Свешников, Боголюбов, Кравцов. Лекции по математической физике (1125176), страница 35
Текст из файла (страница 35)
° Заданную в примере разрывную кусочно-постоянную функцию (Р(х) можно с любой степенью точности приблизить в среднем непрерывной функцией (Р(х), для которой классическое решение задачи Коши для уравнения теплопроводности в силу доказанной теоремы сколь угодно близко при 1>0 к функции (8.4), построенной в рассмотренном примере. где ]х — ы! 6(х й ] — т)= е 4а]! — *] 2а ')/я (! — т ) Мы получили формулу (9.5) на физическом уровне строгости.
Для строгого вывода формулы (9.5) используем преобразование Фурье с ядром е]]". Обозначим образы Фурье функций и(х, 1) и )(х, 1) соответственно через У(я, 1) и Р(я, 1); ! (7(К г)= — ] ия, г)ем1щ, 2я,) (9.6) Г(И, !)= — ' ( 1($, Г)ем1Щ. 2я ! ! Будем предполагать, что функция и(х, г) и ее частные производные достаточно быстро стремятся к нулю при х -~оо. Тогда для этой функции существует интеграл Фурье.
Будем также предполагать, что первый интеграл (9.6) можно дифференцировать под знаком интеграла. 1 Умножим обе части уравнения (9.1) на — е]]'" и проин- 2Л тегрируем по х от — с!] до оо, В результате получим (]]= — ( и (х, !)ем"!(х+г (х, !). 2я,) (9.7) 224 и — н' 6(х ~ !) е 4а!! (9.3) 2а ')/Ы физически означает температуру в точке х в момент времени 1 при мгновенном возбуждении бесконечной прямой в момент времени й=б точечным источником тепла мощности д=ср в точке х=$. Функция 6(х,$, 1 — т) есть температура бесконечной прямой в точке х в момент времени 1)т при возбуждении в момент времени т точечным источником мощности д=ср в точке х=а. Поэтому ясно, что функция 6(х, $, ! — т) удовлетворяет уравнению 6,=а'6„,+б(х, $)6(], т) (9.4) (это не противоречит тому, что при 1)т функция 6 удовлетворяет уравнению 6]=аз6„„). Воспользовавшись принципом суперпозиции, можно записать следующую формулу для решения задачи (9.1), (9.2): ! ! и (х, 1) = ) ') 6 (х, $, 1 — т) ]' Я, т) !$ дт, (9.
5) Проинтегрируем по частям интеграл в правой части формулы (9.7), учитывая, что подстановки обратятся в нуль. Учитывая однородное начальное условие (9.2), получим, что задаче (9.1) — (9.3) в пространстве оригиналов будет соответствовать следующая задача Коши в пространстве образов: и,+а«й«(7=Р, 1 (0, -), и (Р, 0) = 0.
Решение этой задачи запишем с помощью импульсной функ- ции « (7(ь, 1)=~е — мп« вЂ” пР(ь т)йт= о а = — ~ е емч«ю ~ г(«, т)ем:йт «. 2п о Наконец, используя формулу обратного преобразования Фурье, будем иметь и(х, 1) = ~ (7(й, 1)е — ««" йй= с ~! — ' [ е-""*и- ''«ц- йй)1(й, )Дйт, (9,8) ! — ' 1 2п,) откуда, учитывая (7.14), получим (9.5). Для обоснования полученной путем формального применения преобразования Фурье формулы необходимо показать, что если функция 1(х,1) непрерывна по совокупности аргументов и ограничена в 11, то существуют производные функции и(х, г) (9.8), входящие в уравнение (9.1), и их можно вычислять путем дифференцирования подынтегральной функции по параметру.
Соответствующие рассмотрсиия аналогичны проведенным в предыдущем параграфе, и читатель может их провести самостоятельно. Рассмотрим устойчивость решения задачи (9.1) — (9.2) для уравнения теплопроводности на бесконечной прямой. Теорема 6.11. Задача (9.!), (9.2) для уравнения теплопроводности на бесконечной прямой устойчива по правой части, т. е. для любого е)0 найдется такое б)0, что если (1, (х, 1) — 7, (х, г) ~ (6, х я й', 1 еи [О, т[, [и,(х, Г) — и,(х, 1)[(е, хан м', ген[0, Т[.
азлк зм 225 Доказательство. Рассмотрим задачу (9.1), (9.2) для неоднородного уравнения теплопроводности с однородными начальными условиями и обозначим через ис(х,1) решение этой задачи, соответствующее правой части )с(х, с), где 1=1, 2. Предположим, что при некотором 6)0 выполнимо неравенство ф(х, 1) — ~о(х, ГН(6, х~й', Ген(0, Т) (9.9) Записывая решение с помощью формулы (9.5) и учитывая (9.9), получим (ис(х, с) — и,(х, 1)(( с « (~ ~ 6(х, $, 1 — т)!~с Я, т) —,Со Я, т)!сЦс(т(6~ с(т=б Т. (9.10) о- о Из неравенств (9.9) и (9.10) вытекает, что малому изменению правых частей соответствует малое изменение решений, что и означает устойчивость решения задачи (9.1), (9.2) по правой части.
й 16. НАЧАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ Рассмотрим начальную задачу для неоднородного уравнения теплопроводностн в трехмерном пространстве: и,=а'Аи+Г(М, 1), (М, с)~(со, (10. 1) (!0.2) где Л вЂ” трехмерный оператор Лапласа, а области ьзо и Йо определяются следующим образом. ао=Кох(0, Т)=((М, 1):М ево, 1 н(0, Т)), й,=й'х(0, Т1. (10.З) 0 предел е н не. Фундаментальным решением сс(М, Я, 1) задачи Коши для уравнения теплопроводности ис=аоби (10.4) называется такое его решение в области 11о, которое: 1) удовлетворяет начальному условию б(М, Я, 0)=6(М, ф, М, Деево, (10.5) 2) непрерывно всюду в замкнутой области т)„кроме точки (Я,О), т. е.
яри М~() и (~0. Для построения фундаментального решения докажем предварительно следующую лемму. 226 Л ем ма 6.3. Если в задаче Коиш (10.6) (10.7) 6(М, Я, 7) =6(х, $, 7) 6(у, еь 7)6(г, ь, <) или, используя формулу (7.16) для фундаментального Решения в одномерном случае, имеем <.-и-.+<я — ч>*+< --'и 6(М, (), 7)=( Функция 6'(М, <ч', <) с физической точки зрения представляет собой температуру в точке М трехмерного пространства в момент вРемени 7 при мгновенном возбуждении точечным источником тепла мощности р, в точке я в момент времени <=О.
Поэтому функция 6(М, Я, <) называется также функцией влияния мгновенного точечного теплового источника. 10.9) 227 и<=а'ои, (М, 1)а=йз, и(М О) =<р(М) М ~(хз начальная функция <р(М) представима в виде <р(М)= р„(х) р,(у)<р,», то решением задачи (10.6), (10.7) является функци~ и(М <) =и<(х <) и<(у <) из(г <) (10.8) еде и,(х, <), и,(у, <), и.,(г, 1) — решения сооп<вел<ствующих одно- мерных задач Коши: им — — а'и„„, (х, г) еи Й, и, (х, О) = <р,(х), х еи Й', и„ = а'и,че, (у, С) ~ й, и, (у, О) = <р,(у), у ~ й', им — — а'и„„ (г, 7) ен (), и,(г, О) = <р, (г), г еи Й'. доказательство. Покажем, что функция и(М, 7) улов- летворяет уравнению (!0.6).
Имеем с учетом (10.8) а'Ли=а'Ь(и,и,и,) =и,и,а'и,„,+и,и,а'иа„~+и<ича имг = = и,иаи„+ и,и,и„+ и,и,и„= (и,и,и,), = и<. Удовлетворение начальному условию (10.7) очевидно скольку и(М, 0)=и,(х, О) и,(у, 0)и,(г, О) =<р, (х)<р,(у) <ра(г)=<Р(М) В трехмерном случае дельта-функцию можно представить в ви- де произведения трех одномерных дельта-функций: 6 (М, (г) = б (х, В б (у, <)) б (г, ь), где точка М имеет координаты х, у, г, а точка Я вЂ” координа- ты $, т», ~. Поэтому, применяя лемму к задаче (10.4), (10.6), получим Из формулы (10.9) следует, что функция 6(М, Я,1) симметрична по переменным М и Я: 6(М, Я, !) = — 6(Я, М, г), это является математическим выражением принципа взаимности. Заметим, что относительно переменной 1 такая симметрия не имеет места, что является выражением необратимости тепловых процессов во времени.
С помощью функции 6(М, Я, г) решение задачи Коши для однородного уравнения теплопроводности и,=а'Ли, (М, 1) е-:й„ и (М 0) = ~р (М) М ен 11з выражается формулой, аналогичной формуле (7.17): (10. 10) Формулу (10.! 1) аналогично одномерному случаю на физичес- 228 и (х, у, г, 1) =- ~~~ 6(х, у, г, $, т1, ь, 1)~р$, нв ь)с($с(т1аь, или, в более краткой записи, и(М, 1) = 16(М. Я, 1) ф(Я)д)тч. Интеграл (10.10) обычно называют интегралом Пуассона.
Заметим, что формулу (10.!0) можно получить и непосредственно, применяя к искомому решению задачи (10.6), (10.7) трехмерное преобразование Фурье. При этом для функции 6(М, Я, !) получим представление (10.9). Имеет место теорема существования, аналогичная теореме 6.9 для одномерного случая. Теорем а 6.!2. Если функция ~Г(М) непрерывна и ограничена во всем трехмерном пространстве К', то формула (10.10) определяет при (М, 1) е=йз классическое решение задачи (10.! ), (10.2) при 7(М, () =О. Локазательство этой теоремы аналогично доказательству соответствующей теоремы в одномерном случае.
Заметим, что так же, как и в одномерном случае, можно доказать, что в случае кусочно-непрерывной и ограниченной функции ч~(М) интеграл Пуассона (10.10) является решением однородного уравнения теплопроводности, непрерывно примыкающим к функции у(М) в точках ее непрерывности. Решение задачи Коши (10.!), (10.2) для неоднородного уравнения теплопроводности с однородным начальным условием выражается формулой и(М, 1)= ~ ~6(М, Я, ! — т)7((с, т)йродт. (10.11) о а ком уровне строгости можно получить, применяя принцип суперпозиции и строго используя метод интегрального преобразования Фурье.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
