Свешников, Боголюбов, Кравцов. Лекции по математической физике (1125176), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Вычитая и складывая равенства (7.8), получим (7.9) ?,(") = — — «с(") — — ~ ф(г)йг — —, 2 ' аа) г' м 1 ,',(') = — ~((ь) г ~ ф (г) йг+ —, 2 2а 2' э причем последние два равенства должны выполняться при любом значении аргумента 1~1'. Подставляя найденные выражения (7.9) для функций 1, и (г при значении их аргументов соответственно с=х — а! для 1,($) и в=х+а! для ),Д) в формулу (7.6), получим «-«ы и(х, !) — ~( ) ~( + ( ф(г)йг.
(?,10) 2 2а .1 « — ы С Заметим, что постоянные .+ —, входящие в формулы (7.9), 2 ' в выражении (7.10) для решения исходной задачи сократились. Формула (7.10) называется формулой Даламбера. 3. Существование, единственность и устойчивость решения задачи Коши Формула Даламбера (7.!О) дает возможность доказать единственность, существование и устойчивость решения задачи Коши (7.3), (7.4).
Т е о р е м а 7.4. Пусть функция ~р (х) дважды непрерывно дифференцируема, а функция ф(х) непрерывно дифференцируема на бесконечной прямой К'. Тогда классическое решение задачи Коши (7.3), (7.4) существует, единственно и определяется формулой Даламбера (7ПО). Д о к а з а т е л ь с т в о. Единственность. Предположим, что классическое решение задачи Коши (7.3), (7.4) существует. Тогда оно представимо в виде (7.10). Если существует второе решение задачи (7.3), (7.4), то оно также должно представляться формулой (7.10) и тем самым совпадать с первым. Существование. Пусть функция ф(х) дважды непрерывно дифференцируема, а функция ф(х) непрерывно дифференцируема на бесконечной прямой. Тогда непосредственной проверкой легко установить, что функция и(х, 1). представимая формулой Даламбера (7.!О), является классическим решением задачи Коши.
° 3 а и е ч а н и е. В формулировке теоремы условия, накладываемые на начальные функции Ч~(х) и «р(х), менее жесткие, чем в теореме существования решения начально-краевой за- г?о дачи для уравнения колебаний на отрезке. Это связано с различными методами доказательства соответствующих теорем.
Формула Даламбера дает возможность доказать устойчивость решения задачи Коши (7.3), (7.4) по начальным данным. Обозначим через и,(х, 1) решение задачи Коши (6.3), (6.4) с начальными функциями ~р«(х), арк(х), з=!, 2. Тео ре м а 7.5. Пусть начальные функции ф,(х) и арк(х) (з=1, 2) двух задач Коши (7.3), (7.4) удовлетворяют услови!ср,(х) — <ра(х) ! (е, хан(х' ~ 1ф, (г) — аРа (г)1' г(г ( аа (Ь вЂ” а)' (7.11) к — а! Оценивая интеграл в правой части с помощью неравенства Коши — Буняковского «+або к-';-аа «ч-а8 (фг(г) — «р,(г)~ аг(( ~ (ф,(г) — ф (г)(ааг) ~ ~ ~ Нг~ ~ к — аг к — а1 к — а! и учитывая неравенство (7.1!), имеем оценку )и,(х, 1) — и,(х, 1)~ ( (— + — + — 2а1(е(1+Т). ° 2 2 2а 3 а м е ч а н и е. Сформулированная теорема устойчивости справедлива для любых функций и1(х, 1) и и,(х, 1), представимых формулой Даламбера.
Поэтому можно расширить понятие решения задачи Коши (7.3) — (7.4) для случая негладких начальных функций ~р(х) и ар(х). Решением задачи Коши в случае негладких начальных функций будем называть предел выражений, представленных формулой Даламбера (7.!О), полученных для сглаженных начальных функций ~р(х) и «р(х), сколь угодно близко аппроксимирующих функции гр(х) и ф(х). 271 для любых постоянных а и Ь. Тогда для решения этих задач при 1~'!О, Т'! выполняется неравенство )и,(х, 1) — и,(х, 1)) (е(!+Т), (х, 1)ей, (7.12) Д о к а з а тел ьс т во. Записав решения и~(х, !) и иг(х, 1) задач Коши (7.3), (7.4) с помощью формулы Даламбера и оценивая модуль разности, получим ) и,(х, 1) — и,(х, 1)! ( — (~Р, (х — а1) — ~Ра(х — а1)1+ 1 к+аа + — (~р, (х+ а1) — <ра (х+ а!) ( + — ~ ! «р«(г) — ф, (г) ~ дг.
1 1 2а 4. Физическая интерпретация решения Функция и(х, 7), определяемая формулой (7.!0), представляет процесс распространения начального отклонения и начальной скорости. Если фиксировать некоторый момент времени Г=(а, то функция и(х, Г,) дает профиль струны в момент времени Гь Зафиксировав точку х=х„мы получим функцию и(ха, г), которая описывает процесс движения точки ха. Предположим теперь, что некоторый наблюдатель, находившийся в точке х=О в момент времени Г=О, движется со скоростью а в положительном направлении оси х. Введем систему координат (х', К), связанную с наблюдателем.
Для зтого положим х'=х — аг, В системе координат (х', Г') функция и(х, 1) =) (х — а() определяется формулой и=)(х'), т. е. наблюдатель все время видит тот же профиль, что и в начальный момент. Следовательно, функция и(х, Г) =1 (х — аГ) представляет собой неизменный профиль 1(х), который перемещается вправо (в положительном направлении оси х) со скоростью а. Иными словами, функция и(х, Г)=)(х — а() представляет собой бегущую волну, распространяющуюся в положительном направлении оси х сд скоростью а. Для краткости мы будем называть ее правой бегущей волной.
Аналогично функция и(х, 1)=1(х+а1) представляет сооой бегущую волну, распространяющуюся со скоростью а в отрицательном направлении оси х, т. е, левую бегущую волну. Таким образом, общее решение (7.6) задачи Коши для бесконечной струны (7.3), (7.4) есть суперпозиция двух бегущих волн; правой волны 1 7, (х — а7) .= — гр (х — а1) — Ч'(х — а ~) 2 и левой волны ! ,', (х + а() = — ~р (х+ а1) + Ч' (х+ а ~), 2 где функция Ч' имеет вид Чг (ь) = — ф (2) г( 2а 1 г ."а — некоторая постоянная.
Для выяснения характера решения (7.6) задачи К, от. (7.3), (7.4) удобно пользоваться плоскостью состояния (х', или фазовой плоскостью. Как было отмечено в п. 2, прях;„ х — аГ=Сь х- а(=Си где С, и С. — некоторые постоянные, я„ ляются характеристиками уравнения (73). Функция и= =1(х — аГ) вдоль характеристики х — аГ=С, сохраняет постоянное значение ((С,), функция и=((х+а() постоянна вдоль характеристики х+а(=Сз и равна 1(Са). 272 Пусть функция !(х) отлична от нуля в интервале (хь х2) н равна нулю вне этого интервала. Проведем на фазовой плоскости через точки (хь О) и (х„0) соответственно характеристики х — а1=х, и х — а!=ха Эти характеристики разбивают верхнюю полуплоскость !>О фазовой плоскости на три области (рнс.
7.1). функция и(х, !) =1(х — а!) отлична от нуля только в области П, где выполняются неравенства хг<х — а!<хь В областяк 1 и П1 выполняются соответственно неравенства х — а!>х, и х — а!<х, и функция и(х, !) =!(х — а!) равна нулю.
Характеристика х — а1=х, представляет собой передний фронт правой бегущей волны и=!(х — а!), а характеристика х — а!= =х, — ее задний фронт. Аналогичным образом можно дать интерпретацию левой бегущей волны на фазовой плоскости (х, 7). Выберем на фазовой плоскости некоторую фиксированную точку М(х„!р) и проведем через нее характеристики х — а)= =хо — а1, и х+а(=хс+а!ь Эти характеристики пересекут ось х соответственно в точках Р(хо — айл О) и Я(хо+а8,, О) (рис.
7.2). Значение функции (7.6) в точке М(хо, !с) равно "6~;-а~,, 4~ К(х а~,а7 х Х2 Рис. 7Д Рис. 7 1 и (х„1,) = (, (х, — а!,) + ~, (х, + а(,) . .чм образом, значение функции и(х, !) в точке М(хм 1„) [еляется значениями функций 1,(х) и 1,(х) в точках (, — а1,, О) и 9(х,+а!м О) соответственно, являющихся верми треугольника МР71, образованного отрезками двух хазристик и отрезком оси х (см. рис. 7.2). Этот треугольник вается характеристическим треугольником точки М(хю, !о).
формулы Даламбера (7.!О) видно, что отклонение и(хс, !с) чки х, струны в момент времени !о зависит только от значений начального отклонения в вершинах Р(х,— а!с, О) и Я(хст +а!о, О) характеристического треугольника МРЯ и от значений начальной скорости на стороне РЯ. Поэтому формулу (7.!О) удобно переписать так: 273 и(М)= ~( 1+2( 1 + — ' [ !Р(г)!(с. 2 2а (7.14) ( 5!Пх, х~[0, л), !р (х) = ~ О, х 4~ [О, и[.
Обратимся снова к фазовой плоскости. Проведем через точки Р(0, 0) и (,!(и, 0) правые и левые характеристики. Эти характеристики разобьют верхнюю полуплоскость фазовой плосности на шесть областей (рис. 7.3). Рассмотрим, чему будет равно отклонение и(х, () струны в каждой из этих областей.
ха-с х, ха+ с Рис. 7.4 д аг Рис. 7.3 Так как начальная скорость равна нулю (ф(х) =— 0), из формулы Даламбера (7.10) следует, что отклонение струны в каждой из областей есть сумма левой и правой бегущих волн: и (х, ().= — (!р(х —,а()+!р(х+а!)). ! (?.1 5) Из формулы (7.!4) следует, что в областях 1, П1 и Ъ' отклонение равно нулю. В самом деле, если взять в любой из этих областей точку М (хс, !с) и построить для нее характеристический треугольник, то вершины при основании этого треугольника на оси (= =0 лежат вне отрезка [О, и), на котором функция начальных условий отлична от нуля. Из аналогичных построений вытекает, что в области П будет существовать только правая нол- 274 Начальные данные !р(х) и ф(х), заданные вне отрезка Рс), не оказывают влияния на значения функции и(х, () в точке М(х,, (,).
Физически это связано с конечной скоростью распространения возмущения вдоль колеблющейся струны. Рассмотрим два примера. П р и м е р 1. Пусть начальные скорости равны нулю: ф(х)=0, а начальное отклонение струны является локальным. т. е. отличным от нуля на отрезке [О, и) и равным нулювнеэтото отрезна. Пусть, например, функция !р(х) имеет следующий вид: ! на и (х, !) = — <р(х — а!), а в области 1Ч вЂ” левая волна 2 1 и(х, !)= — ~р(х+а!). Если, наконец, построить характери- 2 стический треугольник для любой точки М(хе, !е) области Ч1, то обе вершины при основании этого треугольника будут находиться в пределах отрезка (О, и]. Следовательно, в области 'т'1 отклонение будет представлять собой сумму правой и левой волн (7.16).
Итак, в различных областях отклонения будут иметь следующий вид: и(х. !) =0 в области 1, 11! и Ч; ! и (х, !) = — е1п (х — а!) в области 11;, 2 ! и (х, !) = — з!п(х+а!) в области 1Ч; 2 и (х, !) = — (з(п(х — а!)+з(п(х+а!)] =э!пхсоза! в области Ъ'1, 1 2 т. е. в этой области суперпозиция правой и левой бегущих волн дает стоячую волну. П р и м е р 2. В качестве второго примера рассмотрим случай, магда начальное отклонение тождественно равно нулю ч~(х) =О, а начальная скорость отлична от нуля и равна постоянной аре только в е-окрестности точки ха.. (7. 16) ( ф,, х ~(х,— е, х,+е).
В этом случае из формулы Даламбера (7.10) следует, что возмущение струны можно записать следующим образом: к.~-а! и, (х, !) = — ( ф (г) е(г. (7.17) 2а,! к — аа Снова рассмотрим фазовую плоскость (х, !) и проведем через точки Р(х,— е, О) и Я(ха+а, О) характеристики, моторые разобьют верхнюю полуплоскость на шесть областей (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
