Свешников, Боголюбов, Кравцов. Лекции по математической физике (1125176), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Рассмотрим, например, начально-краевую задачу на полупрямой К+ для однородного уравнения теплопроводности с однородными граничными условиями третьего рода: и,=а'и„, (х, 1) ен й~ь, и(х, 0) =~р(х), хан ц (1 1. 29) и,(0, г) — йи(0, Г)=0 гы [О, Т~1. Предположим, что функция ~р(х) удовлетворяет условию согласования начального и граничного условий: р (О) — йр(0) =О. Согласно лемме 6.4 нужно так продолжить функцию ф(х) на отрицательную полуось, чтобы была нечетной функция Ф'(х)— — ЙФ(х), где Ф(х) — продолжение функции ф(х) на всю ось.
Очевидно, Ф(х)=— ~р(х) при 0(х(со. Для определения функции Ф(х) при отрицательных значениях аргумента получим задачу Коши Ф'(х) — ЙФ(х)=7" (х) х(0, Ф(0) =(р(0), где 7(х)= — <р'( — х)+Ьр( — х), решение которой имеет вид к Ф(х)=-(р( — х)+2п')еа(к-г)~р( — г)е(г х(0 о Итак, функция Ф (х) определяется следующим образом: ~ <р(х), х) 0 Ф(х)=< (11.30) ~р ( — х) + 2й ~ е" м — м~р ( — г) с(г х ( 0 о Записывая решение задачи (11.29) в виде интеграла Пуассона (11.11), где функция Ф(х) определяется формулой (11.30): газ и(х, 1) = ) 6(х, $, 1) ФЯ)аф= ') 6(х, $, г) арф)Щ+ О о о о + ~ 6(х, Ч, Г)~р( — $)д$+2й ~ 6(х, $, 1) ) еои — Ьр( — г)а(гЩ, а после преобразований получим и(х, 1)= ~(6(х, $, г)+6(х, — $, 1)— о — 2Ь ~ 6 (х, — $ — т), 1) е оч а(а)~ ~р Я) а(~.
В результате получается выражение для функции Грина третьей краевой задачи для уравнения теплопроводности на полупрямой: 6,(х, $, г)=6(х, ~, 1)+6(х, — $, 1)— — 26 ~ С(х„— $ — и Г)е — оча(т) о или с учетом формулы (7.16) и — м* о.~.м* * о+В+он о„ б (х, Я, 1)= )(е "" +е '"' — 2й~е "' аЬ)~. 2а '~/п~ о Функцию Грина 6,(х, $, г) можно записать также в следующем виде: бо(х, $, Г) =-6(х, ~, 1)+6(х, — $, 1) — 2Ь ~ 6(х, т1, 1)е"И+ч'да). Последняя формула имеет наглядный физический смысл: для удовлетворения граничному условию третье~о рода нужно поместить в точку х= — $ симметричный источник и добавить распределенные на отрицательной части действительной оси от — оо до — 5 непрерывно распределенные источники, мощность которых экспоненциально стремится к нулю при а1 — оо.
С помощью построенной функции Грина бо(х, $,1) решение третьей начально-краевой задачи для неоднородного уравнения теплопроводности с однородными граничными условиями треть.его рода: и,=аои„,+7" (х, Г), (х, 1) сий, и (х, 0) = ~р (х), х а— : 1х и,(0, Е) — Ьи(0, Г)=0, Ге= [О, Т) 2ЗЕ может быть записано в виде и(х, 1)= ~ 6,(х, $, г) ~РЯ)Щ+ '! ~ Он(х, й, 1 — т)7'(9, т)е$е(т. о оп 3. Краевой режим где С)0 — некоторая постоянная. Решение задачи (11.31) — (11.34) можно получить, используя интегральное преобразование Фурье с ядром з!пях.
Мы используем для решения задачи метод преобразования Лапласа *>. Пусть для функции !х(1) и решения и(х,1) задачи (11.31)— (11.34) выполнены условия существования преобразования Лапласа. Рассмотрим преобразование Лапласа по переменной от функции и(х, г), обозначив ее изображение через У(х, р): У (х, р) = ~ е — ыи (х, 7) й. (11.35) Для классического решения выполнены условия дифференци- рования под знаком интеграла (11.35). Поэтому получим О У„(х, р) = ~ е Ми,„(х, 7) ай о Изображение функции !х(1) обозначим через М(р): р(1) + еТ(р).
Используя теорему об изображении производной и учитывая начальное условие (11.33), получим и,(х, ~)'=,' рУ(х, р) — и(х, 0)=рУ(х, р). Таким образом, в пространстве изображений (11.31)— (11.34) соответствует следующая краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения: *~ См Свешников А. Г., Тихонов А. Н Теории функций комплексной переменной Мл Наука, 1979.
237 Рассмотрим начально-краевую задачу для однородного уравнения теплопроводности с однородным начальным условием и неоднородным граничным условием Дирихле: и,=ани„„, (х, 1) епй+, (11.31) и (х, 0) = О, х ен 11~, (11. 32) и(0, 1)=!х(7), 7)0, (х(0)=0, (11.33) (м(х, 1)((С, (х, 1) ~й», (11.34) ю'(0, 1)=1, т>0, (Ю(Х, 1))(М, (Х, 1)ЕхР+. Заметим, что, поскольку в задаче для определения функции ')о" не выполнены условия согласования начального и граничного условий, эта функция не является классическим решением: в окрестности точки х=0, 1=0 она не обладает свойством непрерывности по совокупности переменных х, б Введем функцию о(х, 1)=1 — У7(х, !). Очевидно, эта функция может быть определена как не классическое решение начально- краевой задачи: о,=а'о„„(х, !) ен 11+, о(х, 0)=1, х~й+, о(0, 1)=0, Г~)0, )о(х, 1))(М, (х, 1) енйч., Сделав в первом интеграле в правой части формулы (11.41) замену г=, а во втором — замену г=, после преоб- $ — х 5+х 2а ~/! 2а ОкТ ' разований получим к 2ат У о(х, 1)= —, У е — ")17.
2 у'л о Отсюда Ю Ф'(х, 1)=1 — о(х, 1)== ~ е — ")(г 2 ~/л !ат! к К (х )) — е оач 2а )! л — )о)о (11. 43) Из фармул (11.40) и (11.43) окончательно получим формулу, выражающую решение начально-краевой задачи (11,31)— (11.34): Решение этой задачи выписывается через функцию Грина по формуле (11,21): к (к-$)' (х.+Р о(х, 1)= 1е "' о$ — ') е "' !$.
(11.42) 2а У як,) 2а )/л!,) о о А х ( за и — и )о(т) зз 2а )' я )зд о Изложенный прием построения начально-краевой задачи с неоднородным граничным условием в виде интеграла Дюамеля (11.41) является частным случаем общего метода решения данного класса линейных начально-краевых задач, известного под названием принципа Дюамеля. 4.
Неоднородное граничное условие второго рода Кратко остановимся на начально-краевой задаче для однородного уравнения теплопроводности на полубесконечной прямой с неоднородным граничным условием второго рода и, =а'и„„(х, () еи ()о, и (х, 0) = О, х о.=- и~, и,(0, () =о(~), ('=ьО. Построим решение данной задачи, исходя из физических соображений, а затем проверим удовлетворение его требуемым условиям.
Граничное условие означает, что задан поток тепла, втекающего в стержень через сечение х=О„причем плотность потока в силу закона Ньютона определяется выражением — Фи,(0, () = — )зт('), где Й вЂ” коэффициент теплопроводности, связанный с коэффициентом тем~ературопроводности а' соотношением й=а'р. Поэтому в силу принципа суперпозиции, воспользовавшись выражением (11.27) для функции Грина Оз(х, 5, () полуограниченного стержня при 5=0, можно записать решение поставленной задачи в виде и(х, ()= — а'~Оз(х, О, ( — т)т(т)о(т= о о Очевидно, что это выражение удовлетворяет в области за+ однородному уравнению и нулевым начальным условиям.
Проверим выполнение граничного условия: и х Г оаэи — з) о (т) 2а ф''а () — т) о 240 и, (х, г) = — ~ е — Рч ( ~ — — ) г$. х ы~з откуда, переходя к пределу при х-+-О, находим 1(щи„(х, !) == ~ е Ру(!)~йе у(1). 2 о к 0 )и На строгом обосновании проведенных здесь формальных рассмотрений останавливаться не будем. й !2. ФОРМУЛА ГРИНА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ При изучении уравнения Лапласа широко использовались формулы Грина. В частности, при выводе представлений решения краевых задач через соответствующую функцию Грина мы опирались на третью формулу Грина.
В этом параграфе показано, что аналогичные идеи можно применять и при изучении уравнения тенлопроводности, и единообразным методом получены формулы, представляющие решения начально-краевых задач для уравнения теплопроводности через соответствующие функции Грина. Выведем для уравнения теплопроводности формулу, аналоичную третьей формуле Грина.
Для вывода используем форальный метод, указанный в конце п. 1 5 1 гл. Ъ', Прежде всего заметим, что фундаментальное решение уравния теплопроводности О ' ' ~(2дУ~ — тт О, !(т . переменным (е' и т удовлетворяет уравнению — '— ' = а' А фа + б (А(, !е) 6 (г — т) . Пусть и((е, т) — решение неоднородного уравнения —" =~'А~+/(Р, ), Ж, ) !) дт (12.1) (12.2) Умножим (!2.1) на и(Я,т), (!2.2) на 64(М, !1, ! — т), вычтем одно из другого и проинтегрируем по области й и по т от О до дд: 24! Сделав в данном интеграле замену переменной интегрирования — Й$3 получим 2д ~О т' 4д (~ т)3(2' ='Ц ~ ~бо — +и — '~ о()!4(т=а'~ ~ (бойи — имбо) с()!4(т+ ди доо оп о о ! + ~ ~ б / о()' !4т — и (М, г) .
о О (12.4) Поскольку ~ ~бо -1-и — '~ о(т=~ — (б,и)о(т= =6,(М, Я, 1 — т)и((4, т)(;:=о= — бо(М Я Г)и(Я, О) (учтено, это 6,(М, (), 1 — т)1, ! =О), из (12.4) имеем и(М, !) =~64(М, а, !) и((г', 0)!()' + о +и'~ у !б, (М, Я, ! — ) — — и — 6,(М, б, 1 — )~ о(зо т+ ди д до дпч о з ! +~~6,(М, д, à — ))((), )Лг, (. (12.5) о и Формула (12.5) аналогична третьей формуле Грина для оператора Лапласа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
