вспомогательное положение — обобщенный принцип суперпозиции. Л ем м а 6.1 (обобщенный принцип суперпозиции). Пусть и„(х,1), п=1,2, „,,— частные решения линейного однородного дифференциального уравнения обыкновенного или в частных производных Е[и„(х, 1)1=0 и пусть все дифференциальные операции над функцией и=) С„и„(х, 1), входящие в зто уравнеч=! ние, можно проводить путем почленного дифференцирования ряда.
Тогда функция и(х, 1) также удовлетворяет уравнению А[и)=0. Доказательство. При выполнении сформулированных в лемме условий получаем 1. [и) = Е ~ ~~ С„и„1 = '~ С„(. [и„] = О. ° л=! л=! В качестве достаточного условия для возможности почленного дифференцирования ряда будем пользоваться равномер\ ной сходимостью ряда "5' С„1[и„]1, получаемого в результате л=! дифференцирования *!. "' См ! Ил вин В. А, Поз ня к Э. Г.
Основы математического анализа. Ч. 2. 2-е иза. Мз Наука, !980. 202 Напомним также известное свойство рядов Фурье*!. Если периодическая с периодом 21 функция г"(х) имеет на отрезке 1 — 1, 11й непрерывных производных, а (я+1)-я производная ее на этом отрезке кусочно-непрерывна, то сходится числовой ряд ).' и' ((а„! + ! Ь„!), (4. 15) п=а где а„и 6„— коэффициенты Фурье в разложении функции пп .
пп г(х) по тригонометрической системе (соз — х, з!и — х~ ! ' ! Если функция 1(х) задана на отрезке !О, 1) и разлагается в ряд Фурье только по з!и — пх, то сформулированные требования должны выполняться для функции г (х), являющейся нечетным продолжением функции г(х), В частности, для непрерывности и периодичности с периодом 21 функции г (х) необходимо, чтобы 1(0) =0 и 1(1)=0.
Непрерывность первой производной в точках х=О и х=1 при нечетном продолжении получается автоматически. Теорема 6.7. Лусть функция !р(х) непрерывна на отрезке !О, 11, имеет на нем кусочно-непрерывную производную и удовлетворяет условиям !р(0) =!р(1) =О, Тогда существует классическое решение задачи (4.! 0) — (4.12), представимое рядом (4.13) с коэффициентами (4.14).
Доказательство. Ряд (4.13) с коэффициентами (4.14) удовлетворяет однородным граничным условиям (4.12), поскольку им удовлетворяют все собственные функции гйп — х, и при 1=О переходит в тригонометрический ряд Фурье на отрезке !О, 11 для функции Ч!(х), удовлетворяющей условию разложимости в ряд Фурье: <р (х) = ~~ Сп з! п — х. п=! Остается доказать, что ряд (4.13) сходится в области Й= =10, 11Х(0, по) и функция и(х, 1), представимая этим рядом, непрерывна в области Й, обладает непрерывными производными, входящими в уравнение (4.10), и удовлетворяет однородному уравнению (4.10) в области 11=(0,1) Х(0, пп).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
