Свешников, Боголюбов, Кравцов. Лекции по математической физике (1125176), страница 39
Текст из файла (страница 39)
5) и, =(и'и„).. Уравнение (13.5) имеет частные решения специального вида, так называемые точные автомодельиые решения, выражающиеся через функцию ОД) одного аргумента, который в свою очередь является определенной комбинацией независимых переменных х и й Чтобы получить такое решение уравнения (!3.5), будем искать и(х, !) в виде и (х, !) =- —,, б ($), где Непосредственной подстановкой легко убедиться, что функция и(х, Г) данного вида удовлетворяет уравнению (13.5), если функция 0Д) является решением обыкновенного дифференциального уравнения где 4р(в), в свою очередь, — решение обыкновенного дифференциального уравнения 2Ф(8)+Ф($) =О Одно из полученных таким путем частных автомодельных решений уравнения (13.5) — решение Зельдовича — Компанейца — Баренблатта — имеет следующий вид: (13.6) 248 где т)„=2 — ' и [г!+=шах(0, з), физический смысл постоянной Е, будет ясен из дальнейшего.
Функция ил(х, !) для различных моментов времени изображена на рис. 6.2, За счет механизма нелинейной теплопроводности происходит быстрое растекание локального начального возмущения с максимальной температурой в точке х=О. В начальный момент времени !=О температура в точке х=О бесконечно велика, но в остальных точках бесконечной пря- 1 мой она равна нулю: из(х, 0) =0 при хФО. В точке х=О с течением времени '1 температура уменьшается по закону и (О, !)= — —, и в пределе при Чо 4 ' 41!4 )ув 0 х 1- +со происходит выравнивание темпе- Рис. 6.2 ратуры по всей бесконечной прямой Й1. Решение (13.6) называется решением типа мгновенного точечного источника, поскольку функция и„(х, !) физически означает температуру точки х бесконечной прямой 441 в момент времени (, если возбуждение осуществлялось мгновенным точечным источником мощности Ем действовавшим в точке х=О в момент времени (=О.
Таким образом, функция из(х, !) является аналогом фундаментального решения уравнения теплопроводности, введенного в 3 7. Однако решение (13.6) существенно отличается от фундаментального решения (7.16). Функция из(х, !) в каждый момент времени !>О является финитной, т. е, решение строго положительно на конечном интервале х ен ( — т)41'~", 4)4Г ! ). Тем самым уравнение (13.5) описывает тепловые волны — тепловые процессы с конечной скоростью распространения возмущений. При этом х — т)4! есть координата правого фронта тепловой волны, а 1/4 х= — — 4)4! — координата левого фронта. Это принципиальное 144 отличие механизма нелинейной теплопроводности, описываемого уравнением (13,5), от линейного механизма передачи тепла, описываемого уравнением (7.7).
Отметим, что это свойство имеет место и при наличии в среде источников тепла вида и', (1>1. Пусть теперь в среде имеется источник тепловой энергии, соответствующий 6=3: (13.7) и, =- (и'и„)„+ и' Если искать автомодельное решение (13.7) в виде и = 0 (х), ~/т, — 1 949 откуда соответствующее автомодельное решение уравнения (13.7) получим в виде — соз ~ — ~, (х(( — ', 1 2 ~1.,~ ! Уз !ях ~ т.. а ил(х, !) = У7а — ! 1 О, )х(~ 2 (13.8) где Т,) Π— время существования решения, (.,=лТЗ вЂ” длина носителя решения в любой момент времени.
В отличие от решения Зельдовича — Компанейца — Баренблатта уравнения (13.5) решение (13,8) уравнения (13.7) локализовано в области 75 15 ыс=( — =, — ), вне которой температура остается равной 2 ' 2 )' нулю. Тепловые фронты структуры (13.8) неподвижны в тече! ние всего времени ее существования: х = — 7.,— координата 2 1 правого фронта тепловой волны, х= — — Е,— координата ле- 2 вого фронта.
При этом во всех точках интервала ыс температура неограниченно возрастает по мере приближения ! к моменту 1=Т,. В центре структуры х=О температура растет по за- кону ил (О !) = ~7 «+ сО при ! «Т!!. 3 2 (То — !) Такие тепловые структуры называются режимами с обострением, а соответствующие решения уравнения (13.7) илн более общего уравнения (13.2) называются неограниченными решениями. Тепловая структура (13.8) называется локализованным 5- режимом с обострением и представляет собой стоячую температурную волну. Рассмотрим теперь уравнение (13.2) при 8=2: и! = (и'и,), + и'.
(13.9) Фиксируем время существования Т, тепловой структуры и рас- смотрим выражение ил(х, Г)= 0($), Ц= !!хД/Т,— 1, (13.10) где ОД) )Π— неизвестная функция. Подставив (13.10) в уравнение (13.9), получим, что иА(х, !) является решением нелиней- 250 то для функции 0 (х) получим обыкновенное дифференциальное уравнение 0 (х) 0" (х) + 2 [О' (х) ]'+ 0' (х) = —, 2 ' ного параболического уравнения (13.9), если функция 0(~) решение обыкновенного дифференциального уравнения е( в )'+ — 'е — в+в =о. 2 Это решение представляет собой функцию, строго положительную на интервале ( — 5о, ~о) и равную нулю вне его.
Конкретный вид функции 0(С) и величину $„определяющую положение фронтов соответствующей тепловой структуры, можно найти численно. Из формулы (!3.10) вытекают следующие свойства изучаемой тепловой структуры. Во-первых, эта структура развивается в режиме с обострением. Значение максимальной температуры в центре х=О структуры неограниченно возрастает по закону и (О, 1)= 0(О)-о--)-оо при т- Т,. 1 В-третьих, из последней формулы следует, что фронты тепловой структуры движутся со все увеличивающейся скоростью, в пределе, в момент обострения !=То, тепловая структура охватывает всю прямую Й', нагревая ее всюду до бесконечной температуры.
Такой процесс горения, описываемый уравнением (13.9), называется Н5-режимом. И наконец, рассмотрим уравнение (13.2) при р=4: и, = (и'и„)„+ и'. (13.1!) В этом уравнении мощность источника энерговыделения Я(и)= ио при больших температурах выше, чем в Я-режиме Я(и)= =ио) и тем более НЯ-режиме (Я(и)=и'). Поэтому возникающие тепловые структуры должны быть локализованными, причем локализация должна проявляться более сильно, чем в Я- режиме горения с обострением.
Уравнение (!3.1!)) допускает решение следующего вида: ид (х, !) = — 0 $), ',/то — о где Т,>0 — время обострения решения. Подставив (13.12) в уравнение (13.11), получим уравнение для функции 0Д) >О: Во-вторых, в любой момент времени тепловая структура имеет конечные фронты в точках х (!), которые определяются из равенства !хт(1) ф Т,— ! =Ь . Следовательно, правый и левый фронты движутся по законам х+ (!) оо х (Г) со То — о 70 — о (0~0')' — — ~0' — 0-1- 04 = О.
в 3 В отличие от случая Н5-режима функция 0($) строго положительна всюду, причем при больших значениях )в) она имеет следующую асимптотику: 0$) С вЂ”, (Ц вЂ” ~оо, БР' где Сд — постоянная, которую можно найти численно. Из формулы (13.12) следует, что в отличие от 5-режима решение (13.12) не может описывать локализацию процесса горения в строгом смысле. Локализация понимается в эффективном смысле. Решение растет со временем во всех точках, но неограниченный рост температуры в режиме с обострением имеет место только в одной точке х=О. Развитие тепловой структуры приводит к тому, что температура прямой К' остается ограниченной во всех точках, за исключением точки х=О.
Температура ограничена сверху некоторым предельным распределением, которое получается из (13.12) после предельного перехода — т; Сл ил(х, 1)(ил(х, Т„)= —. ~хР Процесс горения, описываемый уравнением (13.11), называется 15-режимом. В энергетическом смысле этот режим определяет еще более сильную локализацию тепла, чем в случае 5- режима. В 5-режиме температура неограниченно растет на интервале длины (.,=п у'3, а в случае 1.5-режима — только в одной точке, и выделившаяся на развитой стадии горения тепловая энергия практически вся локализуется во все сужающейся со временем окрестности точки максимума температуры. Итак, при различных показателях интенсивности горения развивающиеся в режиме обострения тепловые структуры принимают формы 5-, Н5- и Е5-режимов, обладающие разными свойствами.
Исследование нелинейных математических моделей эволюции диссипативных процессов в сплошных средах позволяет сделать вывод, что на развитой стадии более сложных существенно нестационарных процессов, как правило, обнаруживаются черты, свойственные одному из этих режимов. Если задача допускает неограниченное решение, то она называется глобально (по времени) неразрешимой. Исследования пространственно-временной структуры неограниченных решений вблизи момента обострения связаны с широким использованием в практике физических экспериментов разнообразных эффектов, порождаемых сверхбыстрыми процессами, например эффекта самофокусировки световых пучков в нелинейных средах, коллапса ленгмюровских волн в плазме и др.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
