Свешников, Боголюбов, Кравцов. Лекции по математической физике (1125176), страница 36
Текст из файла (страница 36)
В силу линейности задачи (10.1), (10.2) ее решение представляется формулой и (М, Г) = ~ О (М, Я, Г) (Р(Я) оЛ~+ !) ~ О (М, Я, à — т) ~ Я, т) о(Уо(т. а~ о Ь 3 а м еч а н и е. Аналогично рассматривается задача Коши для двумерного уравнения теплопроводности в пространстве Ко. В частности, используя лемму, аналогичную лемме 6.2, легко доказать, что фундаментальное решение выражается формулой ~ о ео+м чн 6(М д !)=( ~ е хан 2а У я! где М вЂ” точка с координатами х, у, Я вЂ” точка с координатами ~, т!. Теоремы существования и формулы, выражающие решение задачи Коши в двумерном случае, полностью аналогичны соответствующим теоремам и формулам трехмерного случая. $11.
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ НА ПОЛУПРЯМОИ 1. Постановка начально-краевых задач В этом параграфе будет рассматриваться начально-краевая задача для уравнения теплопроводности на полупрямой. Введем обозначения для открытых областей: К+=-(0<х<оо), К =( — оо<х<0), (),=(О < х< оо, 0< ! < оо) и соответственно замкнутых областей: К+ = (О < х < оо), К = ( — оо < х < 0), Пч.
=- (О < х < оо, 0 < ! < со) . Мы будем рассматривать начально-краевые задачи с гра- ничными условиями первого, второго н третьего рода: и, = аои„„+) (х, 1), (х, 1) ~ У!ч и(х, 0)=со(х), х~К+, ии (О, 1)+ри(0, !)=!х(1), Г~(0, оо), где (1 !.4) (а(+ (р(~0. 229 Напомним, что классическое решение задачи (11.!) — (1!.4), непрерывное в замкнутой области К, может существовать лишь при выполнении условия согласования начального (1!.1) и граничного (11.3) условий: а<р' (0) + ~~р (0) =- р (0) . (!1.5) В силу линейности задачи (!1.1) — (11.4) можно провести ее редукцию (см.
гл. П!). 2. Однородные граничные условия Изучение уравнения теплопроводности на полу- бесконечной прямой начнем с начально-краевой задачи для однородного уравнения с однородным граничным условием; и,=а'и„„, (х, !)~42+, (11.6) и (х, 0) = <р (х), х е= $Г, (11.7) аи„(0, Г)+[)и(0, 1)=О, 1~[0, оо), (11,8) где [сс[+ [р[~0. (11.9) Предварительно докажем лемму относительно функции и(х, !), определенной интегралом Пуассона. Лемм а 6.4.
Пусть функция Ф(х) определена на бесконечной прямой ( — ьь, +ьь), имеет на ней ограниченные производные до й(-го порядка включительно, и линейная комбинация аьФ~ ~(х), (11.10) ь-о где аь=сопз1, й=О, 1, 2,...,У, нечетна о~носительно точки х=О. Тогда функция ы — мв и(х, Е)= — С е 4'~ Ф(ЯдК (11.11) 2а ')/л~,) удовлетворяет условию ~~ах — ! =О. ь=о Доказательство. Прежде всего заметим, что функция Грина ы —;)' 6(х, $, !)= е 2а 1/Ы удовлетворяет условию дьо ь дьо — (х, ~, !)=( — !) — (х, $, !), Зхь дР 230 е-в Интегрируя (11.12) по частям и учитывая, что внеинтегральные слагаемые обращаются в нуль, получим М М ~ аь — — — ~ б (х, $, ~) ~~)~~ а„Ф ио ($) Ф,, (! 1. 13) Согласно (1!.10) подынтегральная функция в (11.13) при х=О нечетна.
Следовательно, Е д~и а„— (х, !)!,=о=О. ° дхз Лемма 6.4 позволяет указать следующий способ решения задачи для однородного уравнения теплопроводности: и,=а'и,„, х~О (11. 14) с заданным начальным условием и ! ~=ю = ~р (х), х~ )О. (11. 15) и однородным граничным условием вида м=а (!1.16) Продолжим функцию ~р(х), заданную при х)0, на всю действительную ось х, построив функцию Ф(х), которая удовлетворяет условиям Ф (х) = ср (х) при х ) О, ~г, а„Ф' '(х).—.— — ~'„аз~ран(з)), „при х(0 (!1.17) и непрерывна вместе с производными до У-го порядка включительно на всей оси.
Теперь решим задачу Коши на бесконечной прямой: У = а2(l„„, — со ( х ( оо, (7 ! ~=а = Ф (х) . Согласно лемме 6.4 функция У(х, Г) удовлетворяет граничному условию (11.16) и, следовательно, при х) 0 и(х, !) =— =(7(х, (). (11.18) зз! В силу наложенных на Ф(х) условий функцию (11.11) можно дифференцировать У раз по х под знаком интеграла. Поэтому и и д~и ~~~ (' ь дхб а„— = Рад 1 ( — 1)ь — (х, $, () Ф(в)йк. (11.!2) дх" 1 ~ .! дйь ~р(х), х ен !т~, Ф(х) = — ~р( — х), ха Й (11.19) и рассмотрим задачу Коши (11.18) Решение задачи (!1.18) можно записать в виде интеграла Пуассона (11.11). Функция (11.11), очевидно, удовлетворяет однородному уравнению теплопроводности (11.6) в ()~, непрерывна и ограничена в замкнутой области й~., удовлетворяет начальному условию (!!.7) и в силу леммы 6.4 однородному граничному условию Дирнхле.
Тем самым она является классическим реше. нием задачи (11.6) — (!1.8) с граничным условием Дирихле. Поскольку в формулировке задачи (!1,6) — (11.8) с однородными граничными условиями Дирихле функция Ф(х) не фигурирует, преобразуем формулу (1!.11), выражая Ф(х) через ~р(х) с помощью (11.!9): о и (х, !) = У(х, !) = ~ 6(х, $, !) ср(Е) йЦ вЂ” ') 0(х, с, !) ~р ( — $) г$ == ~ея' о = ~ (б (х, Ь,:) — б (х, — 1; !)) р а) а, о Окончательно решение задачи (11.6) — (11.8) с граничными условиями Дирихле можно записать в виде (11.
20) Сформулированный в лемме 6.4 способ построения начально-краевой задачи (1!.6) — (11.8) на полупрямой Р~- называется методом продолжения. Отметим, что в случае однородного граничного условия Дирихле в формуле (11.16) а,=! и а,=О, 1=1, 2, ..., У. Но тогда согласно формуле (11.10) функция Ф(х) должна быть нечетной, т. е. функцию ~р(х) нужно продолжить на отрицательную полуось нечетным образом.
В случае однородного граничного условия Неймана в формуле (!1.16) а,=1 и а„=О, й=О, в=2, 3, ...,У н согласно формуле (!1.!0) функция Ф'(х) должна быть нечетной. Но поскольку производная четной функции есть функция нечетная, то функция Ф(х) должна быть четной. Следовательно, функцию ~р(х) нужно продолжи~ь на отрицательную полуось четным образом. Применительно к задачам Дирихле и Неймана метод продолжения носит название соответственно метода нечетного и четного продолжения. Используя доказанную лемму, построим решение задачи (11.6) — (11.8) с граничными условиями Дирихле (и=О, 6=1).
Поскольку мы будем рассматривать классическое решение, предположим, что функция ~р(х) удовлетворяет условию согласования начального и граничного условий: ср(0)=0. Введем функцию Ф(х), являющуюся нечетным продолжением функции ф(х): и(х, !) = ~ 6,(х, $, !)(рЯ)(($, о (11.21) где, учитывая (7.16) и (!!.20), получим 6)(х, Ь, г)=6(х, $, г) — 6(х, — $, !) = (» — !) (Р-~-$)» (С 4а'! С 44! ) 2а г' )т! (1 1. 22) (11.28) и(х, !)= 1 ') 6)(х, Ч, ! — т))($, т)(К((т. (1!.24) Решение задачи (11.6) — (! 1.8) с граничными условиями Неймана (а=1, р=О) строится аналогично, но начальная функция (р(х) продолжается на всю бесконечную прямую четным образом: (г(х), хе!!', Ф (х) = (р( — х), хе='К (11.
25) Функция 6, (х, В, !) называется функцией Грина задачи Дирихле для уравнения теплопроводности на полупрямой. Заметим, что функция и(х, Г), определенная интегралом Пуассона (11.21), удовлетворяет однородному уравнению теплопроводности в !з+ и ограничена в Й+ и в случае ограниченной кусочно-непрерывной функции (р(х) непрерывно примыкает при 1- 0 к функции (!)(х) в точках ее непрерывности. Очевидно, что это имеет место и в случае несогласования начальных и граничных условий: (р(0)~0.
При этом граничное условие и(0, !)= =0 выполняется только при (>О. Физический смысл функции 6, (х, $, !) следует из формулы (11.22) — функция 6,(х, $, Г) дает значение температуры в точке х полубесконечного стержня в момент времени г>0, если в начальный момент г=-0 в точке х=в>0 мгновенно выделяется количество тепла, равное р=ср, а граничное сечение х=О все время поддерживается прн нулевой температуре, для чего в точку х= — С нужно поместить мгновенный точечный отрицательный источник. С помощью функции Грина 6,(х,$, !) можно построить решение задачи Дирихле для неоднородного уравнения теплопроводности на полупрямой с однородными начальными и граничными условиями: и = а'и + ! (х, Г), (х, () ~ (2+, и (х, 0) = О, х я К+, сс (О, !) = О, ! ен (О, 7'!.
Решение задачи (!1.23) имеет вид и(х, С) =У(х, !)= 4) (6(х, $, С)+6(х, — ~, 1)) ори)с(о. «ее' Таким образом, решение рассматриваемой задачи можно за- писать в виде 0 и(х, с)=~ 4«о(х, в, с)сР(асса, о (11.26) где 64(х, $, С) =6(х, $, С)+6(х, — $, С) = с« — н' с«+м* 4«Ч + е 4«ес 2а 1«пс (11.27) Функция 62(х,$, С) называется функцией Грина задачи Неймана для уравнения теплопроводности на полупрямой. Отметим, что в случае непрерывной при хенм4 функции ср(х) н выполнении условия согласования ср,(0)=0 формула (11.26) определяет классическое решение и(х, С) задачи (!!.6) — (11.8) с граничными условиями Неймана (ос=1, р=О).
Если эти условия не выполнены, то функция и(х, С) удовлетворяет однородному уравнению теплопроводности в ос4, ограничена в 04. и непрерывно при 1- 0 примыкает к функции Чс(х) только в точках ее непрерывности. Если условия согласования не выполнены, то граничное условие выполняется лишь при С)0. С помощью функции Грина 6,(х, $,1) выражается решение задачи Неймана для неоднородного уравнения теплопроводности на полупрямой с однородными начальным и граничным ус- ловиями и,— аоа +с (х, !), (х, с) ~114., и(х, 0)=0, хе= й+, сс„(0, С)=0, с е!О, Т). Решение задачи выписывается в виде и(х, с) = ~ ') 6,(х, $, с — т))(з, т) сЦс(т, о о (11.28) 234 Рассмотрим снова задачу Коши (11.!8) на бесконечной прямой, где начальная функция Ф(х) определяется формулой (1!.25).
Записывая решение в виде интеграла Пуассона (11.! 1) и рассматривая функцию У(х, 1) на положительной полуоси, получим решение задачи (1!.6) — (11.8) при ос=!, р=О. При этом граничное условие Неймана выполняется в силу леммы 6.4. С помощью формулы (11.25) получим причем формулу (11.28) можно получить, воспользовавшись интегральным преобразованием Фурье на полупрямой с ядром соз Ах. Физический смысл функции бг(х, $, г) ясен из формулы (11.27). Функция Грина представляет собой температуру в точке х положительной полуоси в момент времени 1, если в начальный момент времени 1=0 в точке х=$ мгновенно выделяется количество тепла, равное р=ср, а поток тепла через сечение х=О все время равен нулю, для чего в точку ~ нужно поместить мгновенный точечный положительный источник мощностью р. Доказанная лемма позволяет использовать метод продолжения в случае однородных граничных условий более сложного вида.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
