Свешников, Боголюбов, Кравцов. Лекции по математической физике (1125176), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Н., Васильева А. Б., Свешников А. Г. дифференциальные уравнения. Мх Наука, 1985. Функция ио(М, 1) является обобщенной функцией и из(М, 1) с-'С (М» Мсь 1 гсс) . 2. Неоднородное граничное условие Рассмотрим, наконец, начально-краевую задачу для однородного уравнения теплопроводности с однородным на- чальным и неоднородным граничным условиями: ри, =Жч(йдгас(сс), (М, 1) с== сС„, (6.11) сс (М, 0) =О, М еи б, (6.12) а(Р) — +(1(Р)и=)с(Р, 1), Р а=3, 1ы(0, со).
(6.13) да С помощью замены и(М, 1)=ис(М, 1)+о(М, 1), где ис(М, 1) — достаточно гладкая функция, удовлетворяющая неоднородному граничному условию (6.13), задача (6.11)— '(6.13) сводится к начально-краевой задаче с однородными гра- ничными условиями: рос=с(1ч(йдгас)о)+7(М, 1), (М, 1)~Я, о(М, 0)=ср(М), Мее0, а(Р) — "+р(Р)о=О, Ре 5, 1е=10, оо), дсс где ~(М, 1) =с)1ч(й ягас( пс) — рп»е »р(М) = — пс(М, 0). Если же можно так выбрать функцию пс(М, 1), чтобы она удовлетворяла не только условию (6.13), но и однородному уравнению (6.11), то в этом случае Г(М, 1) =0 и задача (6.11)— (6.13) сводится к задаче для однородного уравнения с неоднородными начальными условиями. й ?.
ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕНЛОПРОВОДНОСТИ Перейдем к изучению начальной задачи для уравнения теплопроводности в неограниченной области. Начнем с одномерного случая. 1. Постановка задачи Коши для уравнения теплопроводности на бесконечной прямой Рассмотрим задачу Коши в одномерном случае на бесконечной прямой Йс для уравнения теплопроводности с 210 постоянными коэффициентами. Введем обозначения: й=(х'Х Х (О, Т] и й=(с'Х[0, Т]. Задача Коши имеет вид и,=аьи„+7(х, 1), (х, Е)~ й, (7.1) и (х, 0) = ~р (х), х еи )к'.
(7.2) Дадим определение классического решения задачи (7.1), (7.2) . Определен не. Классическим решением задачи (7.1), (7.2) называется функция и(х, 1), определенная и непрерывная вместе со вторыми производными по х и первыми производными по 1 в области й, удовлетворяющая уравнению (7.1) в этой области, непрерывная по г в области й и удовлетворяющая начальному условию (7.2). 2. Теорема единственности Теорема 6.8. Задача (7.1), (7.2) может иметь только одно классическое решение, ограниченное в области й. До к аз а тел ь ство. Предположим противное. Пусть и, (х, 1) и и~(х, 1) — два классических ограниченных решения задачи (7.1), (7.2). Функции и, и и~ непрерывны и ограничены в области й: 1иь( (М, й=!,2.
Рассмотрим функцию и(х, 1), равную разности этих функций: е (х, 1) = и, (х, 1) — и2(х, 1). (7.3) Функция и(х, 1) непрерывна в области й, ограничена 1в(х, 1) ) с (2М, удовлетворяет в области й однородному уравнению теплопроводности о,=а и„ 2 и однородному начальному условию и(х, 0) =О. Однако применить к функции о(х, 1) принцип максимума, подобно тому как это было сделано в $3, нельзя, поскольку в неограниченной по х области функция о(х,1) может нигде не принимать максимального значения. Чтобы воспользоваться принципом максимума, рассмотрим ограниченную по х область 1х] <Е, где 7.)0 — вспомогательное число, которое будем затем неограниченно увеличивать. Обозначим й, =[ — Е, Е]х[0, Т] и й, = [ — 1„0]х(0, Т]. 2ы Введем вспомогательную функцию (ее обычно называют барьером) ш(х, 1)= — ( — +аз(), 4М !хз 1з (,2 Функция в(х,() непрерывна в области Йь и удовлетворяет в области ьах однородному уравнению теплопроводности (что проверяется непосредственно).
Кроме того, функции н(х, 1) и гн(х, 1) связаны следующими неравенствами: гн(х, О) >)о(х, ОИ =О, (7 4) гн(.+Е., 1))2М))н(~Е, 1)!. (7.5) В ограниченной области ь)х уже справедлив принцип максимума. Применяя принцип сравнения ! к функциям — ге(х,г), п(х, 1) и к функциям о(х,(), тн(х,(), с учетом (7.4) и (7.5) получим — — ! — +аз(1 (о(х, .')( — ( — +азГ). (7.6) Зафиксируем точку (х,()яйх и перейдем в формуле (7.6) к пределу при Е- оо.
Тогда по известной теореме анализа "> получим !пп н(х, 1)=О. Е в Отсюда в силу независимости функции о(х,() от Е и в силу произвольности точки (х, 1) получаем, что всюду в области Й функция а(х, 1) = — О. Поэтому всюду в области Й и,=им т. е. решение единственно. ° 3. Фундаментальное решение.
Интеграл Пуассона Для решения задачи (7.!), (7.2) применим метод разделения переменных. Сначала найдем нетривиальное ограниченное решение ш(х, 1) однородного уравнения и =а'и (7.7) представимое в виде произведения гн (х, 1) = Х (х) Т (1) ~ О. Подставляя ги(х,() в (7.7), получим Х" (х) т' (1) — = — )., Х (х) азТ (() ') Смх Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. Ч. 1. Мх Наука, 1982. 212 Х" (х)+ЛХ(х)=0, х сна', 1Х(х)((М, где М)0 — некоторая постоянная. Общее решение уравнения (7.8) имеет вид 7 (1) = Ае .а ьг (7.9) (7.!0) где А — некоторая постоянная, и из ограниченности решения следует )сеЛъО, а общее решение задачи (7,9), (7.10) записывается в виде Х(»)=С,е' г'" +С,е — '" '* где С, и Сз — некоторые постоянные и 1шЛ=О. Отсюда следует, что Л вЂ” вещественное и Л) О.
Положим для удобства Л=йз и предположим, что параметр й меняется непрерывным образом от — оо до +со: ее='11'. Тогда ограниченные решения задачи (7.9), (7.10) имеют вид емк ь~ я1 Отметим, что спектр задачи (7.9), (7.10) непрерывный. Из уравнения (7.8) получим т(г)=с(й) -"*, н, окончательно, функция ш(»,1) представнма в виде ш (» Г) С (ь) е — амч+мк Построим теперь решение задачи Коши (7.7), (7.2) как супер- позицию частных ограниченных решений гв(х, 1) уравнения (7.7).
При этом, поскольку параметр й меняется непрерывным образом, вместо суммы нужно взять интеграл и(х Г) ~ С(я) е — ежи+мхе(й (7.11) Если этот несобственный интеграл, зависящий от параметров х и Г, сходится при (х, 1)еий к непрерывной функции и(х, г) и существуют ее частные производные, входящие в уравнение (7.7), которые можно вычислить путем дифференцирования под знаком интеграла (7.11), то функция и(х, 1), представимая в виде интеграла (7.11), удовлетворяет уравнению (7.7).
Чтобы функция и(х, Г) (7.11) удовлетворяла начальному условию (7.2), должно выполняться соотношение 213 где Л вЂ” параметр разделения, Отсюда для функции Т (1) получим уравнение Т'+ а'ЛТ = О, (7.8) а для функции Х(х) — следующую задачу на собственные значения: гр(х)= 1 С(тз)ега гтгз, из которого определяется функция С(й).
Это соотношение, очевидно, представляет собой разложение заданной функции гр(х) в интеграл Фурье. Используя формулу обратного преобразования Фурье*>, по- лучим С (/г) = — ~ <р (9) е-г" Щ. 2л (7.12) Подставим формулу (7.12) в (7.11) и поменяем порядок интег- рирования. В результате получим и(х, 1) = ~ ~ ~ е — "'и+"1' — М Ы~ гр(9)с(9. (7.13) , 2л Вычислим интеграл в правой части формулы (7.14). Рассмотрим интеграл 7(()) = ) е о*а*+'ив Д)з.
Продифференцируем интеграл 7(р) по параметру р и проинтег- рируем по частям: ( 1ЬŠ— ™зг ав Г()З вЂ” ~ Еыа Г(Š— амн еВ .) 2аз ьч = — — Е'аа — "'и* ~ + — ( ГРŠ— о*а'+Г"агй= — — 1(Р). 2аз ) 2аз ,) 2аз В результате для функции !(б) получается дифференциальное уравнение первого порядка — + — 7=0, нВ 2гзз общее решение которого имеет вид *' См: Ильин В. А., Повии к Э. Г, Основы математического анализа Ч 2 2-е изд. М: Наука, 1980 214 Обозначим внутренний интеграл в правой части формулы (7.13) следующим образом: 6(х, $, 1) = Г е — '*""+'ь1' — 11 гй.
(7. 14) 2л,) зз 7(р) =Се Определим"'постоянную С нз соотношения С=7 (О) = ~ е "*а*Ы= — ~ е — '*с(г=— 1 Р н а а и окончательно получим а* 7(НИ) ~ С вЂ” аоейМЗЩ Ъ Н 4о (7. 15) 1» — а)* 6 (х ее () — с 4ач (7.!6) 2а ')l зи Оп р ед ел е н н е. Функцию 6(х, $, !), определяемую формулой (7.15), будем называть фундаментальным решением уравнения теплопроводности в одномерном случае.
Из формулы (7.13) вытекает, что формальное решение задачи Коши (7.7), (7.2), (7.3) представляется формулой и(х, 1) = ) 6(х, $, 1) <р(с)с)9. (7. 17) Представление решения задачи Коши в виде интеграла (7.17) обычно называют интегралом Пуассона. 4. Свойства фундаментального решения 1) Из формулы (7.1б) следует, что функция 6(х, $, !) определена при (>О и положительна: 6(х, 9, 1) >О. 2) Непосредственной проверкой легко установить, что функция 6(х,й,() по переменным х и ! удовлетворяет однородному уравнению теплопроводности при 1>О: 6,(х, $, 1) =аз6„„(х, $, !), (х, 1) е О, $ я К'.
3) Известно, что разложение дельта-функции в интеграл Фурье имеет вид*) 6 (х, $) = — 1 е'а1' — й) сУ). 2я .) ') Смз Владимиров В. С Уравнения математической физики. 4-е изд. Мз Наука, 1981. 218 Сравнивая формулы (7.!4) и (7.15) и полагая а=а-(Г), р=х — $, имеем Поэтому из формулы (7.14) следует, что 6(х, $, О) =б(х, Ц. Это позволяет дать следующее определение фундаментального решения. Определение.
Фундаментальным решением 6(х,$,1) уравнения теплопроводности в одномерном случае называется решение задачи Коши бг=аа6х„(х, Г) ен Й, $ен и', 6(х, еь, О) =6(х, й), х ~ йз, $;: — зкз, непрерывное всюду в области Й, за исключением точки (9, О) (т. е. х=й, 1=0). Из этого определения следует, что функция 6(х, 9,1) является регулярной обобщенной функцией*1, 4) Из формулы (7.17) следует, что функция 6(х, $, 1) с физической точки зрения представляет собой температуру в точке х в момент времени 1, если в начальный момент 1=0 в точке й мгновенно выделяется некоторое количество тепла д>0. Проинтегрировав функцию 6(х,$,1) по х от — оо до оо, используя замену х — к а= 2а ')/1 получим '1 6(х, $, 1)с(х=1.
(7.18У Физический смысл формулы (7.18) заключается в том, что количество тепла, находящегося на бесконечной прямой х~й' в последующие моменты времени 1>0, не изменяется с течением времени. Действительно, количество тепла, находящееся в момент 1>0 на оси хенй', равно д=ср 1 6(х, $, 1)с(х=ср=р, где с=сонэ( — удельная теплоемкость, р=сопз1 — линейная плотность бесконечной прямой. Точечный источник, находящийся в точке $, в начальный момент 1=0 выделяет количество тепла д=ср=р. Изобразим график функции 6(х, $, 1) для различных значений 1 (рис.
6.1). Величина площади фигуры, расположенной между кривой и осью х, умноженная на ср=р, равна количе- и Смз В л а л и м и р о а В. С, Уравнения математической физики Мл Наука, 1988. 216 ству тепла, подведенному к бесконечной прямой в начальный момент. Для малых значений ()О почти все тепло сосредоточено в малой окрестности точки 5. В начальный момент времени 1=0 все количество тепла сосредоточено в точке ~. В точке е(х, Т, с) х=-я получаем 6,$, ) Таким образом, температура в точке $, где в начальный момент происходит мгновенное выделение тепла (действует мгновенный точечный источник), для малых 1 неограниченно велика. 6) Из формулы (7.16) следует, что функция 6(х,$,1) является симметричной по хи я.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
