Свешников, Боголюбов, Кравцов. Лекции по математической физике (1125176), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Рассмотрим следующую задачу Дирихле: Ли+Я»и= — Р в О, (4 ' и1з = 7. Согласно третьей формуле Грина (2.7) решение задачи во внутренних точках области 0 можно представить в ви,"- 1 ° ди емл д еми и(М)= — Ь) е — и — е ~ ~5 + 4л 7 ( дл и,яр дл кмр 4 а е< (4.2, о Пусть п(М) — регулярное в е1 решение однородного уравнения Лп+й»о=О. Применяя к и и и вторую формулу Грина, по- лучим 336 соответствующей задачи Штурма — Лиувилля. Поэтому при й'=А„, неоднородная задача имеет решение не всегда, а если имеет решение, то оно неединственно. О = ~ ~ — "о — и — "~ «5+ ~ Рп«()7. 3 о (4.37 Складывая (4.2) и (4.3) и вводя обозначение '"яме 6(М, Я)= +и, 4«««« получим и(М)=-«и ) — 6(М, Р) — и — (М, Р)~ «(Яр+ 1 аа ' дар (4.47 и (М) = — ~ ~ (Р) — (М, Р) «Ж+ ~ Р6«()7.
5 о (4.б) О п р е д е л е н и е. Функция 6 (М, Я) называется функцией Грина оператора Ли+я« и для внутренней задачи Дирихле в области й, если она удовлетворяет условиям: 1) 6(М, ф = ехр(«й)с)+и, 4Юм«« где о — решение уравнения Ли+Ив=О всюду в 0; 2) 6 (М, Р) ~ р»з = О Вопрос о построении функции Грина сводится к решению однородного уравнения Лп+йзп=О в 0 со специальным граничным условием на 5: 4««ам, о)в=— где 4««««мр р» 3 «алогичным образом вводится функция Грина для второй на ' гьей краевых задач. ние «метим (без доказательства), что функция Грина краевой ско «и для оператора Ли+й'и в области 6 существует только .ом случае, когда йз не совпадает ни с одним собственным ..качением соответствующей задачи Штурма — Лиувилля в об- ласти Р, т.
е. область Р, для которой строится функция Грина, является нерезонансной для данного значения й'. Функция Грина для оператора Ли — х'и определяется анало- гично. Но для этого оператора функция Грина существует при всех «« для любой поверхности Ляпунова. Это связано с тем, 337 Выберем функцию и так, чтобы 6~р»з=О. Тогда решение задачи (4.1) можно представить в виде что оператор Лапласа для первой, второй н третьей краевых задач (третьей — при Ь)0) отрицательных собственных значений не имеет. й 5. ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ Аи — зги= — 1 В НЕОГРАНИЧЕННОИ ОБЛАСТИ Перейдем к изучению задач для уравнения Ьи+си= — Г в неограниченной области.
Для выделения единственного решения необходимо поставить дополнительные условия на бесконечности. При этом условия на бесконечности ставятся по-разному при с= — хг(0 и при с=яз)0, Рассмотрим сначала случай с= — хт(0. Будем считать, что функция Г локальна. В этом случае дополнительным условнеьи, выделяющим единственное решение, является требование равномерного стремления решения к нулю на бесконечности. Теорем а 8.6. Уравнение Аи — х'и= — ~ в неограниченном пространстве не мажет иметь более одного решения, равномерно стремящегося н нулю на бесконечности. Доказательство. Пусть существуют два решения и, н иь равномерно стремящиеся к нулю на бесконечности. Тогда функция о=и,— из является решением однородного уравнения Ьо — хто=О во всем пространстве н о 0 на бесконечности.
Пусть существует точка Мь такая, что о(Мь)ФО. Для определенности будем считать, что о(М,)=А)0. Так как о ' 0 на бесконечности, то существует такое к, что при всех А г К о(М)( —. Тогда точка Мь будет лежать внутри шара радиуса К с центром в начале координат, н, следовательно, функция о(М) достигает во внутренней точке этого шара положительного максимального значения. Это противоречит принципу максимума. Следовательно, о=О во всем пространстве, т. е.
и~— = иь ° На основании отмеченных выше свойств потенциалов Гельмгольца легко установить, что в случае локальной непреРывно диффеРенциРУемой в Вь фУнкции Т(М) (Рь=зпРР)) Решение уравнения Аи — х'и = — ) (М) существует и выражается формулой и (М) = — ~ ~((г) д)те. 4я,> й о. Аналогичным образом может быть доказана единственность решения внешней краевой задачи Аи — хьи= — г" в Р„ 338 и~13=1, равномерно стремящегося к нулю на бесконечности. Можно показать, что для решения уравнения би — хзи= — 1„ равномерно стремящегося к нулю на бесконечности, в неограниченной области справедлива третья формула Грина ди е е и(М) = — Х 1 — — и — ~ е(о+ 4и Т(ди И ди И + — ~(~ ' Л', М~Р„ 4и,) Й о, где Ре — носитель функции 1(М), п — нормаль к поверхности 5, направленная внутрь области Ю. Из формулы (5.1) следует оценка убывания функции и(М) на бесконечности: и(М) =0(е "') при г-~ои.
(5.1) й 3. ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ АиЧ- Л'и= — / В НЕОГРАНИЧЕННОИ ОБЛАСТИ При изучении уравнения Ли+А'и= — 1 в неограниченной области ситуация более сложная. Решения (2,3), (2.4), полученные в З 2, на бесконечности убывают одинаково.
Требования равномерного стремления к нулю на бесконечности явно недостаточно для выделения единственного решения. Нужны более тонкие условия. В этом параграфе будут сформулированы сначала физические условия, а затем и математические условия на бесконечности, и доказана соответствующая теорема единственности. 1. Условия излучения Рассмотрим в неограниченном пространстве уравнение Ли+ й'и = — г, (6.1) ЗЗЭ где 1 — локальная функция. В $ 2 было установлено, что решение уравнения (6.1) можно рассматривать как амплитуду установившихся гармонических колебаний (волн), создаваемых локальным источником с амплитудой 1(М). Поскольку функция 1(М) локальна, то источники волн расположены в конечной области пространства, н от этих источников на бесконечность уходят волны, которые вдали от источников ведут себя как уходящне сферические волны.
Поэтому физическим условием, выделяющим единственное решение уравнения Ли+йзи= — 1, является следующее требование: найти решение, соответствующее уходящим на бесконечность волнам. Теперь нужно оформить это требование математически, т. е. сформулировать такие математические условия, которые бы выделяли единственное решение уравнения (6.1) (соответствующее уходящим на бесконечность волнам). Чтобы сформулировать эти условия, снова рассмотрим уравнение колебаний — ' — = ЛУ. аз В одномерном случае оно имеет вид дзУ дУ д1«а„и и допускает решение в виде плоских волн; У, (х, 1) = ~, (х — а1), распространяющейся в положительном направлении оси х, и У,(х, 1) =~,(х+а1), распространяющейся в отрицательном направлении оси х. Легко проверить, что каждая из ннх удовлетворяет «своему» соотношению: дУ4 1 дУ, дУ, 1 дУ, — '+ — — '=О, — * — — '=О дх а д1 дх а д1 и не удовлетворяет «чужому».
Если рассматривать установив- шиеся гармонические волны с временной зависимостью е '"'. У1л(х, 1)=ива(х)е — '"', й= —, а то эти соотношения принимают вид ди, дх — — йи,=О для волны, распространяющейся в положительном направлении осн х; — +йи,=О ди, дх для волны, распространяющейся в отрицательном направлении оси х. В этих формулах для нас существенным является то, что знак в этих условиях выделяет волну определенного направления. Отметим, что при выбранной временной зависимости в виде комплекснозначной функции амплитуда установившихся колебаний также, вообще говоря, оказывается комплекснозначной функцией.
В этом случае для нее часто применяется термин «комплексная амплитуда». з40 Рассмотрим теперь сферические волны, т. е. сферическисимметричные решения уравнения колебаний в пространстве: Это уравнение можно переписать в виде 1 д~ д~ — — (ги) = (ги). ат д!4 дг4 Следовательно, для функции У=гУ получается одномерное уравнение колебаний, общее решение которого имеет вид У = !', (г — аг) + 1, (г+ а!). Итак, сферические волны в пространстве имеют вид (у (г !)= А( ) и у (г !)= ~( Г г Первая из них — и!(г, !) — представляет волну, уходящую на бесконечность (уходящая сферическая волна), вторая— (!! (г, !) — волну, приходящую из бесконечности.
По аналогии с одномерным случаем рассмотрим дифференциальные выражения аи : аи — *— дг а д! Для ы и,(», !) аи, ! 'аи, 1 — '+ — — ' = — — !"; (г — а!)+ — ~; (г — а!)— дг а д! гт г Функции ~, и (, естественно считать ограниченными. Поэтому ди, ! аи, — '+ — — '=о ( — '!! при г-~со. дг а дЕ Аналогично ди~ 1 див г ! — ' — — — '=о( — ) при г-~со. дг а д! ( г Опять рассмотрим установившиеся гармонические волны с вре- менной зависимостью е-": У!л(г, !)=и!л(г) е — ' '.
Тогда получаем соотношения для расходящихся волн: ди1 . г ! — — !йи!=о ( — ), г-ч-оо, дг Г 341 и для сходящихся волн: — + ии = о ( — ), г -~ «2и дие . ! 1 дг Опять видно, что условия, которым удовлетворяют сходящиеся и расходящиеся сферические волны, различны. Поскольку физически ясно, что волна, созданная источниками, расположенными в конечной области, вдали от источников подобна уходящей сферической волне, то естественно предположить, что математическими условиями, выделяющими уходящие (расходящиеся) волны, будут условия и=О( — ), г-«-сю, ди . /1 — — !'ни=о ( — )„г-+-ио.
дг г (6.2) )««МΠ— — )Г Ге+ Г! — 2ГГ, СОЗ !г, 2 где соз р=соз 6 соз 6«+ з«п б з«п б! соз («р — «р!) . Следовательно, при г — ои и фиксированном значении г, )«ме = '+О(!) иМЧ г — г«соей ! 1 =1+0( †' дг '«ме Поэтому ()« = — )«мо) ( .1' д, «е«"И д е«Л ~Ж е Й') дг ) !«д««!«дг !« 1 «е«ел дй . е«ел = !'и — ) — ' — — и — ' !! ) ««дг !« = (и — ') — ' ()+о( — ') ) — и — '=о ( — ', ) независимо от положения точки «,1, находящейся на конечном расстоянии г, от начала координат. И2 Условия (6.2) называются условиями излучения, или условиями Зоммерфельда. Первое из условий (6.2) означает, что и(М) при г-«-ии ведет себя как сферическая волна, второе — что эта волна, уходящая на бесконечность. Далее мы покажем, что условия излучения (6.2) действительно выделяют единственное решение уравнения (6.!).
Сначала покажем, что условия (6.2) из фундаментальных решений (2.3), (2.4) выделяют только одно. Введем сферическую систему координат. Пусть точка М имеет координаты (г, 6, «р), точка Я вЂ” (г!, 6«, «р,). Тогда 1 Следовательно, решение — ехр(!Ы) при фиксированном положении точки !г и М- оо удовлетворяет условиям излучения (6.2). Легко проверить, что два других решения (2.3), (2.4) условиям (6.2) не удовлетворяют.
Таким образом, условия (6.2) выделяют единственное решение из (2.3), (2.4). Теорема 8.7. Уравнение /ти+йеи= — (, где ( — локальная функция, в неограниченном пространстве не может иметь более одного решения, удовлетворяющего на бесконечности условиям излучения и=О( — '), г-~оо, 1 / ди . /1 — — «йи=о( — ), г-ьоо. дг Доказательство. Пусть существуют два решения и, и и, поставленной задачи. Функция о=и,— и, является решением однородного уравнения оо+й'о=О, удовлетворяющим условиям излучения на бесконечности. Пусть Я, — сфера радиуса р с центром в начале координат. Внутри шара, ограниченного сферой Ю„ справедлива третья формула Грина мя мя 1 ~«дь е /"1' д е з(М) = — «(! ~ — — о — ~ «Б. (6.3) 4п .т дп нме д«'«, нме зе Заметим, что взята третья формула Грина с тем фундаментальным решением, которое удовлетворяет условиям излучения на бесконечности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
