Свешников, Боголюбов, Кравцов. Лекции по математической физике (1125176), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Нам нужно избавиться от слагаемого, содеРжащего и14. Мы Установили, что фУнкции аа ~ 6, удовлетворяющей условию — ~ =О, не существует. дл 1з Вспомнив, что решение внутренней задачи Неймана определено только с точностью до произвольного постоянного слагаемого, заметим, что получим интегральное представление решения, подчинив функцию 6 граничному условию д6 — ~ =С,=сопз1~0, дл поскольку в этом случае слагаемое в формуле (4.16), содержащее значение и(з, дает постоянную. Постоянную Сз выберем так, чтобы была разрешима внутренняя вторая краевая задача для гп Для этого должно выполняться соотношение В силу равенства (4.18) отсюда получаем 1 Со — — — —, Юо где 54 — площадь поверхности 5.
Определен не. Функция 6(М, О) называется функцией Грина внутренней задачи Неймана для оператора Лапласа, если: 1) 6(М, 6)= +19 где и — гармоническая в 0 функция; 1 4п11 дО ! 1 2) — ~ = —, где 5,— площадь поверхности 5. да (з до Подставляя функцию Грина в (4.16), получим выражение для решения задачи (4.!2): и(М)=~1~6сБ+ — '16иЮ+~6рсй~. (4.17) ~о д и (М) = 1у 67 й5+ ~ 6Р пУ (4.18) дает то решение задачи Неймана, которое имеет среднее значение на поверхности 5, равное нулю.
Общее решение задачи Неймана имеет вид и = 1~ 6~1(5+~ юг(У+сонэ!. (4.19) Заметим, что функция Грина 6(М, 6) внутренней задачи Неймана определена с точностью до постоянного слагаемого, точнее, до слагаемого, зависящего от координат точки („1. Это слагаемое можно выбрать так, чтобы 153 Слагаемое — у иб5 есть среднее значение функции и на поверхг ~о ности 5. Оно является некоторой постоянной (вообще говоря, неизвестной). Но само решение задачи Неймана определено с точностью до произвольного постоянного слагаемого. Это слагаемое можно выбрать так, что среднее значение решения на поверхности 5 будет равно нулю.
Формула 1 (,Е(з (4.20) определенная формулой и (М) = р 1 (Р) 6 (М, Р) г(Б р, существует и является решением уравнения Лапласа при лю- бой непрерывной функции ((Р). Возникает вопрос какое реше- ние уравнения Лапласа дает формула (4.22), если )(Р)г(ЗчьО, т, е, когда задача (4.21) не имеет решения? Можно показать, что 1пп — и (М) =1(Р) — — (6~(Р) дЯ, м гез дп хо 7 где Я, — площадь поверхности Я. Следовательно, формула (4.22) дает решение следующей задачи: Ли=О в О, 1 аь — 'ф хо т для которой условие разрешимости, как легко проверить, вы- полнено автоматически.
5. Функции Грина внешних краевых задач Для внешних краевых задач функции Грина вводятся аналогичным образом. При этом заметим, что поскольку в трехмерном случае все три основные краевые задачи имеют единственное решение и разрешимы при любой непрерывной граничной функции, то функция Грина для них вводится единообразно.
О п р е дел е н и е. Функция 6(М, Я) называется функцией Грина оператора Лапласа для внешней краевой задачи в области О„если: Этим дополнительным условием функция Грина определяется однозначно. Теперь можно показать, повторив рассуждение п. 2, что функция Грина внутренней задачи Неймана симметрична: б(М, Я) =6ф, М).
Напомним, что внутренняя задача Неймана пи=О в О, — ~ =1(Р)(з (4.21) да ~з разрешима только при условии р1(Р)с(5=0. Функция и(М), 1) 6(М, Я)= +о, где о — гармоническая в Р, функция; 1 АЖ 2) а — +р6(з —— О, (а! + (р(Ф 0; дб дп 3) 6(М, Я) — регулярна на бесконечности. Заметим, что по сравнению с внутренней задачей добавляется требование регулярности на бесконечности.
Формулы для решений внешних краевых задач выводятся так же, как и для внутренних задач, и имеют аналогичный вид. 6. Примеры построения функций Грина Рассмотрим несколько примеров построения функции Грина задачи Дирихле для конкретных областей. Для построения функции Грина для полупространства ( — оо<х, у<со, г)0) удобнее всего применить метод электростатических отображений. Чтобы построить функцию Грина, достаточно определить функцию о, которая в данном случае является решением следующей краевой задачи: Лп=О при г)О, о!.=о= — ~, М=(х, у, г), 1 4"Лмм, =о о 0 на бесконечности. (4. 23) Пусть М, — точка, симметричная точке Мо(х„у„го) относи- тельно плоскости г=О.
Тогда очевидно, что решением задачи (4.23) является функция 1 и=— 4пчмм, Следовательно, функция Грина имеет вид 1 1 ото 4оЖ мма мм, (4.24) 155 Заметим, что первое слагаемое в формуле (4.24) представляет собой потенциал точечного заряда, расположенного вточке Мо, а второе — потенциал точечного заряда противоположного знака, расположенного в симметричной точке Мь Учитывая физическую интерпретацию функции Грина, выражение (4.24) можно было выписать сразу.
Построим теперь функцию Грина для шара К, радиуса а. В этом случае тоже можно использовать метод электростатических отображений. Но для иллюстрации различных способов построения функции Грина 6(М, Мо) воспользуемся методом разделения переменных. Введем сферическую систему координат (г,б, Гр) с началом в центре шара н ось г направим так, чтобы она проходила через точку Мо. Для определения функции о получаем краевую задачу Ло=О в К„ 1 м,я 1=а М (г, О, 0), Р (г, 6, <р). Общее решение уравнения Лапласа внутри шара имеет вид (4.28) О И о=~~~ 7~ ( — '1 Р„' 1(созб)(А„созпвр+В„„51ппар).
(4.2б) С.1 1а) а=о га= — а ам,г г 2 го + г' — 2гго соо О го го 1 — 2 — Гоо о+ г го п — ( — ) Р„(соз 6). (4.28) Подставляя (4.27) в граничное условие и учитывая (4.28), на- ходим Аа„= — — ( — ') при а=О, 1, . 4аа (,а) Следовательно, 0= — — ~1 ( — ) Р (созб). а=о Коэффициенты А„и В„следует определить из граничных условий. Легко видеть, что в силу аксиальной симметрии краевой задачи для функции о эта функция также не будет зависеть от / до азимутального угла гр( — =0), Поэтому в разложении функ(, да ции о отличными от нуля оказываются лишь коэффициенты А,о, и это разложение принимает вид о = ~~~ А„, ( — ) Р„(соз б), (4.27) 1а/ =о где Р„(соз б) — полиномы Лежандра.
Для разложения граничного условия по полиномам Лежандра воспользуемся выражением для производящей функции полнномов Лежандра: 1 1 1 1 Этот ряд можно просуммировать, Пусть М!(гь 4)!, »р!) — точка, сопряженная точке Мо(го, О, 0) относительно сферы г=а, т. е. ао г,= —, О,=О, щ — О. Тогда го о= — — ~~~ ( — ') Р„(созО) = =о 1 1 г "~/» — 2 — 6-» г» г» ! 1 а 1 4аа [»Гго+го — Згг,соо44 4Я го»см»|' Поэтому функция Грина имеет вид ! г 1 а 1 С(М, М,)= ~ — — — 1. 4а !»смм, го )тмм, Решение краевой задачи Ли=О в К, и[,=,=г(0, »р) выражается через функцию Грина С(М, М,) в виде и(чо) = — ~11 д (!'. '1'[о) ~13Р.
дб (4.29) да, Преобразуем эту формулу. Пусть Мо=(г„б„ойдо), Р=(г, О, р). Так как А~»м» = [г г'+8' — 2гго сов (), Р, м,=~)Ггго+го — 2гг,сов~, где ао гг =— го соз р = соз О соз Оо + я и О э[ и Оо соз (!р — гро), то ао — го (4.30) да [г'=а дг [г=а 4аа [ао + гоо — загс соо й)~» ~ Подставляя (4.30) в (4.29), получим оа аГ [д, »о) [ао — ф Мп дддйО о о Формула (4.31) называется интегралом Пуассона для сферы. Можно показать, что для любой непрерывной функции 1" она дает классическое решение задачи Дирихле в шаре.
1Бт Точно так же может быть построена функция Грина для внешней задачи (для области вне шара). Формула Пуассона для внешней задачи выписывается сразу, если учесть различие направлений нормали для внутренней и внешней задач: а <' ~ (го аа))(б, !г) мпбао!(Ф и(!м бо, !ра) = 4а (а'+гЗ вЂ” 2агосозй) 2 о о где Ма(го, до, сро) — точка наблюдения, расположенная вне шара. Рассмотрим еще один метод построения функции Грина. Как было показано (см. п.
2), функция Грина 6(М, М,) есть обобщенное (в смысле обобщенных функций) решение следующей краевой задачи: ом6= — б(М: Мо)* 6)мез=О. Исходя из задачи (4.32) можно построить функцию Грина в виде ряда по собственным функциям оператора Лапласа. Изложим схему этого построения. Пусть (Л„) и (и (М)) — полные системы собственных значений и ортонормнрованных собственных функций задачи Дирихле для оператора Лапласа: Ьп„+Х„п„=О в Р, о„~з=О, Цп„й=1. Решение задачи (4.32) будем искать в виде 6(М, М,)= ) С„па(М). а=! Предполагая, что написанный ряд сходится в смысле обобщенных функций, подставим его в (4.32). Получим Х С„).„оа(М) =б(М, М,). Отсюда С„= ! '! б(М, М,)оа(М) !()г= ~" (М') . Х„ Ха О Следовательно, 6 (М М ) ~1 аа (Мо) аа (М) о =~ ха а=!' Такое выражение было получено ранее в $? гл.
П1. На исследовании вопросов сходимости полученного ряда останавливаться не будем. !ав 7. Функция Грина задачи Дирихле на плоскости Остановимся на вопросе построения функции Грина для внутренней задачи Дирихле на плоскости. О п р е д е л е н и е. Функция б (М, Я) называется функцией Грина внутренней задачи Дирихле на плоскости, если: 1 1 1) 6(М, 9)= — !п — +и, где о — гармоническая в области 2п Стне Р функция; 2) сс (М, Я) ! ми г = О; à — замкнутый контур, являющийся границей области Р.
Решение задачи Дирихле Асс= — г в Р, через функцию Грина выражается следующим образом: сс = — <у 7' — сс1+ ~ РР сЬ. г до дп г и Эта формула выводится точно так же, как и в трехмерном случае. Для построения функции Грина на плоскости можно использовать методы теории функций комплексной переменной. Напомним основные факты, отсылая за доказательствами их к учебникам по теории функций комплексной переменной е!. Точку М на плоскости (х, у) будем обозначать как точку я=х+~д на плоскости комплексной переменной. Пусть функция пс= =!" (з, го) осуществляет конформное отображение области Р на круг единичного радиуса )ю)(1, причем точка го переходит в центр круга в=О. Тогда функция С(М Мо)= 1 1 2сс !1(», саИ является функцией Грина задачи Дирихле в области Р.
Заметим, что формула (4.33) остается справедливой и в случае односвязной внешней области Р„содержащей бесконечно удаленную точку комплексной плоскости. Методом конформного отображения можно построить функцию Грина для круга, которая имеет вид 6(М Мо) 1 )1П !п 2п ! Стим, та Сслсм, где Мо=(го, сро), Мс=(гс, сро) — точка, сопряженная точке Мо даь ) относительно круга радиуса а, г, =— то "См., например: Свешников А.
Г., Тихонов А. Н. Теория: функпий комплексной переменной. М с Наука, 1979. со докааательство приведенных утверждений см. там же. сав Получим интеграл Пуассона для круга, Так как )(омм, = )гг«'+ г,' — 2«го соз (ф — фо), Ямм, = ~/г'-1- го — 2гг, сов (ф — ф,), то дп ) до ) «0 да ~г дг )г=о 2яа (ао+ г~о — 2агосоо (ф — то)) Следовательно, решение краевой задачи Ли=О в круге г с.а, и),=,=~(ф) имеет вид 2я,> а'+г — 2аго соо (ф — фо) о Эта формула называется интегралом Пуассона для круга. Она дает классическое решение задачи Днрихле внутри круга при любой непрерывной функции 1(ф).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
