Свешников, Боголюбов, Кравцов. Лекции по математической физике (1125176), страница 45
Текст из файла (страница 45)
281 Д он а з а тел ь с т в о. Положив в формуле Даламбера х= =О, получим и и(0, 1)== Р( 1 Р( 1 + [ ф(г)йг=О. 2 2а „Д Продифференцировав формулу Даламбера по х и положив х= =О, получим и„(0, Г)= е )+ Р ( 1 + (ф(ар) — ф( — аГ))=0, 2 2а поскольку нроизводная четной функции есть функция нечетная.
° 3 а м е ч а н и е. Подчеркнем, что утверждение леммы справедливо для любых функций и(х, Г), представимых формулой Даламбера, а не только для классических решений задачи Коши (7.3), (7,4). Рассмотрим на полупрямой 14+=[0, оо) начально-краевую задачу для однородного уравнения колебаний с однородными граничными условиями Дирихле: и„=а'и„„, (Х, Г) ~ Йе = й ЬгС(0, оо), (8.1) и (х, 0) = ~р (х), и,(х, 0) = ф (х), х ен $Г, (8.2) и (6, Г) =- О, Г ~ [О, оо).
(8.3) Продолжим функции ~р(х) и ф(х) нечетным образом на всю бесконечную прямую: ср(х). х)0, р ( ) ф(х) х)0 (8 4) — ~р( — х), х(0, [ — ф( — х), х(0. Тогда функция х-'-м и(х, Г) — Р'( )+Р'(" 1+ [ ф,()г(г (8.5) 2 2о .) к — ы при х) 0 является решением задачи (8.1) — (8.3). В самом деле, функция (8,5), очевидно, удовлетворяет однородному волновому уравнению, краевому условию она удовлетворяет в силу доказанной леммы. Выполнение начальных условий проверяется непосредственно. Перепишем формулу (8,5), выражая функции ~р, и ф, через функции ~р и ~р по формуле (8.4). Если выполнены неравенства х+а!)х — ат)0, то <р,(х-+-аГ) =~р(х~ аг) и ф, (х ~ аГ)=ф(х +- -Ь аГ).
Если х — аг О, то ~р, (х — аГ) = — <р (аà — х) и $, (х— — аГ)= — ф(а~ — х). Поэтому формула (8.5) принимает вид и(х, С)= 282 Г т (х+ а~) + ч (х — аа) ! 1р (х+ а!) — 1р (1а — х) 2 + ф (з) 1(2, 2а,) при 0<(( —, х)0, а (8.6) х — а1 к — а1 + ( хР(г)1(г, при,') — ", х) О. 2а,) а1 — х и„=а'и„„(х, г) ~Рч, и (х, 0) = 1р(х), и,(х, 0) =аР(х), х ен К~, (8.7) (8.8) и (О, () = О, Г ~ (О, оо) (8.9) Продолжая начальные функции 1р(х) и ф(х) четным образом: 1р,(х)= ' ' ф,(х)= ( ' ' (8.!0) ( 1р( — х), х(0, ( хр( — х), х(0, запишем решение задачи (8.?) — (8.9) через функции 1рх(х) и фх(х) с помоШью формулы Даламбера при х)0: х+а1 и(х, () — ~'( + 1+8 ( 1 + — ( ф,(г)1(з.
(8.11) 2 2а,) х — а1 Используя (8,10), формулу (8.11) можно переписать в терминах функций 1р(х) и ар(х) следующим образом: 288 3 а и е ч а н и е 1. Отметим, что при 0 ((( — возмущеа нне, вышедшее из точки х в момент 1=0, не успевает достичь границы, влияние граничного условия не сказывается на характере решения н формула (8.6) совпадает с формулой Даламбех ра. Прн () — возникает отраженная от границы волна, ното- а рая, интерферируя с определенными начальными условиями бегущими волнами, формирует решение.
Замечание 2. В зависимости от гладкости начальных функ ций 91(х) и ф(х) функция и(х, (), определяемая формулой (8.6), может представлять как классическое, так и менее гладкое решение. В случае, если функция и(х, () представляет классическое решение, функции 1р (х) и ф (х) кроме условий гладкости 1р ен Сьч (К+), ф ~ С' ' (К ) должны также удовлетворять условию согласования начальных и граничного условий 1р(0)=аР(0)=0.
Соответственно нужно доопределить нулем при х=О и функции 1р,(х) и ф,(х) в формулах (8.4). Рассмотрим теперь на полупрямой й1. начально-краевую задачу для однородного уравнения колебаний с однородными граничными условиями Неймана: и(х, !) = к+аа 4а(х-~-а)) +~р(х — а!) + ! ( „1, < х 2 2а,) к-а! х-~-аа а! — х ~р(х -~-ах) +<р(а! — х) ! ( (' (' 2 ! ~) —, х)0. а (8. 12) При этом граничное условие (8.9) удовлетворяется в силу доказанной леммы. Отметим, что для решения и(х, !) задачи (8.7) — (8.9) остаются в силе замечания 1 и 2, сделанные по поводу решения задачи (8.1) — (8.3).
2. Распространение краевого режима Рассмотрим начально-краевую задачу на полу- прямой К для однородного уравнения колебаний с однороднымн начальными и неоднородным граничным условиями: иа=а'и„„, (х, !) еп()ы и(х, 0)=0, и,(х, 0)=О, хеК и(0, !) = Р(!), ! е= (О, оо), (8. 13) (8.14) (8.15) и (х, 0) = 7' (х) = 0 при х е= К+, Тогда второе начальное условие также выполняется: и,(х, 0)= — а('(х)=0 при х~К+.
Граничное условие (8.15) позволяет доопределить функцию 1(х) на отрицательной полуоси: и(0, !)=1( — а!)=р(!), 264 где а — вещественный постоянный коэффициент. Поскольку в силу однородности уравнения (8.13) и начальных условий (8.14) единственной причиной возмущения является определяемый функцией )х(г) краевой режим, то решение будем искать в виде правой бегу!цей волны и(х, !)=7(х — а!), где 1 — некоторая достаточно гладкая функция. Для определения вида функции 1 воспользуемся начальными (8.14) и граничными (8.15) условиями. Из первого начального условия получим Следовательно, обозначая аргумент функции 1 через ~, полу- чим и, подставляя ", =- х — а(, онончательно имеем х О, 0<1< —, и (х, г)= р (1 — — ), Г) —. (8.16) их(х, () — Ьи(х, 1) ~х=о=т(1) с нулевыми начальными условиями искать в виде правой бе- гущей волны и=)(х — а1), то для функции 1(с) при Ь<0 полу- чается задача Каши 1' (ь) — а)'(ь) = ~ — =), 1(0) = О.
а ) Решив эту задачу, получим для и(х, 1) при х>0, 1>0 выраже- ние 0<~< —, а 1) —, х а справедливое и при Й=О, т. е. в случае второй краевой задачи. 288 Замечание 1. При 0<1< — влияние граничного условия, а х не сказывается, и возмущение равно нулю. При 1) — возмущеа нне формируется граничным режимом. 3 а и е ч а н и е 2. В зависимости от гладкости граничной функции 1х(1) формула (8.16) представляет классическое или менее гладкое решение задачи (8.13) — (8.15).
В случае, если формула (8.16) представляет собой классическое решение, функция р(1) должна быть дважды непрерывно дифференцируема на К~ и удовлетворять условию согласования начального и граничного условий 1х(0) =О, ц'(0) =О. Аналогичным образом легко показать, что если решение третьей краевой задачи й 9.
КОЛЕБАНИЯ В НЕОГРАНИЧЕННОМ ПРОСТРАИСТВЕ В этом параграфе изучается задача для уравнения колебаний в неограниченном пространстве Кз в случае трех независимых переменных: пи=а'Ьи+((М, .'), (М, Г)~й,=К'Х(0, Т~), (9.1) и (М, 0) = д (М), и, (М, 0) = ф (М), М ~ К'. (9.2) 0 п р е д ел е н и е. Классическим решением задачи (9.1), (9.2) называется функция и(М, (), непрерывная и непрерывно дифференцируемая по 1 в замкнутой области Йз — — К'Х [О, оо), дважды непрерывно дифференцируемая по 1 и по М в открытой области 1)з=К~Х (О, со), удовлетворяющая в !1, уравнению (9.1), а при 1 0 начальным условиям (9.2).
Ниже будут указаны условия, при которых существует классическое решение задачи (9.1), (9.2). Будем считать, что данные задачи удовлетворяют достаточным условиям гладкости, прн которых существует классическое решение. Эта задача является естественным обобщением одномерного случая, рассмотренного в предыдущем параграфе.
Чтобы получить некоторые общие представления о решении задачи (9.1), (9.2), начнем с частного случая. 1. Сферически-симметричный случай (9.5) (9.7) (9.8) пи= — аЪ„+гг(г, !), (г, 1) яй., п(г, 0)=щ(г), о,(г, 0)=гф(г), г~К а(0, 1) =О, 1е= [О, оо), 296 Введем сферическую систему координат с на- чалом в точке Мо. Пусть входные данные задачи (9.1), (9.2) являются ра- диально симметричными функциями в этой системе, т. е. ф= =<р(г), ф=ф(г). Очевидно, решение также симметричная функция относительно точки М,. Поэтому получим следующую задачу для функции и(г, (): — =а — — (г — ~+1(г, 1), д~и з ! д Гт ди1 дм г~ дг, дг (9.3) (г, 1)~Г1; =К" Х(0, оо), и (г, 0) = ~р (г), и,(г, 0) = ф (г), г ~ К+, (9.4) 1и(0, 1)((оо, !ее[0, оо) (9,5) Задача (9,3) — (9.5) с помощью замены о(г, г) =ги (г, 1) сводится к уже изученной задаче, описывающей одномерные колебания на полупрямой: Заметим, что граничное условие (9.8) является следствием естественного условия ограниченности (9.5).
Решение задачи: (9.6) — (9.8), как яоказано в 5 8, представляется в виде суперпозиции правых и левых бегущих волн, распространяющихся со скоростью а от начальных возмущений и приложенных внешних сил. Тем самым и решение задачи (9.6) — (9.8) представляется в виде суперпозиции распространяющихся в радиальном направлении сферических волн, амплитуда которых.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
