Свешников, Боголюбов, Кравцов. Лекции по математической физике (1125176), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Для доказательства этого заметим, что объемный потенциал можно рассматривать как свертку финитной обобщенной функ- ции р и фундаментального решения 1я оператора Лапласа е> Р(М)=~ Р еПУо — — — а р. р(Я) 1 ~ма и Используя правило дифференцирования свертки и учитывая, что Л вЂ” = — 4пб(М, Я), ~ма получим Л)У=Л ! — е р ) = ( Л вЂ” ) *р= — 4п(б*р) = — 4пр. ~г 1 ~ й~~ При более жестких требованиях на функцию р объемный потенциал представляет собой классическую функцию, обладающую определенными свойствами гладкости. В частности, если р — классическая ограниченная и интегрируемая функция, то объемный потенциал является непрерывно дифференцируемой функцией во всем пространстве. Если же плотность р непрерывна вместе с первыми производными, то объемный потенциал является классическим решением уравнения Пуассона ЛР = — 4яр.
во всех точках непрерывной дифференцнруемости р. На плоскости объемным (или логарифмическим) потенциалом называется интеграл вида р(М)=1р(Е!и — ' Ь,. ~ме О При тех же требованиях относительно р он является решением уравнения Л)У= — 2пр. 2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра Напомним некоторые необходимые в дальнейшем сведения о несобственных интегралах второго рода, зависящих от параметра.
' См: Владимиров В С. Уравнения математической физики. М: Наука, !988 167 Будем рассматривать несобственные интегралы вида У(М)=~ г (М, 2г))((г) с(то, (6.2) где г"(М, Я) — функция, неограниченная при М=Я и непрерывная по М, а 1(Я) — ограниченная функция. Определение. Интеграл (6.2) называется равномерно сходящимся в точке Мы если для любого е>0 существует такое б(е) >О, что неравенство ') г (М ~)) ) ((г) йто ~ < е Ы2~ (М) У1 (М) + У2 (М)' где У1 (М) = ~ г" (М, Я) ~ (Я) 2(т, У2 (М) = ~ г" (М, ф ~ (Я) дт. о', о, Рассмотрим разность У (М,) — У (М): (У(М0) У(М)1~<1 У2(МО) У2(М)( + 1~ 1( 0)~ + В силу равномерной сходимости интеграла (6.2) в точке Мь существует такое б, (е) >О, что !У1(М)~< — ' и !У1(М)!< — при )смм, <61(е). з ' з Так как точка М0,-0,, то интеграл У,(М) является собствен- ным и, следовательно, непрерывен в точке М,.
Поэтому сущест- вует 62(е) >О такое, что ~У (М0) У1(М)~< — при )Хм21,(6 (е). Пусть 6(е) =пни(б,(е), 62(е)). Тогда ) У (М,) — У (М) ) < е при Ймм, =' б (е), что и означает непрерывность интеграла У(М) в точке М0 ф~ 188 выполняется для любой точки М ~ Км*, н для любой области 0012~ ец КО~о, где Кь,'2~ — шар радиуса 6(е) с центром Мь, м, м, Теорема 5.9. Интеграл (6.2), равномерно сходящийся в точке Мь, есть непрерывная функция в этой точке М,. Доказательство, Нужно показать, что для любого е)0 существует 6 (е) > 0 такое, что ) У (М,) — У (М) ) < е при )кмм, ( ~(б(е).
Выберем внутри 0 область О,, содержащую точку М, внутри себя. Обозначим 02 = 0 ' О,. Интеграл У (М) представим в виде Эта теорема справедлива не только для интегралов по объему, но и для интегралов по поверхности или по контуру. Это обстоятельство будет использовано при исследовании поверхностных интегралов. 3. Поверхностные потенциалы Обычно рассматриваются поверхностные потенциалы двух типов: потенциал простого слоя и потенциал двойного слоя. Потенциалом простого слоя называется интеграл вида ) (М)=~р(Р) где 5 — некоторая поверхность, р(Р) — функция, заданная на поверхности 5; функция и называется плотностью потенциала простого слоя.
Очевидно, поверхностный потенциал простого слоя можно физически интерпретировать как потенциал, создаваемый зарядом, распределенным на поверхности 5 с поверхностной плотностью р (Р) . В двумерном случае (на плоскости) потенциал простого слоя имеет вид ( М ) 1 р ( Р ) 1 и ~ 1 МР с где С -- некоторая кривая. Потенциалом двойного слоя в трехмерном случае называется интеграл вида К(М)= — ~т(Р) с(5р, (6.3) ~~ма где 5 — двусторонняя поверхность, пг — внешняя нормаль к поверхности 5 в точке Р (в том случае, когда поверхность 5 незамкнута, внешняя нормаль выбирается произвольно),т(Р)— функция, заданная на поверхности 5; функция т называется плотностью потеяциала двойного слоя.
Еще раз подчеркнем, что потенциал двойного слоя определяется только для двусторонней поверхности. Вычисляя значение нормальной производной функции 1/Лмг в точках поверхности 5, получим для потенциала двойного слоя выражение )Р (М)= ~ч (Р) ~ й5р, ймг где р — угол между внутренней нормалью к поверхности 5 в точке Р и вектором Рйч. 169 Чтобы дать физическую интерпретацию потенциала двойного слоя, рассмотрим потенциал, создаваемый двумя точечными зарядами противоположных знаков +е и — е, помещенных в точки Я! и Ям лежащие на нормали к поверхности 5 в точке Р, с разных сторон от этой поверхности, причем точка Я! находится на внутренней нормали к поверхности 5 (рис.
5.1). Очевидно, значение этого потенциала в любой точке МФ(,!ь Яа равно )Уа йь Яе М) = 1 1 кч.м 17Е,м 1 Устремим точки Я! и Я, к точке Р,, одновременно увеличивая величину заряда е так, чтобы величина та= =ег(, где д — расстояние между точками Я! и Ям оставалась постоянной. Так как е=т,/д, то в пределе при г(-+.О для Ка(1,!!, ! !м М) получим выражение 1!ш Ж',(Яь Я„М)= о,.е,-е. д 1 =)го(РО М)= та в г,м Рнс 51 Поэтому ядро интеграла (6.3) можно физически интерпретировать как потенциал, создаваемый вне точки Р, помещенным в эту точку диполем с дипольным моментом тм направленным по внешней нормали к поверхности 5 в точке Рю. При этом сам потенциал двойного слоя (6.3) представляет собой потенциал двусторонней заряженной поверхности 5 с плотностью поверхностного распределения дипольного момента, задаваемой функцией т(Р).
На плоскости потенциал двойного слоя имеет вид )Г(М) — — ~ (Р) 1п Л~ == ( т(Р) (П!, с с где п, — внешняя нормаль к кривой С в точке Р, ф — угол между внутренней нормалью в точке Р и вектором РМ. В случае незамкнутой кривой направление внешней нормали, так же как и в трехмерном случае, выбирается произвольно. Перейдем к исследованию свойств поверхностных потенциа.лов. Из их определения следует, что в том случае. когда точка М не принадлежит ч!оверхности 5 (или кривой С), потенциалы имеют производные всех порядков, которые можно вычислять дифференцированием под знаком интеграла, и являются гармоническими функциями М' = О, Л)(7 = О, М ф 5 (М ~ С). 170 Отметим также, что при М- оо для поверхностных потенциалов в случае ограниченной поверхности справедливы оценки в трехмерном случае: )г=О ( — 1, К=О( — ), г — Роо; в плоском случае: )У!=О ! — ), Г Потенциал простого слоя в плоском случае )г (М) = !) )2 (Р) !п ! ЖР МР с па бесконечности является, вообще говоря, неограниченной функцией и возрастает как !и г.
Если же его плотность удовлетворяет условию '! р(Р) (1,=0, с 1 то )!=О ! — ) при г-э со. Действительно, введем полярную систему координат, и пусть М=(г, !р), Р=(р, а). Тогда 1п !смР =! и )!' г'+ о' — 2го соз (!р — а) = 2 Р Р = — 1п (г' (1 — 2 ! соз(<р — а)+ —" Р =!пг — соз(<р — а)+О 1! — 1 г (,2) при г- оо (использовано соотношение 1п (1+ х) =х+ О (х') при х -Р 0).
Следовательно, ! 1 )!=О ( — ) при г-~со. г В дальнейшем свойства поверхностных потенциалов будем рассматривать в трехмерном случае, а для плоского случая формулировать только окончательные результаты. 4. Непрерывность потенциала простого слоя Если точка М лежит на поверхности, то потенциал является несобственным интегралом„сходимость которого подлежит исследованию. Пусть Я вЂ” гладкая поверхность, т. е. поверхность, в каждой точке которой существует непрерывная нормаль (или касательная плоскость). 171 Т ео р ем а 5.10.
Потенциал простого слоя с ограниченной непрерывной плотностью, заданной на гладкой поверхности, является непрерывной функцией во всем пространстве. Д о к а з а т е л ь с т в о. Мы установили, что потенциал простого слоя является непрерывной функцией вне поверхности 5. Остается показать, что прн выполнении условий теоремы потенциал простого слоя непрерывен на поверхности 5 и его значения вне поверхности 5 непрерывно примыкают к значениям на 5. Для этого в силу указанных ранее свойств равномерно сходящихся несобственных интегралов достаточно показать, что интеграл (т (М) =~ р(Р), ! 11(((А ~ми равномерно сходится в точках поверхности 5.
Пусть Мс — произвольная точка поверхности 5. Построим сферу Х радиуса б с центром в точке Мы Обозначим через 5, ту часть поверхности 5, которая расположена внутри Х, 5,= =5~51 (рис. 5.2). Тогда Рис 52 Рис. 5 3 (т(М)=~у "' +~р "' =),(М)+р,(М). ~мг Ч ~ми в з Пусть М вЂ” произвольная точка, отстоящая от точки М, ие более чем на Ь: Пмм,~б. 11ужно показать, что для любого г>0 существует б(г) >О такое, что при всех М, для которых 1смм,(б. Введем локальную систему координат (х, у, г) с началом в точке Мс, направив ось г вдоль внешней нормали к поверх- причем г(х, у) — однозначная непрерывно дифференцируемая функция. Получим оценки для функции г(х, у) и ее первых производных в указанной окрестности. Направляющие косинусы внешней нормали пр в точке Р поверхности 5 при р<р0 выражаются формулами сова= ', созр= У/1 + 42 + г2 'У' 1 ' гз с гз 1 соз у = У1+г'„+ -р Обозначим через пр' проекцию вектора пр на плоскость (х, у), а через а' и р' — углы, образованные вектором пр' с осями х ну: сова=сова'япу, соз()=япа'япу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
