Свешников, Боголюбов, Кравцов. Лекции по математической физике (1125176), страница 46
Текст из файла (страница 46)
убывает прн удалении от центра (точки Мо). Такие колебания называются расходящимися и сходящимися бегущими сферическими волнами в зависимости от направления распространения от точки М, или к этой точке. 2. Формула Кирхгофа В этом пункте получим интегральное соотношение, аналогичное третьей формуле Грина для уравнения эллиптического типа и связывающее значения решения уравнения [9.1) в произвольной точке Мо в момент времени ~о со значениями этого решения и его производных на замкнутой поверхности 5, охватывающей точку Мм в предыдущие моменты времени. Запаздывание во времени влияния данных на поверхности 5 связано с тем, что уравнение колебаний описывает процессы с конечной скоростью распространения сигналов (явление близкодейетвия): возмущение, возникшее в точке М' в момент времени 1, сказывается в точке Мо не мгновенно, а д,и,м через промежуток времени Ы=- ' .
В одномерном случае. при рассмотрении явлений на фазовой плоскости областью влияния является характеристический треугольник, образованный характеристиками к — аг=С и х+аг=С, проходящими через точку Мо. Аналогично в трехмерном и двумерном случаях областью влияния является характеристический конус с вершиной в точке (Мм Га). На рис.
7.8 для наглядности приведем чертеж для двумерного случая. Множество точек (М, ~), определяемое условиями йм м = ~о ~ ~(~е й называется нижним характеристическим конусом точки. (Мм 1,) и определяет те точки М, из ноторых возмущение, вышедшее в момент времени 1, предшествующий 1о, в момент 1р доходит до точки Мм Множество точек (М, ~), определяемых условиями йм,м го ~)~о составляет верхний характеристический конус точки (Мм 1о). 287 'Возмущение (сигнал), вышедшее из точки Мс в момент !„доходит до точки М верхнего характеристического конуса в момент времени /. Для вывода интегрального соотношения сделаем замену независимых переменных, вводя локальное (местное) время точки (Мс, !а) по формуле 1'=г — ~Г,— ' ! =/ — !,+ /см,м ! /см,м й й (9.9) Очевидно, для точки (Мс,го) !'=О. Введем сферическую систему координат (г, б, /р) с центром в точке Ма.
Тогда в переменных г, б, ф, ! для функции и(г, б, /р, !) имеет место задача (9.1), (9.2), ( ма ! ( где Л вЂ” оператор Лапласа в сферичесной системе координат с началом в точке Ма. Перейдем в уравнении (9.1) к новым переменным г'=г, б'=О, и 1', определяемому по формуле (9.9), сохраняя для пространственных переменных прежние нештрихованные обозначения. Обозначим и(г, б, р, /)=и(г, б, /р, !'+ (/,— — ')1=(/(г, б, р, У) а // и пересчитаем производные ди дУ ! дУ вЂ” = — + — —,, дг дг а д/' ' Рис. 78 дии дсУ 2 дЧ/ 1 дЧ/ (9.
10) +,+— дгс дг~ а дг д/' а~ д/ ди дУ ди дУ ди дУ дси диУ дд дд ' дс/ де ' д/ д/' ' дР д/" Подставляя формулы (9.10) в уравнение (9.1), получим дЧ/ дсУ дЧ/ д'У 2аи дУ вЂ”,= —,+а' — +2а + — — + д/' д/' дги дг д/' г дг 2а дУ ас += — + — бас(/+Р(М, !), г д/' ги (9.11) 288 где Г(М, Г')=г(г, б, ср, /')=/(г, б, р, /'+(/.— — '~))=/(г, б, р, /), а / а ! д /. д ! д' Лай= — (81пд !+ Мп д дд (, дд / Мпсб д<р~ — угловая часть оператора Лапласа в сферической системе координат. Формулу (9.11) запишем следующим образом: ЛУ= — — — ( г — 1 — — Г(М, Г). (9.12) аг дг ( д! / ае Предполагая существование решения уравнения (9.1), форму- лу (9.12) можно рассматривать как уравнение Пуассона, пра- вая часть которого является функцией параметра !'.
Используя третью формулу Грина (см. формулу (!.7) гл. Ч), выразим решение уравнения (9.12) в точке (Мо, 0) через значения ре- шения и его нормальной производной на произвольной глад- кой замкнутой поверхности 5, содержашей точку Мо внутри, и значения правой части уравнения (9.12) в области Р, огра- ниченной поверхностью 5: и(М,, О)= — ~ ~ — — и — — ~ 5+ 1 "!1 д!! д ! 4л . ~ г дл дл г е =о + — ~ — — (г — )~ Л'+, ~ ' о()г, (9.13) д где Р=Р()5, — — производная по внешней нормали. да Объемный интеграл, стоящий в правой части формулы (9.13), является несобственным интегралом второго рода: — — 1' г — ) г()г = 11ш ! — — ( г — ) е()г, 1 д д!!' .
о 1 д ды! дг ~ дп, е О а ге дг,, дц,) о о~к, где К,— шар радиуса е с центром в точке М,, Преобразуем этот интеграл. Так как — — (г ) = — пгае( ( — ) пгао( (г — ), то, используя первую формулу Грина, получаем о.к, о'ке — у г — — — еЬ вЂ” у г — — е!з, (9.14! дУ д 1 ' дС! д 1 дг дл г дк дл 3 5 где 5, — сфера радиуса о с центром в точке Мо. В области / ! Р/К,: Л ( — 1 =О.
На поверхности 5, д 1 1 1 д 1 д,, .е ее' дл е 10 Зее 341 289 Следовательно, дгг д !пп у г — — — гЬ= О. е о дг' дл Поэтому, переходя в (9.!4) к пределу при е- О, имеем ( 1 д ! д01 г 1 дСГ дг — — г — ( г!(г = ~~ — — — г(з. ге дг ! дн, г й' дл о 5 (9.!5) Подставляя (9.15) в (9.13), получим 1 г Г 1 дУ д 1 2 деГ дг и(М,, О)= — ПС ~ — — — (7 — — + — — — 1 а+ 4л ~ г дл дл г аг ди дл!г4а и (9. 16) У (Р, О) =- и (Р, 1, — и'л ), где Р ен о, а д0 ди ди дГ дг (9.17) — + дл дп д! дг дп откуда г=п а то, подставляя (9.17) в (9.16), окончательно получим !! 1 'д 1 1 ди Г й 1 дЯ вЂ” и (Р, — + — — ! Р, 1,— — ) — 1 гЬ~+ ) дл а а!! дГ ~ ',е ) для ! 1(м, ~, ) Л1, Я=Я~., (9.18) 4лае,! пм,м о Формула (9.!8) является искомым интегральным соотиоп!ением.
Оиа называется формулой Кирхгофа. Вернемся в формуле (9,!6) к первоначальным переменным, учитывая, что при Р =- О 1= !е —. Поскольку а 3. Формула Пуассона Формула Кирхгофа (9.18) позволяет получить явное аналитическое представление решения начальной задачи (9.1), (9.2). Пусть выполнены условия гладкости входных данных задачи, обеспечивающие существование решения и применимость формулы (9.!8).
Выберем теперь в качестве поверхности Я сферу Хо~, 'радиуса а!о с центром в точке Мо. Тогда будем иметь, учитывая начальные условия (9.2): и (Р, 1,— и'и ~ 4 и(Р, 0)=ф(Р), Р енХммг;, а Р, ! (Р, 0) ф(Р), Ра= 2,ㄠ— '" (Р, 1, ')= — '" (Р, О)= — "' (Р), Р~Х.,;, дп ~ а I дг дг причем 1 дф д г11 1 д — — — ф — ( — ~ = — — (гф) г дг дг , г ) г' дг (9. 19) — — сЬ+ ф '"( 1 ~ г(з~, (9.20) ог, оь Формула (9.20) носит название формулы Пуассона.
В общем случае неоднородного уравнения формула, выражающая 1О' 291 Рассмотрим сначала случай однородного уравнения коле- баний. Полагая в формуле Кирхгофа (9.18) !=в О, получим формулу, выражающую решение задачи Коши для однородно- го уравнения колебаний в пространстве: и(Мо го) = у ~ — — (гф)+ — оР~ го о(го= 1 г Г 1 д 1 4п ~ г' дг аг г=ооо хо!~ = — ~ ~ — (гф)+ — гф~ Йа, где П вЂ единичн сфера. Очевидно, д д ! д — (гф) ) „=,г, г(оо = — ! (гф)1, .,г, г(го =- — — ! (гф) (,=,г, сЬ, дг ' дг ) ' а дго и о откуда для решения задачи Коши для уравнения колебаний окон- чательно получим 1 ! д 1' "' "'= — ! 3(" = "+1 =""")= 4па ! дГо 3 решение задачи (9.1), (9.2) в явном аналитическом виде через входные данные задачи, имеет вид (нулевой индекс у г и М опущен) и(М, г)= — ~ — ~ ~ ~ да+ ~ ~ 5Ь~+ 205 205 1(Е, — ') 4па',) кмо к а! Сделаем ряд замечаний. 3 а м е ч а н и е 1.
Из формулы (9.21) следует теорема единственности решения задачи (9.!), (9.2) аналогично тому, как в одномерном случае единственность решения следует из формулы (7.24). 3 а меч а ние 2. Из формулы (9.21) следует устойчивость решения задачи (9.1), (9.2) по входным данным: малому изменению функций 59, 5р и 1 отвечают малые изменения решения и(М, 1). При этом возмущения входных данных можно задавать в норме 7.5, а возмущение решения оценивать в равномерной норме.
3 а м е ч а н и е 3. Существование классического решения задачи (9.1), (9.2) можно доказать, непосредственно проверив, что при достаточных условиях гладкости входных данных функция (9.21) удовлетворяет всем условиям задачи. При этом достаточно потребовать, чтобы функция 5р(М) была трижды непрерывно дифференцируемой, а функции 5р(М), 1(М, г) были дважды непрерывно дифференцируемы в своих областях определения. (9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
