Свешников, Боголюбов, Кравцов. Лекции по математической физике (1125176), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Собственные функции ортогональны в области Р с весом (М) и„и р<(У = 0 при л Ф и. Для доказательства применим вторую формулу Грина к функциям ил и ил!.' (и„Ли — и Ьи„) !(У = ~ (и„—" — и — "" ~ г(5. дл дл о 3 Учнтыиая уравнение (1.1) и граничное условие (1.2), отсюда получаем (˄— Л„) ~ или,„р!(У=О. о 322 Следовательно, ~ и„и рй)т= О при Л„ ~ Л .
о Поскольку ранг собственных значений конечен, то, проведя дополнительную ортогонализацию линейно независимых собственных функций, соответствующих одному собственному значению, получим ортогональную систему всех собственных функций. В дальнейшем будем считать, что она ортонормирована: ~ и„и„рй)т=б„при всех и и и. о 4.
Те о р ем а 8.1. (Теорема Стеклова). Произвольная дваждьс непрерывно дифференцируемая в замкнутой области П функция 1(М) „удовлетворяющая граничному условию У! =О, разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся ряд по собственным функциям задачи Дирихле. Доказательство. Эта теорема является следствием теоремы Гильберта — Шмидта. Действительно, подействуем на функцию 1 оператором Лапласа и обозначим й(М)= — !31. Можно считать, что 1(М) есть классическое решение задачи: !зт'= — й, Р~ =О, которое записывается через функцию Грина ((М)= ~б(М, О)Ь(())й)т.
о Пусть г(М)=1(М) ур(М) и ((!)= У!! (ч) Тогда Р(М)= ~К(М, Я)6!(Я)йУ. и Функция Е(М) истокообразно представима при помощи ядра К(М, Я). По теореме Гильберта — Шмидта она разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся ряд по собственным функ- циям этого ядра. Следовательно, Р (М) =~ Р„о„(М), Р„= ~ г" (М)о„(М)с(т', л=! о или 1(М)=-), Р и„(М), Р„=') Ги„рй'т'="Г„. л=! о 323 Замечание. Из теоремы Стеклова вытекают полнота и замкнутость в Е,(Р) системы собственных функций. Действительно, произвольная функция (~Е2 может быть приближена в среднем (по норме Ез(Р)) достаточно гладкой функцией 1„ удовлетворяющей граничному условию 1! ~ э=О: 9 — Ц!с.,(о> ~ ~— Функция 1! удовлетворяет теореме Стеклова и может бытьприближена равномерно' и, следовательно, в среднем частичной суммой ряда Поэтому л !!! )(г(М) — у Г„и„(М)(((Ц) — Я/+)(~! — ~" Г„и„(М))((е.
и=! и=! Следовательно, система собственных функций (и (М)), полна и замкнута в пространстве Ц(Р). В заключение отметим, что установленные свойства собственных значений и собственных функций задачи Штурма — Лиувилля для оператора Лапласа имеют место и в случае более общего эллиптического оператора дивергентного типа: Ьи = Йч (л (М) пгад и) — !) (М) и при достаточно гладких в Р положительных функциях а(М) н д(М). Не проводя подробных доказательств, кратко остановимся на задаче Штурма — Лиувилля для самосопряженного эллиптического оператора 1и+)ри = Йч (й угад и) — !)и+ йри = О„М ~ Р и ~а=О.
Рассмотрим вспомогательную задачу: Еи= — !'(М), М е-:'Р, (1.9) и~ э=О. (1ЛО) С помощью формул Грина легко доказать теорему единственности задачи (1.9), (1.10) для достаточно гладких функций й(М) )О, д(М) ~0. Записав уравнение (1.9) в виде ч !зи = — тг (1 п й) ху и + ди — ~, д = —, ) = —, а' а' 324 для решения задачи (1.9) — (1.10), если оно существует, полу- чим представление и(М)= ~ 6(М, 6) тг!пй(Я) ху и(Я)~(*г'— о — ! 6(М, 6)д(Я)и(Я)~(Р'+Е(М), о Г(М)= ~6(М, ®~ДЛ, о где а 6(М, Я) — функция Грина задачи Дирихле для оператора Лапласа: А6 (М Мч) = б(М Мо) 6! =0, существование которой для достаточно гладкой поверхности 5 было доказано выше. Используя тождество ! су (и6 ху 1п й) = 6 ху 1и й с7 и + и ху (6 ху 1п й), теорему Остроградского н условие (1.10), полученное для решения задачи (1.9) — '(1.10), представление можно переписать в виде и(М)+ ~ х7ч(6(М, Я) у!п/г(Я))и(Я) дУ+ о + ~ 6 (М, Я) д (Я) и (Я) сП/= г (М).
(1. 11) о Еи,= — 1,(М, М,), и,)з=0, где положительная функция 1,(М,Ма) отлична от нуля лишь внутри шара К, радиуса е с центром в точке Мм а 325 Данное представление есть не что иное, как интегральное уравнение Фредгольма второго рода с полярным ядром.
Аналогично предыдущему доказывается эквивалентность краевой задачи (1.9), (1.10) и интегрального уравнения (1.11). Причем в силу теоремы единственности для задачи (1.9), (!.10) однородное интегральное уравнение (1.1!) имеет только тривиальное решение. Последнее справедливо и для уравнения с повторными ядрами. Отсюда следует, что краевая задача (1.9), (1.10) однозначно разрешима. Рассматривая последовательность краевых задач: !пп ! 1,(М, М,)о((Г=1, о-о о и переходя к пределу при 6- О, можно показать, что существует регулярная обобщенная функция 6(М, Мо), являющаяся решением краевой задачи: ~6(М Мо) = б(М1 Мо) 6! =О.
Легко доказать, что функция 6(М, Мо) — симметричная функция своих аргументов. Функцию 6(М,Мо) естественно назвать функцией Грина задачи Дирнхле для оператора Ьи в области О. Через эту функцию Грина решение задачи (1.9), (1.10) выражается в виде и(М)=- ) 6(М, 1;1))(6)~( '. о Вернемся теперь к исходной задаче Штурма — Лиувилля. Из проведенных рассмотрений аналогично случаю оператора Лапласа следует, что эта задача эквивалентна однородному интегральному уравнению Фредгольма второго рода с симметрнзуемым ядром: и (М) = Х ( 6 (М, Я) р (6) и (6) Жг, о откуда и следуют основные свойства собственных значений и собственных функций этой задачи.
5 2. СВОИСТВА РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА В гл. у' были подробно рассмотрены свойства гармонических функций, т. е. решений уравнения Лапласа. Сейчас будем исследовать свойства решений уравнения Ли+си=О, где с — некоторая постоянная. 1. Фундаментальные решения уравнения Гельмгольца При изучении свойств гармонических функций важную роль играло фундаментальное решение уравнения Лапласа.
Построим фундаментальное решение уравнения Ьи+ + си=О. Рассмотрим сначала трехмерный случай. Будем действовать по той же схеме, что и при построении фундаментального решения уравнения Лапласа. Пусть Мо — некоторая фиксированная точка. Введем сферическую систему координат (г,О,Ч~) с 326 центром в точке Ме. Найдем решение уравнения пи+си=О, за- висящее только от г (радиально-симметричное решение). Рас- писывая оператор Лапласа в сферической системе координат и учитывая, что и зависит только от г, получим (2.1) Поскольку 1 д ! е ди ' 1 'де — — ( ге — 1 — = — — (ги), дг (, дг г г дге то, сделав замену уравнение (2.1) запишем в виде Дзе + со=О.
дге (2.2) Решение его можно записать в виде о =С,е1ы+С,е или, используя вещественные линейно независимые решения, в виде и=А,соз/г+А з(пйг. При с= — х2 (х — действительно, х>О) решение уравнения (2.2) имеет вид о = С1е"'+ С,е™. 1аким образом, найдены следующие радиально-симметричные относительно точки Ме решения уравнения Ли+си=О: Е~1иг и= при с=/Р)О, г Еиг и = ' при с = — х'(О, г ~м~~е ' Отметим, что все эти решения при М-+-Ме имеют одинаковую особенность, совпадающую с особенностью фундаментального решения уравнения Лапласа. Рассмотрим поведение этих решений при г-е-ио. В случае 1 с= — хз одно решение — ехр( — хг) экспоненциально убывает г 327 Рассмотрим отдельно случаи с ) 0 и с(0. Пусть с = йе ) 0 й — действительно, й ) О).
Уравнение (2.2) принимает вид — +.ч'о = О. 1 на бесконечности, второе — — ехр (хг) — неограниченно воз- Г растает на бесконечности и физического смысла не имеет. Фун- даментальным решением при с= — я' называется решение е — "лмм, 'чмм, При с=йе)0 ситуация более сложная, поскольку оба решения емамме е мямма и ймм, ймм, а также действительное решение сое Имм (2.4) амм, при И=в )тмм, — г оо убывают по одному и тому же закону.
е!и ем Еще одно действительное решение мы не рассматрива- Я ем, так как оно ограничено во всем пространстве. При изучении уравнения Ли+й'и=0 в ограниченной области решения (2.3), (2.4) эквивалентны и каждое из них является фундаментальным решением этого уравнения. Рассмотрим физическую интерпретацию этих решений в неограниченном пространстве и выясним, чем они отличаются друг от друга. Ранее мы установили (гл. ЧП), что волновое уравнение (2.5) — — =АУ а' дР описывает распространение волн в однородном пространстве (а — скорость распространения волн).
Если рассматривать установившиеся гармонические волны, зависящие от времени по закону У (М, г) = е-'~' и (М), то для амплитуды волны и(М) получаем интересующее нас уравнение ме Ли+йеи=0, яе= —, а' Таким образом, сферически-симметричные относительно точки М, решения уравнения (2.5), построенные на основе (2.3)— (2.4), имеют вид — 'а~+ ея е — 1а~- аа сае И е ' Е не~ й Я Й 328 — гог+ыя мм, лмм, 1 Решения — ехр(~ !й)с) представляют собой амплитуды раей пространяющихся сферических волн.
Они называются фунда- ментальными решениями уравнения Гельмгольца в неограни- ченной области. Для выделения одного из них следует на бес- конечности поставить дополнительное условие, которое будет рассмотрено позже. Еще раз подчеркнем, что в ограниченной области решения (2.3), (2А) эквивалентны. Рассмотрим теперь плоский случай. Введем полярную си- стему координат (г, !р) с началом в точке Мо. Решение и, зави- сящее только от г, удовлетворяет уравнению — — (г — )+си=О, 1 Е Г Еи! г Ег Ег) или — + — — +си=О. й'и 1 ~1и Его г ог (2.6) При с=й')Π— это уравнение Бесселя нулевого порядка. Следовательно, его общее решение имеет вид и =- СгН о!! ! (иг) + СоНо1~ (йг) или и = Аг(о (Ь') + Аой1о (Ь')- При с= — х'<О (2.6) есть уравнение для функций Бесселя чисто мнимого аргумента нулевого порядка, и его общее решение можно записать в виде и = С,(о (хг) + СоКо (хг).
При с= — х'<О фундаментальным решением уравнения Ли— — хоп=О называется функция ! Решение — е — !"'+!а и представляет собой сферическую волну, расходящуюся от точки Мо (волну, уходящую на бесконеч- 1 ность); решение — е-! ' — пн представляет собой волну, сходящуюся к точке Мо (приходящую из бесконечности); решение е-!" ,, сооой — стоячая волна с особенностью в точке Мо (сой держащая волну, приходящую из бесконечности).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
