Свешников, Боголюбов, Кравцов. Лекции по математической физике (1125176), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Будем называть ее формулой Грина для уравнения теплопроводности. Покажем, что, используя (12,5), можно, аналогично тому как это сделано для уравнения Лапласа, ввести функцию Грина для уравнения теплопроводности и получить интегральное представление решения начально-краевой задачи. Пусть о(б,т) — решение однородного уравнения — =аоки, М~В, т(Г, дт (12.5) удовлетворяющее условию и1,=!=О. 242 +Я(6,~ — 5(М, б) 5(à —.)) ()«(.. (12.3) о о Используя вторую формулу Грина, свойства 5-функции и учитывая, что 6, = 0 при т ) !, из (! 2.3) получаем ди +и дбе ~ )!,(т=ао~ф(6 до и доо ~ ( 1, + о о н 3 Заметим, что функция о при этом будет зависеть только от разности 1 — т: п=п(Я, 1 — т), н, следовательно, по переменной 1 она удовлетворяет уравнению теплопроводности — "=а'Ло, ЯяР, 1)т д~ 0 = ~ и (Я, Г) и (6, 0) ~Л/о — , 'ао ~ ~ ~ и —" — и — 1 о(з дт+ дл дл о о з +К ~(У (. (12.
7). о и Складывая (12.5) и (12.7) и вводя обозначение 6(М, Я, à — т)=6 (М, Я, 1 — т)+и, получим соотношение и(М, Г)=~6(М, 6, 1)и(6, 0)о(1~+ о +по~1~1 (6(М, Я, 1 — т) — — и — 6(М, 1~, г — т)~ оЬо(т-(- дл дл о з +556(М (12.8) о о Из формулы (12.8) можно получить интегральные представления решений начально-краевых задач. Для этого функцию и выберем так, чтобы функция 6 удовлетворяла нулевому граничному условию а — +р6)з=О, (а1+ 1(3)чьО. до дл Тогда для решения начально-краевой задачи с граничным условием Дирихле (а=О, р=1) получаем формулу и (М, 1) = ~ 6 (М, 6, г) и ф, 0) о(У— — ао~ ~) и (Р, т) — (М, Р, à — т)огэст+ д6 дл, о з 243 н условию п(~=,=0. Умножим (12.6) на иЯ, т), (12.2) на пЯ,т), вычтем одно.
из другого, проинтегрируем по области Р и по т от 0 до оо и проведем преобразования, аналогичные только что сделанным. Тогда получим +~~6(М, 6, 1 — т))(Я, т)Л'йт. (12. 10) Для решения начально-краевой задачи с граничным условием третьего рода (а=1, р=Ь(Р)) и (М, 1) = ~ 6 (М, Я, 1) и Я, 0) ~('г'+ о +а4~$ 6(М, Р, 1 — т) 1 +Ли~ бздят+ 1 дл 5 (12.11) Функция Грина 6(М, Я,1 — т) для всех трех граничных условий определяется единообразно. Определение. Функция 6(М, Я, 1 — т) называется функцией Грина уравнения теплопроводности, если она удовлетворяет условиям: 2 1) 6(М, 6, 1 — т)=,е "'*" ' +о, (2а ')/Π— т) и) где о удовлетворяет однородному уравнению о,=а'Ло и нулевому начальному условию о~~=,= 0; 2) и — + р6 ( з = О, ( а ) + (р (ча О. Функция Грина определена при 1)т, при 1(т она доопределяется нулем.
Заметим, что при таком подходе функция 6(М, Я, 1 — т) вводится и определяется аналогично тому, как это сделано для уравнения Лапласа. Отметим также, что функция 6 является решением следующей начально-краевой задачи: 244 +~~6(М Ю 1 — т))Ю т)дат(т. (12.9) о о .Для решения начально-краевой задачи с граничным условием Неймана (а=1, р=О) 2 .и(М, 1)=~6(М, Я, 1)и(Я, 0)с(г'+а'~$6(М, Р, 1 — т) —" дзот+ дл В 5 — =аоикб+6(М Я)6(1 — т) д~ а — (М, Р, 1 — т)+рб(раз=О, ! а~+ )Р!ФО, дп дор 6 (М, Я, 1 — т) ( ~ ~, = О. Отсюда следует, что в силу единственности решения так определенная функция Грина совпадает с функцией Грина, введенной ранее другим способом.
Отдельно выпишем выражения для решения одномерной задачи: и,=и'и„+1", 0<х(1, 1)О, иЬ о=~р(х), а,и,— (),и!„=о=р~(1) !а 1+ )()~/ныл а и„+(3 и!„=ю=ро(1), 1ао!+1До/~О. Для задачи Дирихле (а,=а,=О, ~,= — 1, ро=1): ! и (х, 1) = ~ б, (х, $, 1) <р ф Щ+ ~ ~ б, (х, $, 1 — т) 1 Я, т) оф дт— о о — ао ~ (1хо(т) ' (х, 1, 1 — т) — ро(т) — '(х, О, 1 — т)~ с(т, (12.12) д$ * д5 о где 6,(х, $, 1) — функция Грина задачи Дирихле. Для задачи Неймана ф,=ро=О, а,=а,=1): 1 и(х, 1)= ) 6,(х, $, 1) ~р($)Й$+ ~ ~ бо(х~ $, 1 — т)1%, т)~%«т+ о о о +а'')(р,(т)б,(х, 1, 1 — т) — ро(т)бо(х, О, 1 — т))с(т, (12.13) о где 6,(х, $, 1) — функция Грина задачи Неймана.
Для третьей краевой задачи (а, = а, = 1, р, = й,, ро =Ь,); и(х 1) — ~бо(хо 1)Р(ь)((о+1 ~63(хо 1 т)1(от)(ь( т+ о о о +а' ') (ро(т)6„(х. 1, 1 — т) — р,(т)6,(х, О, 1 — т))йт, (12.14) о где 6,(х, $, 1) — функция Грина третьей задачи. 245 Решения задачи для полубесконечной прямой и( = аеи„»+ 7 (х.
(), х ) О, () О, и!(=о =(р(х) а "— Ри~ =о=И((), )а!+)(31~0 дх можно получить из формул (!2.12) — (12.14), делая формальный предельный переход 1 — +по. В результате получим: а) граничное условие Дирихле (а=О, б= — 1): !» и (х, () = ~ 6( (х, $, () (р (9) и9+ ~ ~ 6, (х, $, г — т) 7 ($, т) а(9 ((т+ о о о + аа ~ (((т) — ' (х, О, ( — т) ((т, д$ о (12.15) где (х-Т)* 6,(х, $, ()= ) (е 2а Упи) б) граничное условие Неймана (с(=1, »» и(х, Г) = ) 6,(х, 9, () (р(9) с(9+ ) ') 6,(х, о о о (»-)-$)» — е "*' ); Р= О): $, ( — )1К, т) $((т— — а' () р(т) 6,(х, О, 1 — т)(Хт, о (12.
16) где (»-1)* (х-';-2)' 6,(х, $, ()= (е '"' +е '"' ). 2аР и( $13. УРАВНЕНИЕ НЕЛИНЕЙНОИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ГОРЕНИЯ *) До сих пор мы рассматривали процессы, математической моделью которых является начально-краевая задача для линейного уравнения параболического типа с линейными дополнительными условиями. Простейшим примером является одномерное уравнение теплопроводности (7.7). В этом параграфе мы кратко остановимся на математических моделях фи- 248 ') См., например: Галактионов В. А, Курдюмов С. П, Сам а рски й А.
А. Процессы в открытых диссипативных системах (графинеское исследование эволюции тепловых структур). Мл Знание, 1988. зических процессов, описываемых одномерным квазилинейным уравнением теплопроводности, содержащим источник объемного выделения тепла: д /~ди~ и, = й, — ( и' — ) + д,иа, дх 1 дх ) где йс>0, и дс>0, р>! — некоторые постоянные. Функция и(х, !) обозначает температуру сплошной среды в каждой ее точке в момент времени й Первый член в правой части уравнения (!3.1) описывает механизм нелинейной теплопроводности, причем коэффициент теплопроводности и(и) =й,и' зависит от температуры по нелинейному закону.
Второй член в правой части уравнения (13.1) описывает процесс энерговыделения. Фактически — это мощность источника тепла. Этот член описывает процесс горения сплошной среды. Интенсивность горения зависит от температуры по нелинейному закону, причем безразмерный показатель б больше единицы (сверхннтенсивное горение). Уравнение (13.!) мы будем рассматривать на бесконечной прямой !('. Для полной формулировки задачи инициирования процесса горения необходимо задать начальное тепловое возмущение.
В результате приходим к следующей задаче Коши: и,=/г,(и'и„),+д,иа, хеК', сен(0, Т1, (13.2) и (х, О) = и, (х), х ~ К'. (13.3) Отметим, что для корректной постановки задачи (13.2), (13.3) Функция и,(х) должна отвечать некоторым дополнительным требованиям. Задание с помощью функции ио(х) распределенной в пространстве специальным образом начальной тепловой энергии приводит к горению среды, причем ввиду нелинейности уравнения (13.2) интенсивность горения, а также теплоперенос в различных участках прямой протекают различным образом.
С течением времени в среде возникают меняющиеся в пространстве и во времени распределения температуры, называемые обычно тепловыми структурами. Физический процесс, описываемый уравнением, заключается в конкуренции двух нелинейных процессов. С одной стороны, наличие нелинейной теплопроводности приводит к выравниванию тепловых неоднородностей, к созданию стационарного распределения температуры. С другой стороны, в процессе горения происходит выделение тепловой энергии, что может приводить к росту температуры. Причем чем выше температура, тем выше интенсивность тепловыделения.
Но в то же время с ростом температуры увеличивается и коэффициент теплопроводности. Одним из главных результатов конкуренции нелинейных процессов теплопередачи и тепловыделения является эффект локализации процесса горения, который в данном конкретном случае выступает как проявление процесса самоорганизации 247 нелинейной диссипативной среды. Он может приводить к возникновению в среде целого набора различных структур, не взаимодействующих друг с другом.
С помощью преобразования переменных ао чо чо запишем уравнение (13.2) в безразмерном виде (черточки над х и Г опускаем): и, = (и'и„)„+ ив. (!3.4) Свойства решений уравнения (13.4) существенно различаются в случаях Д=З, ~(3 и й)3. Рассмотрим частный случай уравнения (13.4), когда в среде горения нет и тепло распространяется за счет теплопроводности: (13.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
