Свешников, Боголюбов, Кравцов. Лекции по математической физике (1125176), страница 48
Текст из файла (страница 48)
(10.4) о о В предположении существования решения задачи (10.1)— (10.3) формула (10.4), так же как и формула Даламбера (6.10), доказывает единственность решения этой задачи. Для доказательства существования решения можно воспользоваться прямой проверкой, из которой следует, что при условии дифференцируемости функций чь(х) и гр,(у), условии согласования входных данных ~р1 (0) =~рз(0) и непрерывности функции !'(х, у) формула (10.4) определяет функцию, удовлетворяющую всем условиям задачи. Итак, простейшая задача с данными на характеристиках решается достаточно просто. Значительно сложнее обстоит дело в случае уравнения более общего вида. Даже для линейного уравнения и„„+а(х, у)и,+6(х, у) и„+с(х, у)и=7(х, у), где а(х, у), Ь(х, у), с(х, у) — гладкие функции х, у, в общем случае не удается получить явного аналитического представления решения, и при решении практических задач необходимо использовать различные методы построения приближенных решений.
Рассмотрим общую задачу: и„„+а(х, у) и,+б(х, у) и, +с(х, у)и=1(х, у), х)0, у)0, (10.5) и (х, 0) = <р,(х), и (О, у) = <р,(у), (10.6) <р, (0) = ср, (0) = и (О, 0). (10.7) Перенеся все члены уравнения (!0.5), кроме первого, в правую часть и обозначив г (х, у, и, и„, иа) =1 — аи„.— би„— си, можно формально рассматривать полученное уравнение, так же как и уравнение (1О.!), и записать его формальное решение в следующем виде: и(х, у)=~р,(х)+<р,(у) — ~р,(0)+ ~Рог(т)=~ ~ ГЩф+Ф(х, у), о о о (10.8) где Ф (х, у) = <р,(х) + <р,(у) — ~р, (0). 299 Если ввести интегродифференциальный оператор А по форму- ле А(и) =~ ~ЕЕВИЧ, о о то уравнение (10.8) можно записать так: и = А [и) + Ф. (10 9) Уравнение (!0.9) является интегродифференциальным уравнением Вольтерра.
Одним из способов приближенного построения решения уравнения (!0.9) является метод последовательных приближений, когда каждое последующее приближение строится по предыдущему согласно формуле и„=А)и„1)+Ф, и,— задано, и=1, 2, ... (10.10) Выберем в качестве нулевого приближения функцию иу(х, у)= =О, Тогда, реализуя схему (10.10), получим и,=) '1~($, Ч)с($аЧ+Ф(х, у), д о к у ди„| ди„ и„=и,— С ~!а " +Ь ™ +си„1~ Щй~.
(10.11) дк дч 0 Заметим, что из формул (10.11) вытекают следующие соотношения: у ди„ вЂ” "= — ' — ~ [а(х, Ч) " +Ь(х, Ч) — "+с(х, Ч)и„1) к1Ч, дх дк д ~ дк дч у (! 0.12) к ди дик ( )а(У ) "«1+ЬД р) "" — 1 ! сД )и ) с(~ у Покажем, что последовательности (и„(х, у)), ~ —" (х, у)~, ~ " (х, у)) сходятся равномерно. Рассмотрим разность двух последовательных итераций гк= =и „, — и..
Из формул (10.11), (10.!2) следует, что к у дг„ 1 дг„ г„(х, д)= — ( ( )а($, Ч) " +Ь($, Ч) " +с%, т1)г„-~, бйс(Ч, д$ дч у у ЗОО (х У) — — ~ 1а(х Ч) +Ь(х Ч) +с(х Ч)г — ~~ "Ч дх ) ~ дх дч о (!0.13] к — "(х, у)= — ~ ~аЯ, у) " +Ь($, у) — "+с(В, у)г„!~ о(Е ду ) ! д$ ду о (10. 14) Предположим, что в некотором квадрате хоп(0, Е), уя(0, Е) выполнены неравенства ( а (х, у) (( М, ! Ь (х, у) ( < М, ! с (х, у) ! < М, )го)(Н ! о )<Н ) о )(Н где М)0 и Н)0 — некоторые постоянные. Очевидно, при соответствующих условиях на входные данные !р!(х), ~р,(у) и )(х, у) условия (10.14) на го будут выполнены. Из формул (10.13) и (10.14) следуют мажорантные оценки: ! г, ( ( ЗНМху ( ЗНМ вЂ” ' ~ < ЗНМУ < ЗНМ (х+ у), ! — "'- дх ! дх11 — ' 1 ( ЗНМх ( 3НМ (х + у). ду По индукции легко доказать, что для любого п>1 имеют ме- сто следующие оценки: )г„)(ЗНМ"К" ( +У) (л+ 1)! дои ! ЗНМиКи-! (х+ у)" дх л! Ы- до ) (ЗНМ К вЂ” ! (х+ ду и! где К=(.+2.
Учитывая, что точки (х, у) лежат внутри квадрата со стороной 1., из последних неравенств вытекают окончательные неравенства: ЗН (2КЕМ)и+ ~ дои ~ ЗН (2КСМ)и КМ (п+1)! ' ~ дх ! К и! (10 15) дои ! ЗН (2К1М)и ду ~ К л! В правых частях неравенств (10.15) с точностью до множителей пропорциональности стоят общие члены разложения 301 экспоненты ехр(2К7М). Следовательно, последовательности функций их=ио+г,+...
+г„ дип дио дх, дхп — 1 — "= — + + + дх дх дх дх — = — + — + + ди„дио дг, дхп — 1 ду ду ди ду равномерно сходятся к предельным функциям, которые обозначим через и(х, д), с(х, у), ю(х, у): и(х, у)=1!ш ип(х, у), с(х, у)=1пп —" (х, у), и и дх ос(х, у) =11гп —" (х, у). и ду Перейдем в формулах (10.!1) и (10.12) к пределу при пои. В результате будем иметь к у и(х, у) =и,(х, у) — ) '! (а(К, о))о+Ь(Е, о))ос —;с%, т!)а) Щс(о), (!0.16) о о о(х, у)= "' (х, у) — ~(а(х, т1)с+Ь(х, о))ос+с(х, о))и)о(о), дх о оа(х, у)= — "' (х, у) — ( (аЯ, у)о+Ь(5, у)ос+с Я, у)а) ~Ц, ду откуда следует, что о=и„а=ау и функция и(х, у) удовлетворяет интегродифференциальному уравнению Вольтерра (10.9).
Непосредственным дифференцированием уравнения (10.9) по х и у устанавливается, что функция и(х, у) удовлетворяет исходному дифференциальному уравнению (!0.5). Удовлетворение условиям (10.6) следует из формул (10.7), (10.1!) и вида функции Ф(х, у). Локажем теперь единственность решения задачи (10.5)— (10.7). Пусть существуют два различных решения задачи (10.5) — (10.7) и,(х, у) и и,(х, у). Рассмотрим их разность и= =и,— и,.
Функция и(х, у) удовлетворяет однородному интегродифференциальному уравнению Вольтерра к у и(х, у) = ! ~ (аио+Ьи„+си)Щг(т! о о На основании оценок (10.14) легко показать справедливость. оценки: ! и! <нь (и! <нь (и!<и„ 302 где Н,)Π— некоторая постоянная. Тогда, аналогично тому, как были получены оценки для г„(х, у), для любого и можно построить следующую оценку при хя(0, В), уен(0, В): (! 0.17) КЗМ (и+1)! Из формулы (10.17) следует, что (7(х, у) =0 или и,(х, у) =— и,(х, у), что и доказывает единственность решения задачи (10.5)— (! 0.7) .
$11. ОБШАЯ ЗАДАЧА КОШИ. ФУНКЦИЯ РИМАНА (11.5) где д"'[и, о[=и„и — ои„, 17[и, п[=ш1„— о„и. зоз В этом параграфе будет дано обобщение задачи Коши, рассмотренной в $7. Пусть на плоскости (х, у) задана бесконечно гладкая кривая С, удовлетворяющая следующим условиям: а) кривая С не является характеристикой уравнения и,„=[(х, у); (11.1) б) любая характеристика уравнения (11.!) пересекает кри- вую С только один раз.
Кривая С делит плоскость (х, у) на две криволинейные палу- плоскости В' и Е)-. Рассмотрим задачу: .„=1(, у). (, у) Т)+ и(х, у)=~р(х, у), (х, у)енС, — (х, у)=Ф(х, у), (х, у)~С, дл д где — — производная по нормали к кривой С, направленди ной внутрь области 0'. Дополнительные условия (11.3) и (11,4) задаются на кривой С. Построим формулу, выражающую решение задачи (11.2)— (11.4) в любой точке М области В+. Проведем через точку М характеристики уравнения (1!.1), пересекающие кривую С в точках А и В, и обозначим через 7) область, ограниченную уча- стком АВ кривой С и отрезками МА и МВ характеристик (рис. 7.12).
Рассмотрим следующее выражение: 1 1дО д'н 2 [ дх ду Проинтегрируем выражение (11.5) по области Р, границу которой обозначим через Г: Р=Р()Г, используя формулу Грина *> ~ (ин„,— ии,„) с(хе(д =. О ! ! г дс? дбз', — — — — ~ с(хс1у= 2 и', дх ду в 2,) = — ( (йз г(х+ !р с(у), (11 6) в Рассмотрим интегралы вдоль оти резков характеристик АМ и ВМ.
Рис. 7.!2 Интегрируя по частям, получим л л А ') Вас(х= ! (ии„— и„и)г(х=а(М) и(М) — и(А)и(А)+2 ! ии„с(х, (1!.7) м М и ,и М и ~ !Ус(у= '! (и и — ии )с(у=и(М)и(М) — и(В)и(В) — 2 ! ии с(у. (1!.8) в в в Из соотношений (1!.6) — (11.8) вытекает формула (и脄— ш „„) г(х г(у = и (М) и (М) — — (и (А) и (А) + и (В) и (В)) -тА м + — ~ Вас(х+ де(у+ ~ ии, с(х — ~ гги„г(у. (11.9) ~и и Формула (1!.9) гладких функций Пусть теперь (11.2) — (1! А), а чн с данными на ной в 5 10: является тождеством для любых достаточно и и и. функция и (х, у) является решением задач функция и(х, у) — решением следующей зада характеристиках (задачи Гурса), рассмотре и„„=О, (х, у) ~Р, и„(хм — — О, ин(вм=О* и(М)=1.
что функция и— = 1 в области Р удовлетворя- задачи (11.10). Функция и, удовлетворяющая представляет собой частный случай функ- (11.10) Легко видеть, ет всем условиям условиям (! 1.! 0) цни Римана. *~ Смс Ильи н В. А. Поз н я к Э. Г. Основы математического анализа Ч. 2. М.; Наука, !980 304 Если подставить функцию Римана и(х, у) = — 1, являющуюся решением задачи (11.10), в формулу (11.9), то получим в и,в с(х !(у = и (М) — — (и (А) + и (В)) + — ) ( — и, с!х -1- и„с(у), ! в л или, учитывая, что функция и(х, у) является решением задачи Формула (!!.11) дает решение задачи (11.2) — (11.4) через входные данные, поскольку на дуге АВ выражения и„= и, соз (т, "х)+ и„соз (и, х) ив — и,.з!п(т, х)+и,,з1п(п, х) известны.
3 а меч ание. Из формулы (!1.11) следуют: 1) теорема единственности решения задачи (11.2) — (11.4), 2) теорема устойчивости решения задачи (11.2) — (11.4), 3) теорема существования решения задачи (11.2) — (1!.4) прн выполнении условия гладкости входных данных. Рассмотрим теперь более сложную задачу: 1.('и')=и„„+а(х, у)и„+б(х, у)и„+с(х, у) и=!(х, у), (х, у) ~Л+' (1!.12) (11.13) и (х, у) = ф (х, у), (х„у) ~ С, — ~ (х, у) =ф(х, у), (х, у) ~ С, дв (11.14) це контур С выбирается так же, как и для задачи (1!.12)— 1!.!4). О п р е д е л е н и е. Два дифференциальных оператора 1 и называются сопряженными, если разность ойи — иКо !вляется разностью первых частных производных по х и у от некоторых выражений У и Ц: ! /дй дУ' ! ойи — иКи =— 2 1дк ду ) причем Р не содержит производной и„, а Ц не содержит производной и„. Сопряженным к оператору В будет оператор К следующего вида: (11.
15) (11. 16), Ко = о,„— (ап)„— (бо)„+ со. зоз (11.2) — (11.4), и(М)= — (ф(А) т ф (В))+ — д! и,с(х — и,с(у+~1(х, у) с(хс(у. (! 1.11) ! г йз [и, о[ = ии„— ики — 2Ьии, !2 [и, и] = ии„— и,и + 2аии. Проинтегрируем равенство (11.15) по области Р, воспользовавшись формулой Грина: (идти — иКи) с(хк(у= — ! ~ — — ) !(хк(у = .!д а~1 2 и ~ дк ду ) и и л м ! ! в ! ! 2 и 2 = — ! В'к(х+!рс(у= — ~ Рк(х+ — 1 Ук(х+!7с(у+ — ~ !р!(у. 2,! 2 г м лв в (11.17) Интегралы по отрезкам характеристик АМ и ВМ проинтегрируем по частям. В результате получим л л ~ Ж к(х = и (М) и (М) — и (А) и (А) + 2 ) Ф [о] и !(х, м м м м '! Д!(у=и(М)о(М) — и(В) и(В) — 2 ~ !р [и]ик(х, в (11.18) где й [и] = и„ вЂ” Ьи, Д [о] = и„— ао.
(!1.19) Рассмотрим теперь следующую задачу с данными на характе- ристиках (задачу Гурса): Ко=О, (х, у) ~Р, к!' [и]] лм = О Ф [и]! мв-— -О, (11. 20) Задача (11.20) является обобщением рассмотренной в э 10 общей задачи с данными на характеристиках (10.5) — (10.7), и поэтому, повторяя с необходимыми уточнениями приведенные при исследовании этой задачи рассуждения, можно показать, что решение задачи (11.20) всегда существует.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
