Свешников, Боголюбов, Кравцов. Лекции по математической физике (1125176), страница 30
Текст из файла (страница 30)
При его выполнении она имеет решение при любой непрерывной функции 1, представимое в виде (7.31). Рассмотрим теперь условие (7.29). Его можно записать в виде 191 Следовательно, ранг собственного значения Х=! равен единице. Собственную функцию ца(Р) уравнения (7.25) нормируем. так, чтобы Поскольку О е=- О, то в силу (7.27) Поэтому =~рч(Р)т(Р)дВ . (7.32) Теперь будем считать, что постоянная а определена соотношением (7.32). Тогда условие разрешимости (7.20) выполняется автоматически. Уравнение (7.23) разрешимо прн любой непрерывной функции )(Р), но решение его неединственно и имеет вид Так как при М ~ О, д ! — ЙБр — = О, дпр й р из (7.34) получаем — д ! Я и (М) = — ~> ч(Р) — дЗр+ дп й нмо 5 Величина а определяется соотношением (7.32). Таким образом, внешняя задача Дирихле при любой непрерывной функции имеет единственное классическое решение. Проведенные рассуждения показывают, что справедливы следующие теоремы.
Т е о р е м а 5.14, Внешняя задача Дирихле (7.21) имеет классическое решение при любой непрерь!вной функции т. Теорем а 5.15. Внутренняя задача Неймана (7.17) имеет классическое решение при любой непрерывной функции удовлетворяюи4ей условию (7.20) . 3 а м е ч а н и е. В этом параграфе изложен метод интегральных уравнений для краевых задач для уравнения Лапласа. Краевая задача для уравнения Пуассона рассматривается аналогично. !92 ч(Р) =ч(Р)+С, (7.33) где ч(Р) — некоторое решение уравнения (7.23), С вЂ” произвольная постоянная.
Подставляя (7.33) в (7.22), получим решение внешней задачи Дирихле и (М) =- — ~ ~ (Р) — — й5 — С;1; — дар+ . (7.34) дпр ~.~ 'т' дпр ЙМр ' НМО ' Для примера рассмотрим внутреннюю задачу Дирихле для уравнения Пуассона Ьи= — Рво, и ~ з = 7' (Р) ~ з. Пусть У(М) — объемный потенциал с плотностью Р(Я): Г (М) = — ' ~ о'г'о. с Р (О) о Вместо и(М) введем новую неизвестную функцию У(М) соот- ношением (7.35) и (М) = П (М) + У (М). Тогда из (7.35), учитывая свойства объемного потенциала, получаем краевую задачу для функции У(М): Ли=6 в О, и4=7(РИ,, где (7.36) 1(Р) 1(Р) Р (Р)(Рез.
Таким образом, задача (7.35) сведена к краевой задаче (7.36) для уравнения Лапласа, которая подробно рассмотрена ранее. Аналогичным образом н другие краевые задачи для уравнения Пуассона сводятся к соответствующим краевым задачам для уравнения Лапласа. У за. ап Глава Р1 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА Уравнения в частных производных второго порядка параболического типа наиболее часто встречаются при рассмотрении процессов тепло- и массопереноса.
В то же время при определенных условиях уравнения параболического типа используются для описания электромагнитных и других волновых процессов (приближение параболического уравнения). В настоящей главе изучаются основные свойства уравнения параболического типа, для которого ставятся начально-краевая задача и задача Коши. 4 1.
ПОСТАНОВКА НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ В ф 2 гл. 1 было получено уравнение теплопроводности и поставлена начально-краевая задача, описывающая процесс распространения тепла в области Р, Уравнение теплопроводности является типичным уравнением параболического типа. Введем следующие определения. Назовем (п+1)-мерным открытым цилиндром О, область вида С1т Р Х (О, Т)=((М, г):Ме=Р, 1~(0, Т)). Область (1.1) (1.2) (1.3) 194 От= Р х [О, т) =((м, 1); ме Р, ге [О, т)) назовем замкнутым (и+1)-мерным цилиндром, 5=Р(15. Начально-краевая задача для уравнения теплопроводности в случае трех пространственных переменных ставится следующим образом: р(М) и,=б19(lг(М) атаби)+1(М, 1), (М, 1) ~О и (М, 0) = р (М), М е= Р а(Р) — "+р(Р)и =р(Р, г) Р~ о, атее [О, оь), дп где Р(М) =р(М)с(М)) О, р(М) — плотность, с(М) — удельная теплоемкость, А (М) ) 0 — коэффициент теплопроводностн, и (Р) ) О, Р(Р))0, причем а(Р)+р(Р))0.
Напомним (см. гл. 1), что задача (1.1) — (1.3) описывает не только процессы распространения тепла, но и явления диффузии, а также процессы распространения волн в приближении параболического уравнения н ряд других физических процессов. О п р е д ел е н и е. Классическим решением начально-краевой задачи (1.1) — (!.3) называется функция и(М, 1), непрерывная вместе с первыми производными по координатам в замкнутом цилиндре ь1, имеющая непрерывные производные первого порядка по ! и второго порядка по М в открытом цилиндре Я, удовлетворяющая в Я уравнению (1.1), начальному условию (1.2) и граничному условию (1.3). Необходимым условием существования классического решения начально-краевой задачи (1.1) — (1.3) является условие согласования начального (1.2) и граничного (1.3) условий: а(Р) ~ +р(Р)~р(Р)=р(Р, 0), Ра= Я. В дальнейшем будут приведены достаточные условия гладкости коэффициентов уравнения и функций 1(М, 1), ~Р(М), !х(Р, 1), при которых существует классическое решение задачи (1.1) — (! .3) .
5 2. ПРИНЦИП МАКСИМУМА Докажем следующее важное свойство классического решения уравнения теплопроводности. Т е о р е м а б.1 (принцип максимума). Решение однородного иравнения теплопроводности ри, = дк (й йгад и), (2. 1 ) непрерывное в замкнутом цилиндре ьгт=ь1Х,[ОТ~, во внутренних точках этого цилиндра не может принимать значений больших, чем максимальное из начального и граничного значений. Доказательство. Нам нужно доказать, что если и(М, 0), и(Р, 1) ь(ь = шах М е= 0 Р ен 5, Г е [О, Т) ' то и(М, г)(вЮ, (М, г) Я~. Доказательство будем вести методсм от противного.
Пусть в некоторой внутренней точке цилиндра (М,, 1ь) ~ 1~ функция и (М, 1) достигает своего максимального значения, большего ь1ь': и (М„ 4ь) ) ьть'. Таким образом, и(М,, Гь) =ьФ+Ь, ГдЕ Е) О. Введем вспомогательную функцию 199 о(М, 1)=и(М, Г)+а(1,— 1), (2.2) где а)0 — постоянное число, которое мы определим в дальнейшем. Очевидно, о(М,, 1,) = 2+е и шах ~ ' ' ' ~(аЖ+аТ(си+ —, (2.3) 1о (М, 0), о (Р, 1) 8 (М е 0 Р е= 5, 1 е (О, Т)) 2 ' если выбрать а так, чтобы аТ ( —.
е 2 Так как функция о(М, 1) непрерывна в замкнутом цилиндре Йт, то она должна в некоторой точке (М„1,) ~~т достигать своего максимального значения. Очевидно, что о(М1, 11)~)о(МО, Го) =аж+а, откуда следует, что точка (М1„11) — внутренняя точка цилиндра Ят, поскольку в силу (2.3) на границе цилиндра От (т. е. на границе области й и в начальный момент) максимальное значение функции о(М,1) не превосходит величины М+ —. 2 Итак, (М,, 11) е$,, т. е.
М,е1', 1, ен(0, Т). Поскольку в точке (М1,1,) функция о(М, 1) достигает своего максимального значения, то в этой точке выполняются условия максимума нгабо(М„11)=0, — (М,, 1,))0, Ьо(М„11)(0. (2.4) д1 Заметим, что в формуле (2.4) при 11(Т вЂ” (М,, 11)=0, а при дв .дг Г,=Т вЂ” "' (М„г,))0. д1 Из формул (2,2) и (2.4) следует, что йгади(М„Г1) =О, — "(М„11))а) О, д1 (2.5) Ли (М„11) (О.
Функция и(М,1) является решением уравнения (2.1), которое можно записать в следующем виде: ри = ЙЛи+ угад й йгад и. (2.6) Сравнивая (2.5) и (2.6) и учитывая, что по условию р(М) >О, й(М)>0, приходим к выводу, что в точке (Мог,) уравнение (2.6) не выполняется. Полученное противоречие доказывает теорему. Следствия. 1) Для уравнения параболического типа имеет место прин. цип минимума.
Теорема 6.2 (принцип минимума). Решение однородного уравнения теплопроводности (2.1), непрерывное в замкнутом 196 цилиндре ~2т, во внутренних точках этого цилиндра не может принимать значений меньших, чем минимальное из начального и граничного значений.
Эта теорема сразу следует из доказанного принципа максимума, если учесть, что функция й(М, 1)= — и(М, 1) имеет максимальное значение там, где функция и(М,1) имеет минимальное значение. Из принципа максимума и минимума следует двухсторонняя оценка: ппп ~ ' ' ' <и(М 1)< (и(М, 0), и(Р, 1) Ме=0 Ре5,!е[0, Т1 и(М, 1), и(Р, !) М е 0 Р е= 5, 1е= 10, Т1 2) Принцип сравнения 1. Теорема 6.3. Если два решения уравнения теплопроводности (1.1), непрерывные в замкнутом цилиндре Цт, удовлетворяют условиям и,(М, 0) >и,(М, 0), Мен ьэ (2.7) и,(Р, 1)>и,(Р, 1), Реп 8, ! еп(0, Т1, (2.8) и, (М, с) > и (М, 1), (М 1) я Рт. (2.9) то о (М, 0) ~> О, М ~ О, о(Р 1) > О, Р е 5, 1е= (О, Т), применяя к функции о(М, 1) принцип минимума, получим о(М, 1)>0 (М, 1)епРгт, откуда следует (2.9).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
