Свешников, Боголюбов, Кравцов. Лекции по математической физике (1125176), страница 44
Текст из файла (страница 44)
7.4). В области 1 выполнены неравенства х+а!)х — а!>хе+а. Поэтому согласно формуле (7.!6) подынтегральная функция в интеграле (7.!7) равна нулю и и,(х, !) =О. В области П выполнены неравенства хе — е<х — а!<хе+а< <х-'а1, и согласно формулам (7.16) и (7.1?) будем иметь к*-~-а и, (х, !) = — а! (г) е(г = — ' (х, + е — (х — а~)), 2а 2а к-а! 2тз т. е. правую бегущую волну, профиль которой при фиксированном е е е ) !а = — линейно изменяется от — фе до О при х, — е < х— а а — а!<ха+в. В области 11! выполнены неравенства х — а!<ха — в<ха-ге< <х+а(, откуда ««+« и,(х, ()= ~ ф(г)е(г — - — ф,. (7.18) а «,— е Тем самым в области !11 смещение точек струны не зависит ни от х, ни от г. В области 1Ъ' имеем неравенства х — а!<х,— е <х+а1< х,+е и «+а! и,(х, !) = ~ ф(г) е(г= — '(х+а! — (х,— е)), 2а «,— « т.
е. в области 1Ъ' существует левая бегущая волна. В области Ъ' выполнены неравенства х — а!<х+а!<хе — е, поэтому согласно (7.16) подынтегральная функция в интеграле (7.17) равна нулю и и,(х, 1) =О. Наконец, в области Ъ'1 имеем неравенства хе — е<х — а!< <х+а!<ха+а, откуда ««-а! и, (х, ~) == — ~ ф (г) е(г = рфа. 1 2а — с Таким образом, смещение всех точек х струны, попавших в эту область, линейно растет во времени, достигая в точке ха в мое мент времени !а = — (точка Ма(хо, (о) фазовой плоскости а принадлежит областям 11, 111, !Ъ«и Ъ'1 одновременно) значения — т. е. значения постоянного смещения точек струны в а области 111 фазовой плоскости.
Отметим, что эффект постоянного смещения точек струны в области 1!1 фазовой плоскости при локальном возбуждении начальной скоростью очевиден, поскольку пределы интегрирования в формуле (7.18) не зависят ни от х, ни от б Если начальная «,-~-е ф(г)«(г=О, то эффекта последействия нет, в противном «,-е случае точки струны получают постоянное смещение, расплывающееся по струне в обе стороны со скоростью а вдоль характеристик х — а!=ха — е и Х+а1=хо+е. Замечание.
В рассмбтренных примерах начальные данные не удовлетворяют условиям гладкости, которые были сформулированы в теореме существования классического ре- 27Е шения задачи Коши. Однако в силу доказанной выше теоремы устойчивости проведенное рассмотрение вполне правомерно, поскольку оно дает качественную картину поведения классического решения с гладкими начальными условиями, сколь угодно точно аппроксимирующими рассмотренные разрывные начальные функции в формуле Даламбера (см.
замечание к и. 3). б. Колебания струны под действием мгновенного сосредоточенного импульса Предположим, что в начальный момент 1=0 точкам однородной струны х~[хо — е, хо+а] сообщают постоянную скорость фо, например, ударяя по струне молоточком. Тем самым к этому участку струны прикладывается импульс 1„равный измерению количества движения при 1=0: 1о=2арфо, где р — постоянная линейная плотность струны. Таким образом, нужно решить задачу о колебаниях бесконечной струны с нулевым начальным отклонением ч~(х)= — 0 и начальной скоростью, равной постоянной фо=1о!2ер на интервале (хо — е, хо+в) и нулю вне этого интервала. Решение этой задачи проанализировано в примере 2 п. 4, Если теперь совершить предельный переход прн е- О, увеличивая одновременно начальную скорость фо так, чтобы суммарный начальный импульс 1м сообщенный струне, оставался постоянным, то в пределе из шести областей верхней полуплоскости остаются только три: первая, третья и пятая (рнс.
7.5). При этом в областях 1 и Ч решение Рис. 7.5 Рис 7.6 равно нулю, а в области П! равно предельному значению при е- 0 решения примера 2 п. 4: и (х, 1) = 1 [гп и, (х, 1) = —" о-~о * 2ар Можно условно говорить, что эти отклонения вызываются мгновенным точечным импульсом 1о. Рассмотрим на фазовой плоскости две характеристики, проходящие через точку М(хо, 1о) (рис. 7.б): 277 х — а1 = х, — а1„х+ а1 = х, + а1,. к-( 'а(( — к( и, (х, 1) = — ~ 1 (с, т) (($ аа а — аи — к'( и нулю при 1(т. Если внешняя сила, распределенная непрерывно в пространстве и во времени, начинает действовать в момент времени 1=0, причем начальные смещения и скорости точек струны нулевые, то в силу принципа суперпознцни отклонение равно ( к+а(( — О и(х, 1) = ~ ~ /(а, т)((эат.
(7. 19) а к — а(( — к( Отметим, что нз формулы (7.!9) следует, что отклонение точек струны под действием распределенной с плотностью /(х, 1) силы определяется лишь значениями функции /(х, 1) внутри нижнего характеристического угла точки (х, 1) на фазовой плоскости и не зависит от распределения этой силы вне данного характеристического угла. В этом проявляется эффект конечной скорости распространения внешних воздействий на точки струны. Формула (7.19) получена на физическом уровне строгости. Получим теперь строго математически более общую формулу, из которой будет следовать формула (7.19). 278 Эти характеристики определяют два угла а( и ам называемых соответственно верхним и нижним характеристическими углами точки М(х„1,).
Действие мгновенного точечного импульса /а=р в точке М(ха, 1ю) вызывает отклонение, равное и,(х, 1) = =1/2а внутри верхнего характеристического угла точки М (х((, 1о) и нулю вне его. Эту функцию и(((х, 1) естественно называть функцией мгновенного сосредоточенного импульса, приложенного к точке ха струны в момент времени 10. С другой стороны, из этих рассуждений следует, что отклонение в произвольной точке х струны в момент времени 1, вызываемое мгновенным импульсом /„в точке ха в момент времени 1м зависит от того, находится ли точка фазовой плоскости М (х, 1) внутри верхнего характеристического угла точки М (х,, 1(() или нет. Если точка М(х, 1) расположена внутри верхнего характеристического угла точки М (х,, 1,), то и(х, 1) = =1о/2ар, если нет, то и(х, 1) — = О. Предположим теперь, что в момент времени 1=т струне сообщается распределенный импульс с плотностью распределения р/(х, т).
Отклонение, вызываемое таким импульсом, на основании принципа суперпозиции равно прн 1)т — ~(х, 1) с(хй. (7.21) 1 2а алвм Применим к интегралам в левой части формулы Грина (7.20): в и„г)хг11 = — ') и,т)х— д лвм л Рнс. 7.7 — ( и,н1х — ~ и,с(х, в м (7.22) в л и„„т(хву= '1 и„т11 + 1 и„г)1 + 1 и,Ж. л лвм л в м Поскольку на отрезке 4В й =О, а на отрезках характеристик ВМ и МА имеют место соотношения с(х= — ай и с1х=ас(1 из формул (7.22) имеем в м (ии — а'и„„) с1хЖ = — ~с и,йх + а '1 (и,т(7+ и„г(х)— д лвм л в ч Смн Ил ь он В. А. Поз н н к Э. Г. Основы математического анализа.
Ч. 2. М: Наука, 1980. Напомним известные из курса математического анализа формулы Грина* >, которые сформулируем в удобном для нас виде. Пусть функция Е(х, 1) непрерывно дифференцируема в области 0 и непрерывна в области ьт:г" (х, 1)енСи>(17)ДС(тз), где гт=Р()à — двумерная область с границей Г в плоскости (х, 1). Тогда имеют место следующие формулы: е(хс(1 = — ~ г" (х, 1)т(х. (7.20) д1 в г '"" 0 (х(1= 1 Р(х, 1) (1, дх в г где контур Г проходится в положительном направлении (чтобы область 77 находилась слева от направления движения).
Предположим, что классическое решение задачи (7.1), (7,2) для неоднородного уравнения колебаний с неоднородными начальными условиями существует. Возьмем на фазовой плоскости точку М и построим характеристический треугольник АВМ (рис. 7.7). Проинтегрируем уравнение (7.!) колебаний по этому треугольнику, предварительно умножив его на 1/2а. В результате получим — (и„— а'и„„) с(ха =- ни длвм — а ') (и)й! + и„дх) = — ~ и)с(х+ а(и (М) — и (В) — и (А) + и (М) ), .и Л (7.23) Из (7.21) и (7.23) следует формула в и (М) = и(А) +и (В) ) !"- 1 + — ~ и,йх+ — ~ 7'(х, г) с(хг(Р. 2 2а,~ 2а л а лвм Учитывая, что точки М, А, В имеют соответственно координаты (х, г), (х — а(, 0), (я+а!, 0), и используя начальные условия (7.2), окончательно получаем формулу для решения задачи (7.1), (7.2); и (х, !)= хр (х — а!) + хр (х + а!) + 2 х-а! ! х+а)! — х) + — ~ ))) Я) Н$-,'- ~ ~ ~(6, т) г$Нт.
(7.24) х — а! о х-а)! — х) Заметим, что формула (7.24) представляет решение задачи (7.1), (7.2) в виде суммы решения двух задач. Если положить в (7.24) )" (х, г) =— О, то формула (7.24) дает решение задачи для однородного уравнения колебаний и неоднородных начальных условий и совпадает с полученной в и. 2 ~ 7 формулой Даламбера (7.10). При ор(х) =— 0 и )р(х) =0 формула (7.24) представляет решение задачи для неоднородного уравнения колебаний с однородными начальными условиями.
В этом случае она совпадает с формулой (7.19), полученной из физических соображений. 6. Существование и единственность решения Рассмотрим начально-краевую задачу для неоднородного уравнения колебаний с однородными начальнымн условиями на бесконечной прямой: ивахи'и„х+7(х, г), (х, !) еи(г= — К) Х (О, оь), (7.25) и (х, 0) = О, и, (х, 0) =- О, х ен й) . )7.26) Решение задачи (7.25), (7.26) представляется форму,той (7.24), в которой нужно положить гр(х) = — О, хр(х) = — 0: ! х-)-а ! )-х) и(х, 1)= — ( ~ ТЯ, т)<Цйт.
(7.27) 2а,) о х — а)! — !) Теорем а 7.6. Пусть функция )'(х, !) непрерывно дифференцируема в области й: ) (х, !)в=СО)(ь)). Тогда классическое решение задачи (7.25), (7.2б) существует, единственно и определяег ся формулой ('7.27). 2БВ Д о к а з а т е л ь с т в о. Дифференцируя интеграл в правой части формулы (7.27) по х и по 1, получим ! и,(х, !) = — ~ () (х+а(! — т), т) — 7(х — а(! — т), т)) дт, 1 2а О и„,= — ~ (7'(к+а(! — т), т) — /'(х — а (1 — т), т)) дт, ! Г 2а а к+а(! — с) ! к с-а(! — 'с) и,= — ~ ~ ~ф, т)сф1 -~- — ' ~ — ~ ~ 7Д, т)дй~ дт=- к — О(! — с) О к — а(! — с) .! !' = — ') (а1(х+а(1 — т), т)+а7(х — а(! — т), т))дт, (7.28) 2а а О ии — — — ()(х, 1)+7(х, 1))+ + — С(7'(х+а(1 — т), т) — 7'(х — а(à — т), т))йт, 2,) О ' причем штрих обозначает производную функции 1(х, 1) по первому аргументу.
Подставляя формулы (7.28) в уравнение (7.25) и начальные условия (7.26), получим, что функция и(х, 1), определяемая формулой (7.27), где функция !(х, 1) удовлетворяет сформулированным в теореме условиям, является классическим решением задачи (7.25), (7.26). Из представления решения формулой (7.27) следует и его единственность. ° й 8. ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОЛУОГРАНИЧЕННОЙ ПРЯМОЙ !. Задачи для однородного уравнения с однородными граничными условиями первого и второго рода Рассмотрим применение формулы Даламбера к решению задачи ча полуограннченной прямой в случае граничных условий первого и второго рода. Докажем следующую лемму. Л е м ма 7.!. Если в задаче Коши (7.З), (7.4) начальные функции (р(х) и (!)(х) нечетны, то функция и(х, 1), представимая формулой Даламбера (7.10), обращается в нуль при х=О; если же функции (р(х) и (р(х) четны, то производнач по х от функции и(х, !) обращается в нуль при х=О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
