Свешников, Боголюбов, Кравцов. Лекции по математической физике (1125176), страница 47
Текст из файла (страница 47)
21) 4. Метод спуска а0 зйач 005 т 005 т 292 Формула Пуассона (9.21) получена для общего трехмерного случая. Однако с ее помощью можно решать задачу для уравнения колебаний и на плоскости и на прямой. Рассмотрим сначала двумерный случай. Пусть входные данные задачи коши не зависят от г: 59=59(х, у), 5)=5р(х, у), 1=1(х, у, Г). Тогда в формуле Пуассона (9.21) функция и также не зависит от г: ис и(х, у,1) — и от интегрирования по поверхности сферы можно перейти к интегрированию по ее проекции на плоскость 2=0, т.
е. по кругу радиуса ай При этом следует учесть, что верхняя и нижняя полусферы проектируются на один и тот же круг (рис. 7.9), Очевидно, элемент 5(з поверхности сферы связан с ее проекцией 5(о на плоскость г= =О соотношением где у — угол между внешней нормалью к сфере и осью г н 2 — (9.22) соз у— а1 а1 Рис. 7.10 Рис.
7 9 Поскольку о(з=гоо(то=(аг)'с(то, то с учетом (9.22) получим на сфере радиуса г=аà — = агато†до %дЧ (9.23) Г )' (а1)а — (х — О)а — (у — Ч)' Интеграл в формуле Пуассона (9.21) по шару Кат с центром в точке М и радиусом аг предварительно преобразуем следующим образом: )(() 1 МЯ ) а )(О) 1 ЛЩ ) км о м ат ат (9.24) 293 1 ') 1((1 т) )тл194(то. 4ла о хм ат Подставлнн (9.23) и (9.24) в (9.21), получим двумерный аналог формулы Пуассона н(х у Г)= — ( — ( ' + 1 ( д ( е(а Ч)д~дч 2ла ( д1 .) ут(а1)т — (х — $)т — (у — Ч)' у от а1 Ф (о, Ч) ядр от а ! 1 (Д ( )6' Ч' 1 т)дадч (925) 2 ) .) У( )' — ( — $)' — (у — Ч)' о им ат где (/,1 †кр радиуса аГ с центром в точке М.
Рассмотрим теперь одномерный случай. Будем снова ис- ходить из формулы Пуассона (9.21). Пусть входные данные задачи (9.1), (9,2) зависят от одного пространственного пере- менного х: (р=(р(х), тр=тр(х), )=1(х, 1). Введем сферическую систему координат с центром в точке М(х), ось которой напра- вим по оси х. Очевидно (рнс. 7.10), ((з=гт((0) с газ)пб ((0(((р. Из рисунка следует, что О=х+Гсо50, ((е= — гз)пб(20, поэтому г (((О = г 5)и 0 ((0 О((р = — ($ (((р. Из формулы Пуассона (9.21) получим 1 ( д !". и (х, !) = — 1 — ~ г(р((0)+ ~ гтр((0)~ + 4па 1 д! ьм а! а! 20 х — а! + — ( ((т ~ 7'(Я, 1 — — ') г((0)= — — '~ — ( (((Р ( (Рф( — ($)+ о м 0 х+а! ат 20 к — а! Оа х-а(! — т) +~ й ~ фе( — а)~+ —,' ~( ~ бр ~ (а )%= 0 к+а! О О к',-а(! — т) к+а! к-та! х-'ат 2а ~ д! д д ~ 2а х — а! к — а! О к — ат (9.26) Проднфференцируем п рвый интеграл в правой части формулы (9.26) по 1 и сделаем в последнем интеграле замену 1 — т на т.
В результате получим хорошо нам известную формулу (7.24): к-(-а! О) (х+ а!) + !р (х — а(1 1! ~ „+ 2 20 к — а! к+а(! — т) 2 0 к — а(! — т) н, в частности, при 1'=0 формулу Даламбера (7.10). Отметим, что уравнения колебаний с тремя, двумя и одним пространственным аргументом часто называют уравнениями сферических, цилиндрических и плоских волн. Метод, заключающийся в получении из формулы решения с большим числом пространственных переменных формулы ре- 294 щения с меньшим числом пространственных переменных, но- сит название метода спуска Адамара. Этот метод применим не только к уравнению колебаний, но и к другим типам урав- нений.
5. Локальные начальные условия Пусть в задаче (9.1), (9.2) функция 1(М, Г) тождественно равна нулю. Рассмотрим случай локального начального возмущения, когда функции чр(М) и рр(М) отличны от нуля только в некоторой ограниченной области Рр. Будем изучать изменение состояния и(Мр„ 1) в точке Мо=(хр, ур, ар) трехмерной области, лежащей вне области Ор. Формула Пуассона (9.21) при 7'(М, 1) — = 0 имеет вид " "= — '~ — 'Р"'Р"'1 М, хмр рр -рг Функция и(Мс, 1) отлична от нуля только в том случае, если сфера Х.1' пересекает область начальных значений О,.
Пусть а, и 212 — расстояния от точки Мр до ближайшей и наиболее удаленной точек области Ор.. 4= пцп р(М„М), ди= гпах р(М„М), МЕВ МЕО где р(М„М) — расстояние между точками М, и М (рнс. 7.11). Если 7< 1,= —, то Х',г'П О,= Я ар м, а и и(Мр, 1)=0, т. е. возмущение до точки М, еще не успело дойти. Если 1,= — <1 < 1, = —, то 4 ' р а' а а г Хрг' П О, Ф 8 и, вообще говоря, ! и (М,, 1) ~ Π— точка М, находится г ар в возмущенном состоянии. ЮР '7г ЕСЛИ Г)12= —, тО Х г'П О,= и и(М„Г) =0 — возмущение прошло точку'М,. Таким образом, прн распространении локального возмущения в трехмерном пространстве отсутствует явление после- Рис 7.11 действия. Если точка М, принадлежит области О„ то возмущение в ней отлично от нуля вплоть до момента времени Г = †, где д = а а =гпахр(М,, Р) — максимальное расстояние от точки М, до грани- Рез цы области О,.
29$ ог(з, ч) Ждч У~ао)' — ( ° — $)' — Ьо — Ч)' ~ имо оо (9.28) т. е. начальными значениями в точках Рф, Ч), принадлежащих м, кругу Уоо* радиуса а~ с центром в точке Мо. Пусть а(1 — расстояние от точки Мо до ближайшей точки области Оо. Если )~!, = — ', то ~l„'() Оо=о и и(М„!)=Π— возмущение еще не дошло до точки М,. Если о))о то (/,")'() О,~ Я и и(Л(„о) ~0. Начиная с момента )=~ь в точке М, возникает возмущение, которое сначала возрастае~, а затем, начиная с некоторого момента из-за наличия величины (ао)' в знаменателе подынтегральных выражений, постепенно убывает до нуля при 1- са. В этом явлении последствия и заключается отличие плос.
кого случая от пространственного. Мгновенная картина воз- 296 Рассмотрим теперь мгновенную пространственную картину возмущения и(М, го) в некоторый момент времени 1о. Точки М, находящиеся в возбужденном состоянии, характеризуются тем, что сферы Х,и пересекают область начальных возмуще- ний Оо. Таким образом, множество точек )о', в которых возму- щение отлично от нуля, состоит из точек М, находящихся на м сферах Хоо, радиуса аоо с центрами в точках М' области О;.
)У= Ц 2."„' м еО, м. Огибающие семейства сфер Х„„ЛГ с:- О,, являются граница- ми области )о'. Внешняя огибающая называется передним фронтом, внутренняя — задним фронтом распространяющейся волны. Следовательно, в трехмерном случае начальное возмуще- ние, локализованное в пространстве, вызывает в каждой точке Мо пространства действие, локализованяое во времени. При этом имеет место распространение волны с резко очерченными передним и задним фронтами — выполняется принцип Гюй- генса. Перейдем к случаю двух пространственных переменных Пусть локальное возмущение задано в двумерной области О, на плоскости (х, у).
Рассмотрим изменение состояния и(М,,о) в точке Мо, лежащей вне О,. Возмущение и(М,, о)=и(хм уо, о) в точке М, в момент г определяется согласно формуле (9.25) выражением и (х„у„~) = — (— (а ч (з, ч) дйдч л 2па ( д~,] T(аО)о — (хо — $)о — (уо — Ч)' им оо мущений на плоскости имеет резко очерченный переднизв фронт, но не имеет заднего фронта. Влияние начальных возмущений, локализованных на плоскости, не локализовано во времени и характеризуется длительно продолжающимся после- действием. Принцип Гюйгенса не выполняется.
Наличие последействия в двумерном случае, в отличие от трехмерного, когда последействие отсутствует, легко объяснить. Двумерный случай является частным случаем трехмерного, когда начальные условия заданы в бесконечном цилиндре, который пересекает сфера любого сколь угодно большого радиуса с центром в точке Мо. 6. Установившиеся колебания Рассмотрим в заключение задачу (9.1), (9.2) с нулевыми начальными условиями и правой частью, являющейся периодической функцией времени: ~(М, 1)=7(М)н- ~, (9. 29) где 1(М) — финитная функция с локальным носителем в области 1з: зцрр )1с Р ю.
Формула Пуассона (9.21) дает 1 — и и(М, 1)= ' (' "0' ()у. ) и (9. 30) к/и а~ ~ — и и(М, 1)= — ны 1(д1 мя 1 н — (1( —, (9.31) а а ) ! н — '"')1 (М), 1) — "', а м Сиз Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М: Наука, 198В. 297 Обозначим через е(, и 4 соответственно минимальное и максимальное расстояния от точки М, не принадлежащей носителю функции 1, до носителя: е(з= ппп о(М, Я), 3я= гпах р(М, Я).
Онзчар1 ОезеРР1 Тогда, учитывая формулу (9.30), получим О, 0(1( — ', а где функция )г(М) имеет вид ,'. "мЕ у (М)= ' (' !(О' Л, (9.32) 4аак,) амс о Интеграл в средней строчке формулы (9.31) зависит от 1, поскольку от ! зависит область интегрирования, в то время как функция У(М) от времени не зависит. Следовательно, в каждой точке М, начиная с момента времени го(М)= ' ', под Кк (А4) а действием локального периодического возбуждения устанавливаются периодические колебания с той же частотой.
Амплитуда этих колебаний определяется формулой (9.32). Средняя строчка формулы (9.31) определяет процесс перехода к установившимся периодическим колебаниям. й 10. ЗАДАЧА С ДАННЫМИ НА ХАРАКТЕРИСТИКАХ (ЗАДАЧА ГУРСА) В $ 7 явное аналитическое выражение решения задачи с начальными условиями для уравнения колебаний на бесконечной прямой было получено методом интегрирования по фазовой плоскости. Этот метод оказывается удобным и в ряде других задач, в частности для решения простейших задач с дополнительными данными, заданными на характеристиках. Начнем с решения простейшей задачи, заключающейся в определении для х>0 и у>0 решения неоднородного уравнения и„„= ! (х, у), х > О, у > 0 (1 0.1) с заданной правой частью и дополнительными условиями: п(х, О)=(р,(х), и(0, у)=-кр,(у), (10.2) ко, (0) = ср, (0) = и (О, О) .
(10.3) Так как прямые х=сопз! и у=сонэ! являются характеристиками уравнения (10.1), то задача (10.1) — (10.3) называется задачей с данными на характеристиках, нли задачей Гурса. Существование и единственность решения задачи (101)— (10.3) будет следовать из дальнейших рассмотрений Пусть решение задачи (10.1) — (10.3) существует. Получим его явное представление через входные данные. Для определения решения задачи (10.1) — (10.3) в произвольной точке (х, у) проинтегрируем (10.1) по прямоугольнику 0=(0<в<х, 0<о)<у). Интеграл от левой части уравнения (10.1) с учетом дополнительных условий (10.2) дает к д ~ и„„к(з = ~ ~ и1„Щк(к) = и (х, 9) — и(х, 0) — и(0, у)+ и (О, 0) = б о о =и(х, у) — кр,(х) — <р,(у)+~р,(0), 2во откуда и получается явное аналитическое выражение для решения задачи (101) — (10.3) через входные данные — функции еч (х), грг(у), 1(х у): и(х у) —,р,(х) 1 гр (У) — <Р,(0)+ ) '11(с, т1)~(яг!т1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
