Свешников, Боголюбов, Кравцов. Лекции по математической физике (1125176), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Оценим подынтегральную функцию в (6.3) при р-«-оо. Используя условия на бесконечности, получим дь е«"/1 д е«Е/1 дь е«ЕЯ д е« Я дп й дп й зе дг «« дг Я Зе =('"'(-') — '" - («й — '" (-'1))— ( 1 =о ( — ) при р — ~-оо. 1ве) Эта оценка показывает, что при р оо интеграл по 5, в (6.3) стремится к нулю. Следовательно, о(М) = — О, т. е. и,=ив ° 1 Заметим, что условие и=О ( — ~ при г — оо является следстг ди . /1 вием.
второго условия — — «йи = о ( — ). На доказательстве этодг г го факта мы не останавливаемся. Это условие нами сохранено для упрощения доказательства теоремы единственности. Рассуждениями, аналогичными тем, которые использовались при доказательстве этой теоремы, можно показать, что 343 для функций, удовлетворяющих условиям излучения на бесконечности, справедливы формулы Грина во внешней неограниченной области.
Как мы установили, фундаментальное решение е! н удовлетворяет условиям излучения. Поэтому тем же условиям на бесконечности будет удовлетворять и объемный потенциал ,маме 11(а) ', л',, т построенный на его основе. Отсюда сразу следует, что при соответствующих ограничениях на ГЯ) функция "ма и(М)=~)(я) с()г т мч — — йи=о ~ — ) при г — ~-оо ди.г! (6. 4У дг 1 согласовано с выбранной временной зависимостью е — '"' и вы- деляет уходящую волну только при этой временной зависимо- сти. Если временная зависимость выбрана в виде е!"', то ус- ловие, выделяющее уходящую волну, имеет вид ди . ! ! +!йи=о ( — ), г-~со.
дг (,г (6.5) Это означает, что если временная гармоническая зависимость известна заранее, то в соответствии с ней выбираются условия на бесконечности. Если временная зависимость заранее не известна, то на бесконечности можно поставить как условие (6.4), так и условие (6.5). И то и другое условия будут выделять единственное ре- 344 является единственным решением уравнения Ьи+й'и= — Г, удовлетворяющим условиям излучения на бесконечности. С помощью установленной формулы Грина для уравнения Гельмгольца во внешней неограниченной области могут быть доказаны и теоремы единственности решений внешних краевых задач для этого уравнения, удовлетворяющих условиям излучения на бесконечности.
Однако эти доказательства требуют привлечения дополнительных аналитических свойств решений однородного уравнения Гельмгольца и ряда вспомогательных рассмотрений, которые здесь приводить не будем. Сделаем еще одно важное замечание об условиях излучения. Условие шение уравнения Ли-!-йзи= — Г, но эти решения будут различ- ны. А при физической интерпретации решения следует учиты- вать нужную временную зависимость, которая соответствует расходящимся волнам. В двумерном случае условия излучения имеют вид и =- О ( =), г -~ оо, ди .
! 1 — — Ии = с ( — !, г -+- оо, дг (, !Iг / при временной зависимости е-" или (6.6) и=О(=), г-~со, ди . ! ! — +Ии=о( — ), г- оо, д~ ~ г (6.7) при временной зависимости е'"'. Первое условие в (6.6) и (6.7) также является следствием второго. Доказательство теорем единственности проводится аналогично. 2. Принцип предельного поглощения можно рассматривать как амплитуду установившихся гармонических колебаний. Будем исходить из этой же модели, но считать, что колебания (или волны) распространяются в среде с поглощением.
Распространение волн в среде с поглощением описывается уравнением — — +р — =Л(7+В(М, !), 345 Условия излучения представляют собой аналитические условия, выделяю!цие единственное решение. Они удобны в том случае, когда уравнение решается в неограниченном пространстве либо когда граничная поверхность расположена в конечной области. Если граничная поверхностьуходит на бесконечность, то может оказаться, что условия излучения в сформулированном виде неприменимы.
В этом случае нужно либо сформулировать условия излучения в ином виде, применительно к конкретной задаче, либо пользоваться некоторыми другими принципами выделения единственного решения. Таких принципов несколько. Они состоят не в формулировке дополнительных условий, которому должно удовлетворять решение, а в указании алгоритма, который позволяет выделить нужное решение. Рассмотрим принцип предельного поглощения. Физические основы принципа предельного поглощения очень наглядны.
Ранее было установлено, что решение уравнения Ьи+и'и = — Г в котором коэффициент 6>0 характеризует поглощение среды. Предполагая, что правая часть (6.8) имеет вид Р(М, 1) =г(М)с — '"", будем искать решения (6.8) с той же гармонической зависимостью от времени: и(М, 1)е ц(М)е— Тогда для комплексной амплитуды установившихся гармонических колебаний в среде с поглощением получим уравнение дп 1 (йз 1 (ыта)п т ь а Обозначим да=й'+1ы6.
Тогда уравнение можно переписать в виде Ли+ д'и = — ). (6.9) Таким образом, амплитуда установившихся гармонических колебаний в среде с поглощением описывается уравнением Гельмгольца с комплексным коэффициентом д. Пусть д=да+ пть Тогда Ч,'+2и14Чт — Я, =й +иаР Отсюда находим (6.10) Очевидно, что 1ппд,=~й, 1ппп,=О. а о В-а Уравнение (6.9) имеет два решения: и и-ин е и'н+ия и,=~~ Жт и и,=~~ Йу, 4яЯ 4яй т т причем при р>0 (д1ФО) одно из них экспоненциально стремит- ся к нулю на бесконечности, а другое — неограниченно возрас- тает.
Знак в выражении (6.10) для д выберем так, что д,= =1шд>0. Тогда решение иа(М) неограничено на бесконечно- сти, а для ограниченного решения и,(М) имеем "мо 11шп (М)= — 1(Я) ' Л'ч, В а 4я,~ йМЧ т т. е. при 6 0 получается решение уравнения Ли+йаи= — 1, со- ответствующее уходящей на бесконечность волне. Таким образом, алгоритм выделения единственного решения уравнения Ли+йаи= — 1, соответствующего расходящимся вол- нам, можно сформулировать как требование, чтобы функция и(М) являлась пределом ограниченного решения уравнения 346 (Ьи + с(»и) и* с(У = О, ое которое в силу условий на бесконечности, используя формулу Грина и граничные условия, можно переписать в виде 1 — '" * —" и* Н5 — ~ ! ху и !» Л'+ д' ~ ! и )» с(У = О.
дл 5 ое ое Беря мнимую часть полученного равенства, имеем 1т ~ — и" сБ+ оф ~ ! и !» йУ = О. дл 3 о, В случае первой или второй краевых задач поверхностный ин- теграл равен нулю, а в случае третьей краевой задачи в силу граничного условия Т ди Т а(Р) что вместе с (6.11) дает и(М) = 0 в О,. (6.! !) (6.9) с комплексным коэффициентом д при стремлении к нулю поглощения р, при этом знак 1та должен быть согласован с выбранной временной зависимостью. Такая процедура построения решения носит название «принцип предельного поглощения», Принцип предельного поглощения основан на том физическом факте, что при отсутствии источников на бесконечности при наличии в среде даже малого поглощения могут существовать только уходящие волны.
Принцип предельного поглощения имеет более широкую область применимости„чем условия излучения в форме Зоммерфельда. В двумерном случае этот принцип формулируется точно так же. В заключение приведем доказательство теоремы единственности решения внешней краевой задачи для уравнения Гельмгольца при наличии поглощения во внешней среде. Т.е о р е м а 8 8 Внешняя краевая задача Ьи+ у»и = — Г в Он ч» = й»+ йй~, ~ ) О, и — "+ уи ! з = ~р (Р), Р е= 5, дл ари а>0, 1гпу(0, а+ (у)~0 может иметь только одно решение, зкспоненциально стремящееся к нулю на бесконечности.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно доказать, что соответствующая однородная задача имеет только тривиальное решение. Обозначим решение этой однородной задачи по-прежнему через и(М). Очевидно, справедливо равенство ЛИ ТЕ РА ТУРА 1. Арсении В. Я. Методы математической физики и специальные функции. Мз Наука, 1984. 2. Б ни а две А.
В. Уравнения математической физики. Мл Наука, 1976. 3, Владимиров В. С. Уравнения математической физики. Мс Наука, 1981. 4. Кошляков Н. С., Глннер 3. Б., Смирнов М. М. Основные дифференциальные уравнения математической физики. Мл Физматгнз, 1962. б. Никифоров А. Ф., Уваров В. Б. Специальные функции математической физики. Мз Наука, 1984.
6. Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными. Мз Физматгиз, 1961. 7. Соболев С. Л. Уравнения математической физики. Мз Наука, 1966. 8. Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. П. Мс Наука, 1967. 9. Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т.
1Ч, ч. 1. Мз Наука, 1974. 10. Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. 1У, ч. 2. Мз Наука, 1974. 11. Стеклов В. А. Основные задачи математической физики. Мз Наука, 1983. 12. Тихонов А. Н., С ам арский А. А. Уравнения математической физики. Мз Наука, 1977. ДОПОЛНЕНИЕ 1. РАЗЛИЧНЫЕ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ Пусть х, у, г — декартовы координаты некоторой точки, а х,, хз, хз — криволинейные ортогональные координаты этой точки. Квадрат элемента длины выражается формулой 6Ь =1(х +з(Р +и2 =61Ых1+Й2дх2+Ьзс(хзз, где ('— ') .~.( г) .у.) — ') 2=~,2,3) — метрические коэффициенты, или коэффициенты Ламе. Ортогональная координатная система полностью характеризуется тремя метрическими коэффициентами Аь А„Аз.
Приведем общее выражение для операторов вагаб, б!ч, го! и оператора Лапласа А в ортогональной криволинейной системе координат: з ч1 1 ди ягаби= э — — 1ь Ь Ь1 дх1 / —.-1 б!Ч А = ~ — (ЬзйзА2) + — (ЬЗЬЗАЗ) + — (ЬЗЬЗАЗ) ~ ° ЛЗЬ~ЬЗ ! дх, ' " дх, ' ' дхз Аз!1 Аз!3 АЗ!2 д д д !А= 1 6 Л,А ~дхд дхз дхз АЗАЗ А.АЗ А Аз д лзь, ди ' д йзйз ди ) ~ где 1ь 12, 1з — единичные базисные векторы, А=(А„АЗ,Аз) произвольный вектор, и — скаляр, А,=А.(хьхз,хз), з=1,2,3 Я=И (ХЬ Х2, ХЗ) . Прямоугольные координаты хз х хз д хз 8 Ь 1 Ь 1 Й 1 дАх дАу дАз з дх ду, дх 1+ — !г, ди дг к д д ди .
ди агади = — !+в дх ду го!А= ду дг А„ А, +('" '')'+Ы Ф" дАх дАг ' дАи дАз Цилиндрические координаты х,=г, хз=зр, хзг г связаны с прямоугольными координатами уравнениями х = г соз гр, у = г з!п <р, г = г. Координатные поверхности: г=сопз! — цилиндры, =сопи! — плоскости, г=сопз! — плоскости. Метрические коэффициенты равны Ьз ! 63 г Ьз 1 так что ди ..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
