Свешников, Боголюбов, Кравцов. Лекции по математической физике (1125176), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Перейдем в фоРмуле (5.15) к пределу при бх- 0 и 51 -О, считая, что величина импульса 1 сохраняется. В результате, учитывая формулу (5.13), получим иа(х, 1)= !пп иб(х,!)=0(х, х„1 — уа) — (5.15) бк ам а Р Функция ид(х, 1) описывает процесс колебания ограниченной струны с закрепленными концами, возбужденной мгновенным точечным импульсом мощности 1, приложенным в момент времени 1, в точке ха. Таким образом, из формулы (5.16) вытекает, что функция Грина 6(х, 8, 1) с физической точки зрения означает отклонение точки струны с координатой х в момент времени 1 при возбуждении струны в начальный момент времени 1=0 мгновенным точечным импульсом мощности 1=р в точке х=хв. *! Смл И л ъ и н В, А.
П о з н я к Э Г. Основы математического анализа. Ч 1. М ! Наука, 1982. 264 Решение ид(х, 1) задачи (5.1) — (5.3) с правой частью 1б(х, 1) записывается через функцию Грина по формуле (5.10): ! иб(х, 1) = ~ ~ Сз(х, С, 1 — т)1д(й, т)бЦс(т. д о й 6. ФОРМУЛА ГРИНА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИИ В этом параграфе получим представление решения начально-краевой задачи для уравнения колебаний в ограниченной области через функцию Грина. Напомним, что функция Грина С(М„М, 1о — с) может быть определена как регулярная обобщенная функция, являющаяся решением следующей начально-краевой задачи (см. 5 5 гл.
111): где ()с„), и (сп(М)), — собственные значения и ортонормированные собственные функции оператора (л с'.и+ йро = О, а — + рс' ) = О, ( а ( + ) ~) ~ О. дп Рассмотрим следующую задачу для уравнения колебаний в ограниченной области; осси=7.и+7(М, Е), М ев, с>О, (6.5) а — + Рсс ! = р (Р Г)!лез, ~ а) + (Р 1 Ф О. (6.6) дл [и!с=о=ср(М), и,!с=о=1(М).' (6.7) Будем считать, что задача (6.5) — (6.7) имеет решение. Чтобы выразить это решение через функцию Грина С, используем формальный метод, примененный для уравнения теплопроводности в э 12 гл. Ъ'1.
Умножим уравнение (6.5) на С(М„М, (о — 1), а уравнение (6.1) на и(М, с). Вычитая одно соотношение нз другого и интегрируя по МеяР и (~[0, оо), получим ~ р (Сил — иСи) с(рс(с' = ') '1 (С(.и — и) С) Лс(1+ о Ь о й + ~ 'п(с1' — иб(м, м,)б(г,— 0)с(УФ. о о (6.8) 266 РСи=7мС+6(М, Мо)б(Го — Г), Ма=0, Г)0, (6.1) сс — +РС~ =О, ',а)+ ~~~ ~0, ° (6 2) дп дп 3 С~. А=О, С,~.
и=О, (6.3) где 1л=с)(т(л пгас) и) — дш Функция Грина представима в виде ряда Учитывая (6.3), преобразуем интеграл, интегрируя по частям: ~ (6(М, М, Го — 1)ии — и6и(Мо, М, 1,— 1))о(1= о = ~ (6ии — и6„) а(! =6(Мо, М. 1о — 1)ио(М, 1)~ о — и(М, 1)6,(М„М, 1,— 1)( о=-о = — 6(Ма М го)ио(М, О)+и(М 0)6о(Мо М 1о). (69) Интеграл в правой части (6.8) преобразуем, используя вторую формулу Грина: ~ ~(67-и — и~.6) Нго(1+~ ~ 06 иб(М Мо)б(1е 1)) Лг~(1= о и е и и =~ ~ й ~6 — и — и ' о(Ы1+~ ~~6ИИ! — и(М, го),(6.10) о 5 а о Подставляя (6.9) и (6.10) в (6.8) и учитывая, что 6о (Мо М 1о 1) ~ !=о = — 6 (Ма М 1о 1)! !=о получим и(Мо, ! ) =~ ~6(Мо, М, 1о — 1) 7(М, 1) сП/о(1+ о о +') ф й (6(М,, Р, 1,— 1) — '" (Р, 1) — (Р,.) — , '(М,, Р, 1,— 1)~ х о з х о(хай +) р(М) (6(Мо, М, 'о) и,(М, О)+и(М, О) 6и(М„М, го)) о!'г'.
(6. 11) Из формулы (6.11) легко получаются представления решения задачи (6.5) — (6.7) . Выпишем решения для граничных условий первого, второго и третьего рода отдельно. Для граничных условий Дирихле (а=0, р=!): и~з=р(Р, 1)1реа, 611з=0. Поэтому решение имеет вид о и (М, 1) = ~ ~6 (М, Я, 1 — т) !'(Я, т) сЛ/о(т— о 266 — ~ ~ й)с — (М, Р, с — т)с(зс(т+ дб, дл +~р(6,(М, а с)фД+РДП, (м, д,с)) (р. Р Для граничных условий Неймана (со=1, Р= О): ди дО, — = 1с(Р, 1) (лез, — ' = О.
дл ~з дл Решение задачи (6.5) — (6.7) имеет вид и(М, с)= ~ ~Оо(М, 9, с — т))(Сс, т)с()'с(т+ о Ь (6.12 ) + 1 $Ь(Р)П (М, Р, 1 — )1с(Р, т) с(зс(т+ о з + ~ Р Жг(М~ Я~ С) Ф(Ф+~Р(ФПос (М, (), С)) с()с. о (6. 13) В случае граничных условий третьего рода (а=1, Р=Ь): дл - — +Ь (з=р(Р, 1Иге,, — '+Ьа,(з=О, дпо = дл дл и решение задачи (6.5) — (6.7) представимо в виде и(М, 1)=) ~бо(М, Я, С вЂ” т)7;(Я, т)с()/с(т+ о Ь + ~ фй(Р) сто(М, Р, с — т) р(Р, т) с(асят+ о з +~Р(фас,(М, а, г)+Р(®В„(М, ~,;)аР, (6,14) и $7. УРАВНЕНИЕ КОЛЕБАНИИ НА НЕОГРАНИЧЕННОЙ ПРЯМОЙ 1. Постановка задачи с начальными условиями для неограниченной струны 267 При математическом описании любого физического процесса прежде всего необходимо поставить задачу, т.
е. сформулировать условия, достаточные для однозначного определения процесса. В том случае, когда физическая задача сводится к уравнению в частных производных, для однозначной характеристики процесса необходимо к уравнению присоединить некоторые дополнительные условия. В случае простейшей задачи, описывающей процесс поперечных колебаний струны, для однозначного определения решения к уравнению колебаний нужно еще добавить начальные и граничные условия.
Отметим, что если точка струны с координатой х достаточно удалена от границы, то влияние граничных условий сказывается в точке х через достаточно большой промежуток времени. Поэтому если нас интересует явление в течение малого промежутка времени, то вместо полной задачи можно рассматривать задачу с начальными условиями для неограниченной струны. Эта задача ставится следующим образом: ии —— а'и,„+1(х, 1), (х, 1) ~(), (7.1) и (х, О) = ср(х), и,(.х, О) =- ф (х), х ен й', (7.2) где а' — постоянный коэффициент, а область Й имеет вид 11= =К'Х(0, со), Я=К'Х10, оа).
Напомним определение классического решения. О п р е д е л е н и е. Классическим решением задачи с начальными условиями (7.1), (7.2) называется функция и(х, 1), непрерывная вместе со своими первыми производными по 1 в замкнутой области Й, имеющая непрерывные производные второго порядка в открытой области 11, удовлетворяющая в Р уравнению (7.1) и при 1- 0 начальным условиям (7.2). Учитывая линейность задачи (7.1), (7.2), можно провести ее редукцию и представить решение и(х,() задачи в виде суммы решений двух задач: и (х, 1) = — и1(х, 1)+из (х, 1), где и,(х,1) — решение задачи Коши для однородного уравнения колебаний с неоднородными начальными условиями, из(х, 1) — решение задачи для неоднородного уравнения колебаний с однородными начальными условиями.
2. Формула Даламбера Рассмотрим задачу Коши для однородного уравнения колебаний: и и = а'и„„(х, 1) ен 11, (7. 31 и (х, О) =.~р(х), и,(х, О) = ф (х), х ~ К'. (7 Хб Предположим, что существует классическое решение задачи (7.3), (7.4). Преобразуем уравнение колебаний (7.3) к каноническому виду, содержащему смешанную производную (см.
гл П). Уравнение характеристик уравнения (7.3) имеет вид 268 (7.6) (?.8) 269 (с(х)* — а' (с(г)' = 0 и распадается на два уравнения: г(х — ааг = О, г(х+ ай = О. Характеристиками являются два семейства прямых: х — а~ = С„х+ а~ = См где С, н Сз — некоторые постоянные. Введем новые переменные $=х — ай Н=х+ай Тогда уравнение колебаний (7.3) преобразуется к виду (?,„= о. (7.
5) где У(9, п)=и(х(Я, т)), уЯ, Ч)). Найдем общий интеграл уравнения (7.5). Для всякого реше- ния уравнения (7.5) получаем (?„а. )=М, где 7(п) — функция одного переменного и. Интегрируя по- следнее равенство по и при фиксированном $, получим (?6 Ч) =~,Г(Ч)~()+6%) =6 6)+~а(т)).
где функция ),(а) является функцией только переменного $, а 72(п) — функция только переменного и, Верно и обратное: ка- ковы бы ни были дифференцируемые функции 71(9) и ?2(Ч) функция У(~, н), определяемая формулой (7.6), представляет собой решение уравнения (7.5). Так как всякое решение урав- нения (7.5) может быть представлено в виде (7.6) при опре- деленном выборе функций (, и )2, то формула (7.6) является общим интегралом этого уравнения.
Следовательно, функция и(х,1) =-1, (х — а1)+7;(х+аГ) является общим интегралом уравнения (7.3). Определим функции ), и (2 таким образом, чтобы удовлет- ворялись начальные условия (7.4): и(х, 0) =7',(х)+~,(х) =~р(х), (?.7) и,(х, 0)= — а?1(х)+а12(х) =-ф(х), хе-=к', где штрих означает производную по полному аргументу соот- ветствующей функции. Обозначим аргументы функций 1, и (2 через ~, Тогда, инте- грируя второе из равенств (7.7), получим 11 К)+72 (~) %(~) — 7, (1) + 7, ('„) = — ( 1 (г) Нг+ С, а,) ц где ~а и С вЂ” некоторые постоянные.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
