Свешников, Боголюбов, Кравцов. Лекции по математической физике (1125176), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Большое значение имеет исследование особых режимов сжатия в задачах, связанных с лазерным термоядерным синтезом. 2зз Глава УП УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА' Целью настоящей главы является рассмотрение свойств и методов решения начально-краевых задач для уравнения колебаний р (М) ив — б1 ч (/г (М) Ига б и) + д (М) и — - ! (М, 1) . Это уравнение мы будем рассматривать как с постоянными, так и с переменными коэффициентами, в ограниченной области и в неограниченном пространстве.
Причем рассмотрение будет одновременно проводиться для случая как одной, так и многих пространственных переменных. Мы начнем с рассмотрения обоснования постановки начально-краевой задачи для уравнения колебаний в ограниченной области. 5 Ь ПОСТАНОВКА НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ В ОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ (1.3) где !а!+ (р!~0. Определение классического решения задачи (1,1) — (!.3) было дано в гл.
П1. Напомним его. 253- Пусть задана ограниченная область 0 с кусоч- но-гладкой границей 5, допускающей применение формул Гри- на. Начально-краевая задача для уравнения колебаний в обла- сти О заключается в определении в цилиндре О,=ох[0, Тт1 функции и(М,1), удовлетворяющей уравнению колебаний, на- чальным и граничному условиям: рии = 012 (в дгаб и) — Чи+ 1, (М, 1) ~ Я (1.1) и(М, 0) =1Р(М), и,(М, 0)=ф(М), М ~ 1), а(Р) — +р(Р)и=И(Р, 1), Ре5, !е[0, со), (!.3) дл 0 п р е д ел е ни е.
Классическим решением начально-краевой задачи (1.1) — (1.3) называется функция и(М, г), непрерывная вместе с первыми производными в замкнутом цилиндре гд, имеющая непрерывные производные второго порядка в открытом цилиндре Я, удовлетворяющая в Я уравнению (1.1), начальным условиям (1.2) и граничному условию (1.3). Если граничное условие (1.3) есть условие Дирихле (а=О), то непрерывность первых производных по М в замкнутой области Д не требуется. Заметим, что для существования классического решения необходимо (но недостаточно) выполнение условия согласования .начального и граничного условий следующего вида: сс +Рьр)еез =р (Р, 0)! еез, а — +нет!еез =р, (Р, 0)(раз.
д<р д~Р ди дь Будем предполагать, что к(М)>0, р(М)>0, о(М)>0, Мев0 и и (Р) > О, р (Р) > О, Р ее 5, причем а+ () > О. В силу линейности начально-краевой задачи (1.1) — (1.3) можно провести ее редукцию и представить решение и(М,() в виде суммы решений трех задач (см.
гл. П1): и(М, г) =-и,(М, 1)+и,(М, 1)+иа(М, Г), .где и,(М, г) — решение начально-краевой задачи для однородного уравнения колебаний с неоднородными начальными и однородными граничными условиями, и,(М, г) — решение начально-краевой задачи для неоднородного уравнения колебаний с однородными начальными и граничными условиями, из(М,1)— решение начально-краевой задачи для однородного уравнения колебаний с однородными начальнымн и неоднородными граничными условиями. Причем с помощью методов, изложенных в гл. П1, третья задача может быть сведена к первым двум.
Поэтому в этой главе мы сосредоточим внимание на построении и изучении решений первых двух задач. й 2. ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ Докажем следующую теорему. Т е о р е м а 7.1. Задача (1 1) — (1.3) может иметь только одно классическое решение. Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что задача (1.1)— (1.3) имеет два классических решения: и,(М, 1) и из(М, 1). Рассмотрим их разность: в(М, 1)=и,(М, 1) — и,(М, Г). В силу линейности задачи (1.1) — (!.3) функция о(М, Г) является классическим решением следующей однородной начально- краевой задачи: (2.1) рон = (.о, (М, !) ~ Я, о(М, 0)=о,(М, 0)=0, М ен0, (2.2) а — +ро1з — — О, Ге=(0, оо), дл (2.3).
где Ео =Йч(й игай о) — 4о. Используя функцию о(М, г), построим интеграл Е (~) = — ~ (воз+ й (хуо)'+ 4о') Л'. и (2.4) Функция Е(г) неотрицательна: Е(() )О и в силу начальных условий (2.2) — ! Е (Л + — ~ ало' ~Ь ) = О. й 1 2 т Следовательно, Е (Г) + — Х ййо' сЬ = сопз(. 2 Т (2,9) 2зв Е(0) =О. (2.5) Покажем, что интеграл Е(г) не изменяется во времени. Для этого вычислим его производную (дифференцирование по г под знаком интеграла в (2.4) возможно) — =~(Ро,он+А ~7 о хуо,+дооДЛ'. дЕ (2.6) о Согласно первой формуле Грина (см.
(2.2), з 2 гл. 1П) (й ~7 о сто, -1- 4оо,) (Л ' = ф яо, — сЬ вЂ” ~ о, Ео сЛ1. (2.7) дл дл о 5 О Подставляя (2.7) в (2.6) и учитывая уравнение (2.1), получаем — =( о,(реп — Ео)~Л~+~6йо,— '"' Из=~6/и, ' Нь. (2.8), 3 дл Т' дл о 3 5 Для первой краевой задачи (а=О, 8=1) и для второй краевой дЕ задачи (а=1, (1=0) в силу (2,3) из (2.8) находим — (Г) =О.
Следовательно, Е Я =сопз1. Согласно (2.5) сопз1=0. Поэтому Е(Г) =0 при всех ()О. Для третьей краевой задачи (а=1, 8= =й(р) ~0) согласно (2.3) и (2.8) получаем дл " 1 у ййоо„Ь=. ~~ ййо ~Ь. дх 2 Ж 5 3 Из (2.5) и (2.2) следует, что сопз1=0.
Поэтому при всех ! ЕЯ+ — 41йд 'й — = О. 2,т Так как ЕЯ >О, й>0, й>0, отсюда вытекает, что ЕЯ =0 при всех д Итак, для всех трех краевых задач ЕЯ=О, Учитывая выражение (2.4) для Е(1), получаем о, = О, с7о ю О, (М, 1) ее Я .
Следовательно, о(М, 1) =сонэ(. В силу (2.2) сопз1=0, т. е. о(М,1)= — 0 в Я . Таким образом, задача (2.1) — (2.3) имеет только тривиальное решение, а решение задачи (1.1) — (!.3) единственно. ° Замечания. 1) Доказательство теоремы единственности не зависит от размерности пространственной области 11. 2) Используемый яри доказательстве теоремы 7.1 интеграл Е(1) имеет физический смысл полной (кинетической и потенциальной) энергии колебаний системы. Второе слагаемое в левой части формулы (2,9) в случае граничных условий третьего рода имеет физический смысл энергии упругого закрепления. $ 3. УСТОИЧИВОСТЬ РЕШЕНИЯ С помощью интеграла энергии ЕЯ, введенного в предыдущем параграфе, можно доказать устойчивость в пространстве Ез(Т1) классического решения начально-краевой задачи (1.1) — (1.3) по правой части уравнения и начальным условиям.
Напомним, что, как было показано в гл. 111 при рассмотрении общей схемы метода разделения переменных, задача с неоднородными граничными условиями всегда может быть сведена к задаче с однородными граничными условиями. Мы проведем доказательство теоремы устойчивости для одномерной начально-краевой задачи на отрезке: и„= а2и„„+1 (х, 1), 0 < х < Е 0 < ! ( Т, (3.1) и (х, О) = ф (х), и ~ (х, О) = ф (х), 0 ( х ( 1, (3.2) и (О, 1) = и (1, 1) = О, 0 < ! ( Т, (3.3) где аэ — постоянный коэффициент.
Напомним, что, когда задача (3.1), (3.2) является математической моделью задачи о продольных колебаниях упругого стержня, а'=А,(р, где р — линейная плотность стержня, Й, — коэффициент упругости. Т ео р е м а 7.2, Решение задачи (3.1) — (З.З) устойчиво в пространстве Еэ ло правой части и начальным данным. 266 Д о к а з а т е л ь с т в о. Составим функцию (интеграл энер- гии) ! ,тз (,') = — ~ (и,'+ а'и;') т(х. (3.4) Для интеграла (3.4) выполнены условия дифференцируемости по параметру. Продифференцировав по параметру 1, получим 24747' = ~ (и!им+ ааи,и„!) с1х, (3.5) о С другой стороны, из формулы (3.4) вытекает, что Ци,Ц (')Г2 оУ(1).
Из неравенств (3.6) н (3.7) следует неравенство !У (1И( У2- П1П интегрируя которое по т, получим е" (1) ( о7 (О) —, ~ Цф с(т. (3.7) (3.8) (3.9) Формулы (3.7) и (3.9) дают Пи!11 ( (72 47 (0) + ') Ц7Ц дт. о (3.10) ' См, Ильин В. А, Пози як Э Г. Основы математического анализа Ч. !. М: Йаука, !982. 9 зак зо! 287 где штрих означает производную по 1. Второй интеграл в правой части формулы (3.5) цроинтегрируем по частям, учитывая, что в силу граничных условий (3.3) подстановки обратятся в нуль.
В результате, учитывая уравнение (3.1), будем' иметь 24747' = ~ и,(иа — аи„) !(х= ~ из7(х, 1) с1х о о и, используя неравенство Кожи — Буняковского' >, получим 2оУ (о7') ( ЦизП Ц1П, (3.6) где норма в пространстве !.з(0, 1) определяется следующим образом: ! 'Ци(1)Ц'=— ЦиЦ'= ) и'(х, 1)з(х, 1) О. о Продифференцируем по Г квадрат нормы функции и(х, г): ЦиЦ'= ~ ио(х, Г)41х о и применим неравенство Коши — Буняковского ЦиЦ вЂ” ЦиЦ = ( ии,с(х( ЦиЦ ' ЦисЦ. сгс о Отсюда в силу неравенства (3.!0) получим неравенство — Ц и Ц ( Ц исЦ ( )сс2 О7 (0) + ~ Ц] Ц с(т, О которое после интегрирования от 0 до с примет вид Ци([)Ц ~ (Ци(0)Ц-1-)/ " ОТ (О) Г+ ~ ~ Ц)'(т)Ц г(тс(В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
