Свешников, Боголюбов, Кравцов. Лекции по математической физике (1125176), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Если мы считаем, что все источники волн расположены в конечной области пространства, то два последних решения, содержащие приходящие из бесконечности волны, не имеют физического смысла. Решением, имеющим физический смысл, является ре- шение !со (комм,) экспоненциально убывающая на бесконечности и при М-к-М0 имеющая особенность вида К (хймм,) — !п 1 зймм, При с=йз>О ситуация аналогична трехмерному случаю. В ограниченной области решения Н0" (Ммм,), Н0" (Ымм,), )У, (Имм,) эквивалентны и являются фундаментальными решениями уравнения Гельмгольца Ьи+й'и=О.
Напомним, что эти функции при М-~М)) имеют логарифмическую особенность, поскольку ))л) 2) 1 2 1 Н0 ' (х) = т- — 1п —, !)(,(х) = — !п — при х-к.+О. и х )к х В неограниченной области фундаментальным решением уравнения Гельмгольца Ли+йки=О при й'>О является одна из функций Но ' (Ымм,) в зависимости от того, какое дополни- (),2) тельное условие поставлено на бесконечность. Напомним также поведение этих функций на бесконечности: л ) Н,' (х)= 1)) — е 1 ) / при х + оо.
2 ~1 к— ях Отметим, что все фундаментальные решения уравнения Ьи+си=О на плоскости имеют такую же логарифмическую особенность, как и фундаментальное решение уравнения' Лапласа на плоскости. 2. формулы Грина В гл. П! получены первая и вторая формулы Грина для общего эллиптического самосопряженного оператора. Естественно, что они справедливы и для оператора Еи= =Ли+ си. При выводе третьей формулы Грина использовалось фундаментальное решение уравнения Лапласа. Мы только что установили, что особенности фундаментальных решений уравнения Лапласа и уравнения Гельмгольца совпадают. Поэтому для вывода третьей формулы Грина для оператора Ли+си нужно повторить все те же рассуждения, которые проведены в $ 1 гл.
Ч. Мы этого делать не будем, а приведем в качестве примера окончательную формулу для случая с=йз. Она имеет вид тя 4яц(М), М ~Р, — ~ (Ьи+леи) — йР= 2пи(М), М ен5, й о О, М АР (МейР). (2.7) 1 - мам г + — ~ 7(Р) ' е(г'Р 4п о мг (2.8) в любой внутренней точке области Р.
Отсюда, так же как и для гармонических функций, получаем, что любое решение уравнения Гельмгольца в любой внутренней точке области Р имеет производные всех порядков. 3. Потенциалы уравнения Гельмгольца Из соотношения (2.8) видно, что произвольная достаточно гладкая функция и может быть представлена в виде трех слагаемых, называемых потенциалами: объемного потенциала, потенциала простого слоя и потенциала двойного слоя.
Потенциалами Гельмгольца называются следующие потенциалы: млмч о(М) = ~ р(Я) е е(г'о — объемный потенциал, о имп млмг $'(М) = ~ р (Р) е е(5р — потенциал простого слоя, им д мам~ Ж'(М) = — ( т (Р) — ' й5р — потенциал двойного слоя. дп ~м Поскольку ядра этих потенциалов имеют ту же особенность при совпадении точек М и Р, что и потенциалы для уравнения Лапласа, то они обладают теми же свойствами, за исключением того, что они удовлетворяют другим уравнениям. Перечислим этн свойства.
331 В формуле (2.7), как и прежде, и(М) — дважды непрерывно дифференцируемая в Р функция, непрерывная вместе с первыми производными в Р05, 5 — поверхность Ляпунова, п — внешняя нормаль к 5 (внешняя по отношению к области Р), )7= =)тме. В формуле (2.7) можно использовать и другое фундаментальное решение. Аналогичная формула имеет место и при с= — х'. Из (2.7) сразу получается интегральное представление решения уравнения Аи+йеи= — 7: ! ~(ди е '~лмг д е и "мг и(М)= — ь ! — — и — ~ е(5„+ 4и Х ( ди йм' д"' Лмг Объемный потенциал о(М) с непрерывно дифференцируемой плотностью р(Я) является дважды непрерывно дифференцируемой функцией, удовлетворяющей уравнению Ао+ ято = — 4пр (М). При МФ5 потенциалы простого слоя У(М) и двойного слоя К(М) удовлетворяют однородному уравнению (и+у)т=О, Айт+йЧР=О.
Потенциал простого слоя т'(М) с непрерывной плотностью р(Р), заданной на поверхности Ляпунова, является непрерывной функцией во всем пространстве, а его нормальная производная имеет разрыв при переходе через поверхность 5, величина которого определяется формулами — (Р)) = ( — (Р)) +2пр(Р), ( — (Р)) = ( — (Р)) — 2пр(Р), Р ~ 5. Здесь использованы те же обозначения, что и в В 6 гл. 'Ч. Потенциал двойного слоя )(т(М) с непрерывной плотностью ч(Р), заданной на поверхности Ляпунова, претерпевает разрыв при переходе через поверхность 5, величина которого определяется соотношениями В'; (Р) = — Ф' (Р) + 2лт (Р), К, (Р) = Ж' (Р) — 2пч (Р), Р е- :5. Аналогичным образом вводятся потенциалы при с= — х'<О и для плоского случая. 4.
Принцип максимума для уравнения Аи — х'и=й Для уравнения Лапласа справедлив принцип максимума. Для уравнения Ли+си=О принцип максимума имеет место только при с<0. При с)0 принцип максимума несправедлив, в чем легко убедиться на конкретном примере. Действительно, в круге О~с<а решением уравнения Ли+я'и=О является функция У,(яг), имеющая абсолютный максимум при с=О (в центре круга). Итак, рассмотрим уравнение Ьи — хти=О. Т е о р е м а 8.2, Решение уравнения Аи вен=О, определенное и непрерывное в замкнутой области 0Ц5, не может достигать во внутренних точках области О положительных максимальных и отрицательных минимальных значений.
332 Доказательство. Доказательство проведем от противного. Пусть в некоторой внутренней точке М, области Р решение и(М) уравнения Ли — х~и=О достигает своего положительного максимального значения: и (М,) = гпах и (М) ) О. (2.9) о Следовательно, в этой точке (Мо)<0, (Мо)(0, — (М,)(0 (или Ли(М,)(0), дх~ ' ду~ ' дг~ (2.10) Рассматривая уравнение Ли — х'и=О во внутренней точке Ма и учитывая (2.9) и (2.10), убеждаемся, что оно в точке Ма выполняться не может. Это противоречие показывает, что исходное предположение неверно. ° 3 а м е ч а н и е. Аналогичным образом доказывается невозможность достижения во внутренних точках отрицательного минимального значения. Принцип максимума удобно записать в следующем виде: всюду в ТУ справедливы неравенства и(М) <гпах(гпахи(э, 0), (2.11) и (М) ) ш 1п (ш)п и ~ э, О) .
(2.12) Заметим, что принцип максимума справедлив и для общего эллиптического уравнения дивергентного вида: б!ч (й афтаб и) — ди = 0 при й) О, д) О, йее С'1' (О). Доказательство его проводится так же, как в предыдущей теореме. й 3. ВНУТРЕННИЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА Перейдем к изучению внутренних краевых задач для уравнения Ли+си=О. При этом будем отдельно рассматривать случаи с<0 и с)0. 1. Внутренняя задача Дирнхле для уравнения Ли — х'и=0 Сначала исследуем случай с<0.
Начнем с зада- чи Дирихле Ли — х'и=О в О, (3.1) и)э=1. (3.2) Напомним, что классическим решением задачи (3.1), (3.2) называется функция и, дважды непрерывно дифференцируемая в области й и удовлетворяющая в ней уравнению (3.1), непре- ззз рывная в замкнутой области Р('Б и удовлетворяющая условию (3.2) на 5. Теорема 8.3, Задача (3.1), (3.2) не может иметь более одного классического решения. Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу линейности достаточно показать, что однородная задача Ьи — хи=О в Р, и! =0 Аи — х'и„=О в Р, и !з=~, а=1, 2, Если 1,Г,— ),! < е всюду на 5, то 1и,(М) — и,(М)! < е всюду в Р. Доказательство.
Пусть о=и,— и,. Согласно (2.!!) всюду в Р о(М) <шах(тахо!э, 0) <гпах(е, 0) =е. Согласно (2.12) о (М) ) ш1 и (ш1п о1з, 0) ) ппп ( — е, О) = — е. Следовательно, всюду в Р— в<о<а, т. е. !и,— из!~а в Р. Следовательно, решение задачи Дирихле устойчиво в равномерной норме. ° 2. Вторая и третья краевые задачи для уравнения Ди — х'и=О Исследование единственности решения второй и третьей краевых задач будем проводить одновременно, используя энергетический метод. Рассмотрим третью краевую задачу: Ьи — х'и =0 в Р, (3.3) — +йи!з=). ди дь (3.4) Классическим решением задачи (3.3), (3.4) называется дважды непрерывно дифференцируемая в Р функция и(М), удовлет- ззв имеет только тривиальное решение.
Воспользуемся принципом максимума. Функция и не может внутри Р достигать положительного максимума. Следовательно, в силу граничных условий и~О в Р. Она не может также внутри Р достигать и отрицательного минимума. Следовательно, и»0 в Р. Объединяя эти два неравенства, получаем и= — 0 в Р, т. е. однородная задача имеет только тривиальное решение. ° Из принципа максимума сразу вытекает устойчивость решения задачи Дирихле по граничным условиям.
Теорем а 8.4. Пусть и„(а=1, 2) — классические решения задач воряющая в П уравнению (3.3), имеющая непрерывные первые производные в замкнутой области П()5 и удовлетворяющая граничному условию (3.4) на 5. Теорема 8.8. При Ь(Р))0 на 5 краевая задача (3,3), (3.4) не может иметь более одного классического решения, Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем, что однородная задача Ли — х'и=О в О, — +Ьи)з=О, Ь~)0 дя имеет только тривиальное решение. Применим к решению однородной задачи первую формулу Грина: иЛис()т= ~ и —" д5 — ~ (с7 и)'1Лт. дя ди ~ Учитывая, что Ли=к'и, — ~ = — Ьи)з, получаем дл 1з х' ) иЧ$'+ 1~ Ьи'И5+ ~ (тт и)' ~ЛГ = О. Следовательно, и=О в П. ° Заметим, что условие на функцию Ь(Р) физически означает, что поток вектора йтаби направлен из области П наружу. Отметим, что, как и для уравнения Лапласа, условие на знак функции Ь(Р) существенно для справедливости теоремы.
При Ь<0 на 5 решение может быть неединственным. В этом можно убедиться на конкретном примере. Легко проверить, что однородная краевая задача в шаре К„ радиуса а Ли — х'и=О в ʄ— "+Ь,и1,=0 дя 1 при Ь,= — хсйха+ — (О имеет нетривиальное решение а и= ьв хт т где С вЂ” произвольная постоянная. В отличие от уравнения Лапласа внутренняя задача Неймана для уравнения Ли — хзи=О также имеет единственное решение.
Доказательство следует нз приведенного рассуждения, поскольку оно справедливо и при Ь=О на 5. 3. Краевые задачи для уравнения Ли+ Ф-'и=0 Внутренние краевые задачи для уравнения Ли+ +Ь'и=О (с=Ь'>0) могут иметь неединственное решение. Это связано с тем, что собственные значения оператора Лапласа ззз неотрицательны (для третьей краевой задачи — при 6)О). Поэтому значение йз .может совпадать с собственным значением соответствующей краевой задачи. Рассмотрим для примера задачу Днрихле Аи + lг'и = О в О, (3.5) и1з=О. Если йз не совпадает ни с одним собственным значением оператора Лапласа для задачи Дирихле в области Р, то задача (3.5) имеет только тривиальное решение. Это означает, что соответствующая задача с неоднородным граничным условием не может иметь более одного решения, т.
е. классическое решение единственно. В этом случае область 0 часто называют <не- резонансной для данного значения йе». Если же йз совпадает с каким-либо собственным значением оператора Лапласа для задачи Днрихле (л'=Ал,), то задача (3.5) имеет ненулевое решение. Этим решением будут собственные функции о1'1(М),..., о1»1 (М), р= гана Л„, й 4. ФУНКЦИЯ ГРИНА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА Функция Грина для оператора Ли+си вводится так же, как и для оператора Лапласа. На примере задачи Дирихле кратко напомним, как это можно сделать, и отметим некоторые особенности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
