Свешников, Боголюбов, Кравцов. Лекции по математической физике (1125176), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Симметрия функции 6(х,й,1) по переменным х и $, представляет собой математическое отражение известного физического принципа взаимности: источник, помещенный в точке х, производит в точке К такое же действие, какое производит в точке х тот же источник, помещенный в точку ~.
Или более кратко — источник н точку наблюдения можно поменять местами. 3 а м е ч а н и е. Из вида функции 6 (х, 5, 1) следует, что температура точки бесконечной прямой, сколь угодно далеко расположенной от точки 5, где находится источник, и в моменты времени, сколь угодно близкие к начальному моменту 1=0, отлична от нуля. Это явление противоречит конечной скорости распространения тепла и носит название парадокса бесконечной теплопроводности.
Указанный парадокс связан с недостаточной полнотой феноменологической физической модели, применяемой при выводе уравнения теплопроводности. Для построения более полной математической модели следует использовать дополнительные физические соображения, учитывающие, в частности, молекулярную структуру вещества.
й 8. СУШЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 1. Теорема существования Сформулируем прежде всего обобщенный принцип суперпозиции в той форме, которая нам понадобится для доказательства теоремы существования. Л е м м а 6.2 (обобщенный принцип суперпозиции). Если функция (7(х, й я) по переменным х и 1 удовлетворяет линей- 2!7 ному дифференциальному уравнению в частных производных ЦЯ=О при любом фиксированном значении параметра а, то интеграл и (х, г) = ~ У (х, г, а) гр (а) йса также является решением уравнения Е[и'1=0, если производные, входящие в линейньсй дифференциальный оператор можно вьгчислять путем дифференцирования под знаком интеграла.
Д о к а з а т е л ь с т в о обобщенного принципа суперпозицин очевидно: Е [и1 = ~ Е [() (х, $, а) [ <р (а) йа = О. Напомним также достаточные условия вычисления производной несобственного интеграла, зависящего от параметра: Р(х)= 1 Г(х, а)~р(а)аа, путем дифференцирования по параметру под знаком интеграла *>: д) (х, а) а) частная производная ' является непрерывной дл функцией переменных х и а в области их изменения; б) функция ~р(а) кусочно-непрерывна и ограничена (или абсолютно интегрируема); в) интеграл, полученный в результате формального дифференцирования подынтегральной функции, сходится равномерно.
Докажем следующую теорему. Теорема 6.9. Если гр(х) — непрерывная и ограниченная на бесконечной прямой К' функция, то формула (7.17) определяет при (х, 1) ~Й классическое решение задачи (7.7), (7.2). Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) Докажем прежде всего существование и ограниченность функции и(х,1), представленной формулой Пуассона (7.17). Сделаем в интеграле (?.17) замену 8 — х г= 2и)г? ' Тогда, учитывая, что функция ~р(х) ограничена: ! <р (х) ~ < М, х я Й', получим )и(х, Г))(= ( (гр (х+2га4~ г) !е — '*йг(= ( е — '*йг=М, ~п ) тгя .) поскольку " Смг Ильи н В.
А, Поз н я к Э. Г. Основы математического анализа. Ч, 2, Мг Наука, 1980. 218 2) Для доказательства того, что функция и(х, 1), представимая формулой (7.17), удовлетворяет однородному уравнению теплопроводности (7.7), используем обобщенный принцип суперпозиции. Поскольку все частные производные функции 6(х, а, 1) при (х, г)~й, $~Й' непрерывны и по условию теоремы функция ~р(х) непрерывна и ограничена, то достаточно доказать, что интеграл, полученный послеформальногодифференцирования интеграла Пуассона (7.17), сходится равномерно. Проведем это исследование на примере вычисления первой производной по й Достаточно доказать равномерную сходи- масть интеграла (8.1) Поскольку дб 1 (х — ~)з д~ 2~ 4а~Р то нужно доказать равномерную сходимость интеграла ~ 0(х, $, г) ~ — — + ~ х( ) сф. (8.2) 1 — х Сделаем в интеграле (8.2) замену переменных г= .
Тог2а '~/7 да, учитывая ограниченность функции ~р(х), получим, что в области й,=й'Х(е, Т) подынтегральная функция мажорируется независящей от х и 1 функцией ( 1 4 а) — и интеграл от которой сходится. Следовательно, интеграл (8.2) сходится равномерно в области Й,. Аналогично доказывается равномерная сходимость в области й, интеграла д'б (х, ~, ~) дх~ Итак, в силу обобщенного принципа суперпозиции функция и(х,1), представленная интегралом Пуассона (7.17), удовлетворяет однородному уравнению теплопроводности (7.7) в области Й„а в силу произвольности е>0 и в области ~й.
3) Осталось доказать, что функция мыкает к граничной функции ф(х). Сделав в интеграле Пуассона (7.17) (7.17) непрерывно при- $ — х замену г =, поля УТ лучнм !пни (х, ~) =!пп= ! е — з*яз(х+2аг У Г) с(х= з о ' г-о )уп,~ — Х 1 = = р (.х) ~ е " с(г = ез (х). "у'я Следовательно, функция и(х, г) — непрерывная в области 11 и непрерывно примыкает к начальной функции ср(х). Теорема доказана. ф Замечание 1. Условия, наложенные на функцию тр(х)„ можно существенно ослабить. В частности, если функция тр(х) кусочно-непрерывная и ограниченная на бесконечной прямой с конечным числом точек разрыва, то формула (7.17) определяет решение однородного уравнения (7.7) при (х, 1)~Я, ограниченное при (х, г) ~(1 и непрерывно примыкающее к функции у(х) в точках ее непрерывности.
Такие условия, накладываемые на функцию чз(х), оказываются более широкими, чем в теореме единственности 6.8, где требуется непрерывность ф(х) на всей прямой к'. Это связано с методом доказательства теоремы единственности, основанном на принципе максимума. Имеет место и единственность решения задачи Коши для уравнения теплопроводности при более широких условиях на функцию ~р(х) *а> 3 а м е ч а н и е 2, В доказанных теоремах существования н единственности предполагалось, что функция ез(х) является ограниченной на всей прямой зх'. Это условие также можно ос- и См: Ильин В.
А, Поз н я к Э. Г. Основы математического анализа. Ч. 2. М: Наука, !980. с о Смл Михайлов В. П Лифференниальные уравнения в частвых производных. Мл Наука, 1976; Тихонов А. Н, Самарский А. А Уравнения математической физики. М: Наука, 1977. 220 и (х, т) == ( е '*~р(х+2аг р'з) с(г. )хй,) (8.3) Поскольку подынтегральная функция мажорируется функ- М цией = е '*, интеграл от которой сходится, то интеграл (8.3) сходится равномерно. Так как подынтегральная функция непрерывна, то, применяя теорему о предельном переходе под знаком интеграла *з, получим лабить.
Например, функция «р(х) может быть растущей при х-«. +оа функцией с ограниченной степенью роста: найдутся такие положительные постоянные Ь и )т', что (р(х) ! ~уео'". 2. Пример Проиллюстрируем поведение решения, представимого интегралом Пуассона (7.17), в точках разрыва начальной функции оо(х). В качестве примера рассмотрим следующую задачу: найти решение однородного уравнения теплопроводности на бесконечной прямой, если начальная температура в момент времени !=О является кусочно-постоянной функцией (О, х(0, Воспользуемся формулой Пуассона (7.17) и используем замену $ — х г= .
Тогда будем иметь 2а )/С О (х — о)* д) ц о ~е ««ч ц о«ис о ~ е ««лг о ~~е — «о(«+ ~ е — «с(( г)~ « о о 2« «' «у « «« оо т'7 ~~е-««о!г+ ~ е — «*о(г~ — о ~1+Ф ( ) ~ (8 4) о о где Ф(ое) = =~ е — "о(г 2 е — интеграл ошибок. Эта специальная функция широко используется в теории вероятностей, и для нее существуют подробные таблицы. Укажем очевидные свойства функции Ф(ш): Ф (0) = О, Ф (+ оо) = 1, Ф ( — ш) = — Ф (ое).
Из формулы (8.4) можно сделать следующие выводы. х а) Пусть х)0. Тогда при !-~0 получим, что -«+ею 2а 'РТ х и, следовательно, Ф ( ~-~1 и ~ 2а!«7) 221 (8.5) !пп и (х, с) = Т,. с-о к>0 б) Пусть х(0. Тогда -» — оо, Ф( — оо)= — 1 и 2аУС с о ! !т и (х, !) = О. (8.6) с о .<о в) Рассмотрим, наконец, одновременный переход к пределу при х — О, г-~0 вдоль кривой =а, где †во<а<. Ис2а »с С пользуя формулу (8.4), получим 1цп и (х, С) = — ' (1+ Ф (а)) 4 0 2 с о Х 2« тт и при — ссо<а<со будем иметь любое значение, заключенное в пределах от 0 до Т„поскольку 0( — (!+Ф(а)) =.Т,.
т, 2 3 а м е ч а н и е. Рассмотренный пример позволяет получить и качественное представление о поведении классического решения задачи Коши с непрерывными начальными условиями, в определенном смысле «близкими» к разрывной функции. Для етого докажем следующую теорему устойчивости. Теорема 6.10. Если непрерывная функция ср(х) и кусочно-непрерывная функция ср(х) удовлетворяют условию ') (ср(х) — ср(х)!24(х(е, В то для классического решения задачи Коши для однородного уравнения теплопроводности Ю и(х, с') = 1 б(х, $, с') срЯ)с$ и функции М и (х, !) = ! 6(х, $, г) сря)щ при хан й', С) с,) 0 справедлива оценка 1 1 !) ((СС 4 2 где постоянная С не зависит ни от х, ни от 1, ни от !ы 222 Доказательство.
Очевидно, 0 (и(х, 1) — и(х, 1)~ = ~ ~ 6(х, $, 1)(Ч)(а) — )р($))Щ~( (к — 9)' ( „' ~е "" 1~р($) — <р9~с$. Применяя неравенство Коши — Буняковского, получим (к — Е)' 4ан ~ (9) 9) ~ 19 (к-$)* (( ) е Щ) ( ') )(р(Ч) — (р(9))к(19) $ — х Сделав стандартную замену г=, для первого интеграа (/кк ла в правой части последнего неравенства получим кк (к — $)» ') е "' ела=а у'21 ') е к*((я=а у'2п1, й 9 НЕОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ НА БЕСКОНЕЧНОЙ ПРЯМОЙ Рассмотрим задачу для неоднородного уравне- ния теплопроводности с однородными начальными условиями на бесконечной прямой: и = акикк+ 1'(х, 1) (х, 1) е- :й, и(х, 0)=0, хаем), Напомним, что фундаментальное решение (9.1) (9.2) 293 что и дает требуемую оценку при 1)(,)0: ) и(х, 1) — и(х, 1)~(С1о ~М'(/е, з где С=(2(пчак) '.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
