Свешников, Боголюбов, Кравцов. Лекции по математической физике (1125176), страница 41
Текст из файла (страница 41)
(3,11) О О Двойной интеграл цри ] ~(0, Т"1 легко оценивается: с О С О ') Цс(т)Ц]ЫО( игах Цс (т)Ц '[ '[ с(тс10< гпах Цг(т)Ц вЂ” (3.12) 4Е[О,Т] ~) ] 4Е[О ТГ 2 О О О О Учтем теперь, что 474 (О) = — ~ (исо (х, 0) + пои, -'(х, 0)) с(х =- о = — Цис(0)ЦО+ — Цсс„(0)ЦО = 2 2 П~~)4 " Ц Цо < [ (Ц~! Ц П)о 2 2 " 2 и поэтому ОТ (0)( (Цс!]Ц+аЦсрД). Окончательно при 1~ !О, Т! из неравенств (3.11) и (3,13) получаем ПиЦ (ЦсрП+(ПфЦ+а Цср„Ц) Т+ гпах П1(с)П.
Последнее неравенство означает устойчивость решения задачи (9.1) — (9.3) по правой части и начальным функциям: для любого е)0 найдутся такие положительные постоянные б;)О с'=1, 2, 3, 4, что если выполняются неравенства ПгрЦ <б,, ЦсгЦ ~ бо, Цс[с,Ц < бо и гпах ЦГ(Г)Ц <б4, то Ци(1)Ц <е при Ге= (О, Т]. С Е [О, Т] 258 3 4 СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ В ОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ Рассмотрим начально-краевую задачу для однородного уравнения колебаний с неоднородными начальными и однородными граничными условиями.
Формальная схема решения этой задачи методом Фурье была разобрана в гл. 111. Для доказательства теоремы существования решения надо установить, что полученное формальное представление решения в виде ряда Фурье с коэффициентами, определяемыми через начальные данные, при соответствующих условиях, накладываемых на начальные данные, действительно является классическим решением рассматриваемой задачи. Доказательство проведем для простейшего одномерного случая.
Рассмотрим начально-краевую задачу, описывающую свободные колебания ограниченной струны с закрепленными концами (см. гл. 1): и, = а'и„„(х, Г) ~ Р~ — — (О, 1) л' .(О, со), (4.1) и (х, 0) = ф (х), и,(х, 0) = ф (х), х ~ 10, !], (4.2) и(0, Г) =О, и(1, Г)=0, Г ~(0,' оо). (4.3) Будем искать классическое решение задачи (4.1) — (4.3), для существования которого необходимо выполнение условия согласования начального и граничных условий: р (О) = р (1) = р (0) = ф (1) = О. Формальное решение задачи (4.1) — (4.3), построенное по методу Фурье, имеет вид и(х, 1)= у ~а„созв„Г+ — "з(пы„Г~ з1п у'~.„х, Ьь нп (4. 4) ь=1 (4.6) 259 пап ( пь где а„= —, Х„=( ), 1 аь = 'Рп = — 7 (Ь) 5!П ) lГ) и 4С$ (4.5) ,1 ь ! 5„= ф„= — — ~ ф (9 з1п )/~.„$ой. о Т ео р е м а 7.3. Пусть начальные функции задачи (4.7)— (4.3) удовлетворяют условиям: функция <Р(х) дважды непре- рывно дифференцируема на отрезке [О, 11 и имеет на нем ку- сочно-непрерывную третью производную, функция ф(х) непре- рывно дифференцируема на отрезке (О, )) и имеет на нем ку- сочно-непрерывную вторую производную, !р (0) = !р (1) = ц!" (0) = (р" (1) = О, !(! (О) = ф (1) = О.
(4.7) Тогда существует классическое решение задачи (4.1) — (4.3), представленное формулой (4.4) с коэффициентами (4.5) и ('4.б). До к а з а тел ь с т во. Нужно доказать: а) непрерывность функции и(к, 1), представимой рядом (4.4), и ее первой производной и!(х, 1) в замкнутой области Й и непрерывное примыкание их к заданным начальным (4.2) и граничным (4.3) условиям; б) существование вторых частных производных функции и(х, 1) н справедливость уравнения (4.1) в открытой области (г!.
Для доказательства сформулированных положений воспользуемся обобщенным принципом суперпозиции и известными свойствами равномерно сходящихся рядов по тригонометрическим функциям, приведенным в гл. Ъ'! при доказательстве существования решения одномерного уравнения теплопроводности. Докажем положения, сформулированные в п. а). Для этого дестаточно доназать равномерную сходимость в замкнутой области ()! ряда (4.4) и ряда, полученного формальным дифференцированием (4.4) по 1: (4.
8) (4.9) 260 — п ~ — а„япа!„1+ " созе)„г~япэт )„к. па %! Ьп !Оа л=! Мажорантным для ряда (4.4) будет ряд ~~!~~ (1а„~ + — 1Ь„1), л=! а для ряда (4.8) — ряд ЮО )Г (6! 1а 1+ 1Ь ~) (4.10) л=! которые сходятся ири условиях, наложенных на функции 6!(х) и ф(х) с учетом (4.5) и (4.6), в силу свойств рядов Фурье (см. гл. Ъ'!, $ 4). Следовательно, ряды (4.4) и (4.8) в замкнутой области (г! сходятся равномерно и определяют в этой области непрерывные функции и(х, 1) и и!(х, 1).
Так как при 1=0 ряды (4.4) н (4.8) с учетом (4.5) н (4.6) переходят в тригонометри- ческие ряды Фурье на отрезке (О, 1) для функций ц!(х) и ф(х), удовлетворяющих условию разложимости в ряд Фурье, то при 1- 0 функция и(х, 1) удовлетворяет начальным условиям (4.2). Поскольку все собственные функции яп~Х„х удовлетво- ряют однородным граничным условиям (4.3), то при х- 0 и х — 1 функция и(х, 1) удовлетворяет этим условиям. Для доказательства положений п.
б) докажем равномерную сходимость в области Й! рядов, полученных путем формального почленного дифференцирования ряда (4.4) дважды по ~: Ю ( Х ~ ° ° " -) пи !2 а-в, / — ~'п' (а„созе!„1+ — "а|па!„1) з|п У'Х„х (4.11) ~>л л=! и дважды по х: Ю ) Е'~" ") п,з в-ч — ) ~'и' (а„соз!в,|+ — "а|па!„1) з|п ~/АХ„х, (4.12) ыл л=.! Рядам (4.11), (4.12) с точностью до множителя соответствует общий мажорантный ряд Ч|~ и' ( |а„| + — |Ь„| ), л=! который сходится в силу условий, наложенных на функции !а(х) и !р(х) с учком формул (4.5) и (4.6), и свойств рядов Фурье (см. гл. Ъ'1). Значит, ряды (4.11) и (4.12) в открытой области 11! сходятся равномерно, и поскольку каждый член ряда (4.4) удовлетворяет уравнению (4.1), то в силу обобщенного принципа суперпозиции (см.
гл. !г1, ф 4) функция и(х, 1) удовлетворяет уравнению (4.1) в открытой области 11!. Отметим, что условия (4.7) обеспечивают непрерывность и периодичность нечетных продолжений начальных функций !Р(х) и !Г(х) и второй производной продолжения функции !Р(х). Непрерывность первой производной при нечетном продолжении получается автоматически. ° 3 а м е ч а н и е. Отметим, что ври доказательстве теоремы 7.3 на функции !Р(х) и !|!(х) наложены достаточно жесткие условия, в частности, выходящие за рамки условий согласования.
Эти условия связаны лишь с методом доказательства и могут быть значительно ослаблены. й З. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ОГРАНИЧЕННОЙ СТРУНЫ Воспроизведем общую схему метода разделения переменных для решения начально-краевой задачи для неоднородного уравнения колебаний с однородными начальными и граничными условиями. Для простоты будем рассматривать одномерную задачу для вынужденных колебаний ограниченной струны с закрепленными концами: иа = а'и„„-|- Г (х, !'), (х, 1) ~ () !, (5.1) 26! и (х, 0) = О, и, (х, О) = О, х ~ (О, 1), (5.2) и(0, 1)=0, и(1, 1)=0, Г ~(0, оо), (5.3) Предположим, что существует классическое решение задачи (5.1) — (5.3). Функция и(х, 1) прн каждом фиксированном г разлагается в ряд и(х, 1)= ~) и„(г)яп ' х, (5.4) о=! где коэффициенты разложения и„(Г) определяются о и„(~) =- — и(Е, г)яп — '$(~, и=1, 2,...
!!,- 1 о формулой (5.5) Поскольку функция и(х, Г) является классическим решением задачи (5.1) — (5.3), то для интеграла (5.5) выполняются условия дифференцируемости по параметру под знаком интеграла и (5.7) где 7„(1) = — ( )($, 1)з!п — Щ 1 о Интеграл в формуле (5.7) проинтегрируем два раза по частям с учетом граничных условий (5.3). Тогда, учитывая начальные условия (5.2) и формулу (5.6), для коэффициентов и„(1) получаем следующую задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения: и„Я+оо'„л„0)=7„(>), о е=(0, оо), и„(0) =О, и„'(0) = О, (5.8) где 262 ипп(г) = — [ — яп — Ы„й=1, 2.
(5.6) о ~ 1 аы о 2 . яо Умножим уравнение (5.1) на — яп — х и проинтегрируем по х от 0 до 1. В результате получим о и„(г) = а' — ~ и„„(х, г) яп — хо(х+)„(1), о Решение задачи (5.8) можно записать с помощью импульсной функции *> и„(1) = — ! 1„(т) яп со„(1 — т) с(т. 1 !' (5.9) ыл о Подставляя коэффициенты (5.9) в ряд (5.4) и меняя порядок суммирования и интегрирования, получим 1 ! и(х — 1)=~ ~ 6(х, б, 1 — т)1$, т)Ще(т, е о (5.10) где 6 (х е 1 и) = ~ ып 5!и 3!и о!л (1 т).
из 2 . ллх, лл; ал! ила л=-! Можно доказать, что для непрерывной в области ь)! функции 1(х, 1), удовлетворяющей нулевым начальным и граничным условиям, формула (5.!0) действительно определяет классическое решение задачи (5.1) — (5.3). Определение. Функция 6(х, й, 1), определяемая фор- мулой 6(х, $, 1) = у — яп — яп — япш„1, % ! 2 . ллх . ллй лла л 1 называется функцией Грина, или функцией влияния мгновен- ного точечного импульса на отрезке.
Напомним, что для начально-краевой задачи общего вида функция Грина была введена в гл. П1 (см. формулу (5.10)). Рассмотрим теперь, какой физический смысл имеет функ- ция Грина 6(х, $, 1), Пусть положительная функция 1,(х, 1) отлична от нуля в достаточно малой окрестности точки Ме(хе, 1е): 1а(х, 1) =О, х 4~ 1хе — бх, х,+бх], 1~С [1а — 61, 1,+61), (5.11) 1а(х, 1) ~0, хе= (ха — бх, х,+бх), 1е=(1е — 61, ге+61], причем для любых 61 и бх О+а! «ь-~-а» ) е(т 1 !а(ь т)с(Ы С (5.
12) е,— я х,— 'ах где С>0 — некоторая постоянная, которую мы определим ниже. '> Смс Тихонов А. Н., Васильева А, Б., Свешников А Г. Дифференциальные уравнении. Мл Наука, 1985. Функция р1а(х, 1) есть плотность внешней силы, приложенной к струне. Поскольку в нашем случае струна является однородной (коэффициент аа постоянен), то линейная плотность струны р также постоянна. Сила, приложенная к участку струны (хд — бх, ха+ бх], равна к,' бз Г (1)=р ~ 1д(я.
1)с%, к,— бк а импульс 1 этой силы за время 51 представляется формулой !.ч-б! г,+д! .. б. 1= ~ Гд(т)( =Р ) бт 1 1д(;, т)бс. ! — б! г,— М к,— бг (5.13) Сравнивая формулы (5.12) н (5.13), получаем, что постоянная в формуле (5.12) имеет вид С=— Применяя к последней формуле теорему о среднем"', получим !.ч-и о-дг ид(х, 1)=6(х, $', 1 — т') ) б(т ~ 1дЯ, т)г(с, (5.15) г, — би «.-Дз где $* ен ]х, — бх, х, +бх], т* ен ]1, — 51, 1, + 51].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
