Свешников, Боголюбов, Кравцов. Лекции по математической физике (1125176), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Рассмотрим уравнение спс х 2 ф„„я,). — ~ Ь=О си' х и найдем данные рассеяния для этого потенциала ис(х). Ока. зывается, что коэффициент отражения Ь(й, 0)=0 и существует лишь одно собственное значение Х,= — 1= — и,с, причем С, (0) = =)~2. Ядро уравнения Гельфанда — Левитана (12.23) для таких данных имеет вид (12. 29) В(х; 1)=2см — ". Рассмотрим уравнение Гельфанда — Левитана с этим ядром: Х(х, йч 1)+2е"' —" — х+2е ' — х '! 7('(х, г; 1) е 'с(г=О. х (12.30) и тем самым Разыскивая решение уравнения (12.30) в виде Х (х, у; 1) = = .У (х; !)е — с, найдем .У(х; ~) =— (! 2. 31). к — хс (12. 32) ! ! и(х, г')= — — а аз «11к [ — а (к — ку) — — ~~ 2 2 .Решение (12.33) получим из (!2.34), тогда параметры а и ху равны: а=2, х«=0.
Решения уравнения Кортевега — де Фриза вида (!2.34) получили название солитонов. Они описывают бегущие волны неизменной формы, имеющие скорость, прямо пропорциональную амплитуде решения. Специфика этих решений проявляется в характере их взаимодействия, которое мы сейчас опишем на качественном уровне. Пусть мы имеем два решения и, (х, 1; ап хул), 1=1, 2, вида (12.34), находящихся на далеком расстоянии друг от друга (т.
е. х„— хм положительна и велика), и пусть а1)а» Тогда эти солитоны практически не взаимодействуют и распространяются независимо друг от друга. Однако со временем солитон и„ имеющий большую скорость распространения а1', настигнет солитон и,, и произойдет их нелинейное взаимодействие. Замечательным оказывается то, что после взаимодействия солитоны и, и и, разойдутся, не изменив своей формы, причем теперь солитон и, будет двигаться впереди солитона иь Единственным результатом взаимодействия оказывается то, что солитоны приобретают «скачки фаз», т.
е. величины хм получают приращения Лхуь причем Лхм)0, а Лх„(0. Тем самым солитон и, «прыгает» вперед (вправо) на Лхм, а солитон и, получает «отдачу> назад на величину Лхеь Эти частицеподобные свойства, проявляющиеся во взаимодействии, обусловили название солнтонов и тот огромный интерес, который проявляется к их изучению. В связи со сказанным попытаемся дать определение солитонов как решений нелинейных уравнений. Будем называть солитонами такие решения нелинейных уравнений, которые имеют вид бегущих уединенных волн, взаимодействующих таким образом, что после взаимодействия они сохраняют неизменной свою форму, получая лишь приращение в фазах.
2 к — у М(х, у; г)=— ! + «ук-и Отсюда согласно формуле (12.25) получим л 2 1 — 2 и(х, г) — — 2 — ~ — у м ~ (12,33) «х 1 1 -ф- «~к м ~ спк(к — 4к) — решение задачи Коши (12,26) с начальной функцией и, = 2 ськ к Полученное решение (!2.33) является частным случаем более общего решения уравнения Кортевега — де Фриза, имеющего вид (! 2.34) Глава УП1 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ГЕЛ ЬМ ГОЛ ЬЦА В этой главе мы продолжим изучение уравнений эллиптического типа.
Будут изучены вопросы, связанные с уравнением Ли+си=О. Начнем с исследования задачи Штурма †Лиувил для оператора Лапласа, а затем рассмотрим внешние и внутренние задачи для уравнения Аи+си=О, которое называется уравнением Гельмгольца. й 1. ЗАДАЧА ШТУРМА — ЛИУВИЛЛЯ ДЛЯ ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА В предыдуших главах было показано, что основная идея метода разделения переменных состоит в представлении решения краевой задачи в виде разложения по собственным функциям задачи Штурма — Лиувилля, образующим полную систему функций в соответствующей пространственной области. Зная собственные значения и собственные функции соответствующего оператора, можно построить решения начально-краевых задач как для уравнения теплопроводности, так и для уравнения колебаний в ограниченной области.
Перейдем к изучению задачи Штурма †Лиувил. Мы не будем рассматривать эту задачу для общего самосопряженного эллиптического оператора Еи, а подробно исследуем задачу Штурма — Лиувилля для оператора Лапласа. 1. Приведение задачи Штурма — Лиувнлля к интегральному уравнению Фредгольма Рассмотрим простейшую задачу Штурма — Лиувилля для оператора Лапласа с граничным условием Дирихле. Прежде всего напомним постановку задачи и определение собственных значений и собственных функций. О п р е д е л е н и е. Значения параметра Х, при которых существует нетривиальное решение однородного уравнения Аи+Лри=О в О, (1,1) удовлетворяющее однородному граничному условию и1з=О, (1.2) 319 Ли= — — Хри в О, и(з= — О. (1.3) Рассматривая (1.3) как краевую задачу для уравнения Пуас- сона, выпишем ее решение через функцию Грина и(М)=Л ~ 0(М, Я) р(Я) и(Я)сй'с.
о (1.4) Соотношение (1.4) есть однородное интегральное уравнение Фредгольма второго рода относительно функции и. По построению (1.4) любое решение задачи (1.1), (1.2) является решением уравнения (1.4). Покажем, что справедливо и обратное утверждение: любое решение уравнения (1.4) есть решение задачи (1.1), (1.2) Действительно, пусть и(М) — решение уравнения (1.4). Учитывая свойства объемного потенциала (см.
5 б гл. Ъ'), естественно считать, что функция и(М) непрерывно дифференцируема в Д. Тогда, опять используя свойства объемного потенциала, получим, что и(М) есть решение уравнения Ьи= — ).ои .и, учитывая свойства функции Грина, и(э=О. Следовательно, и(М) есть решение задачи (1.1), (1.2). Таким образом, задача Штурма — Лиувилля (1.1), (1,2) эквивалентна интегральному уравнению (1.4). Чтобы в дальнейшем воспользоваться результатами теории интегральных уравнений Фредгольма с симметричным ядром. приведем уравнение (1.4) к уравнению с симметричным ядром Для этого домножим (1.4) на )'о(М) и запишем его в виде ')/ р (М) и (М) =- Х ! ) ' р (М) б (М, Я) ~/ р ф) У ! (ф и (Я) пг'.
в Введем обозначения: называются собственными значениями оператора Лапласа для задачи Дирихле, а соответствующие им ненулевые решения— собственными функциями. Вудем предполагать, что 5 — поверхность Ляпунова,а функция р(М) — положительная непрерывно дифференцируемая функция в Д. Сведем задачу (1.1), (1.2) к интегральному уравнению Фредгольма второго рода. Обозначим через 6(М, Я) функцию Грина внутренней задачи Дирихле для оператора Лапласа.
Как было показано ранее, для замкнутой поверхности Ляпунова она всегда существует. Пусть и(М) ФО есть решение задачи (1.1), (1.2). Подставляя и в (1.1), (1.2), получим тож. дества К (М, Я) = )ар (М) 6 (М, Я) у' р (Я), о (М) = 3 р и. Тогда интегральное уравнение принимает вид п(М) =Х '1 К(М, Я) п(!',!)!(У. (1.5) о Получено интегральное уравнение с симметричным слабо-полярным ядром, для которого справедлива теория Фредгольма. 2.
Свойства собственных значений и собственных функций Согласно теории интегральных уравнений вещественное симметричное слабо-полярное ядро К(М, Я) имеет хотя бы одно собственное значение. Это означает, что задача Штурма — Лиувилля имеет решение, т. е. существуют собственные значения и собственные функции оператора Лапласа для задачи Дирихле. Рассмотрим свойства собственных значений и собственных функций, сформулированные в $ 4 гл. 1П.
1. Существует бесконечное счетное множество собственных значений Х,<1,,«... Л„<... (1.6) Поскольку собственные значения уравнения (1.5) и задачи (1.1), (!.2) совпадают, то существование счетного множества собственных значений следует из теории интегральных уравнений. Остается показать, что множество собственных значений бесконечно. Предположим противное, т. е. что число собственных значений конечно: Л„)ч,...,)! Тогда, как известно, ядро К(М, Я) будет вырожденным, и оно представимо в виде (1.7) л=! где (о„(М)1 — множество собственных функций ядра К, причем в этой сумме каждое собственное значение повторяется столько раз, каков его ранг. Напомним, что для рассматриваемых ядер К(М, Я) ранг собственного значения конечен.
Поскольку каждая собственная функция о„непрерывна, то конечная сумма, стоящая в правой части (1.7), есть функция непрерывная, в то время как ядро К(М, Я), стоящее в левой части (1.7), слабо-полярно, т. е. неограничено при М=Я. Это противоречие показывает, что число собственных значений бесконечно и согласно теории интегральных уравнений не имеет конечных точек сгущения.
зз! 2. Все собственные значения положительны: Х,)0. Обозначим через (и (М) ) множество собственных функций задачи (1.1), (!.2): ол (М) = (!гР (М) и„(М). Воспользуемся первой формулой Грина и„ли„!(У = ~ и„ди" !(с — ~ (~ и„)л !(У. л Поскольку Ли„= — Х„ри„, и„(э=О, то Х„~ ри„!(У= ~ (т7 и„)'Я.
(1.8) и о Отсюда сразу следует, что Л„)0 при всех п. Это также означает, что функция Грина является определенно положительным ядром, разложение которого в ряд по собственным функциям получено в 5 4 гл. Ч: и„(М) и„(О) Хл лья Заметим, что для задачи Штурма — Лиувилля с граничным (' ди ~ условием Неймана ( — ! = 0) из (1.8) следует, что она име! дл !з ет наименьшее нулевое собственное значение. С этим обстоятельством связана неедннственность решения внутренней задачи Неймана для уравнения Лапласа. Наконец, заметим, что в случае задачи Штурма — Лиувилля с третьим граничным усло! ди)л" вием ( — +Ли~ = 0) при отрицательной функции Ь(Р)(0 (, дл задача может иметь конечное число отрицательных собственных значений Хл. 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
