Новаковская_II (1124207), страница 21
Текст из файла (страница 21)
В соответствии с формулами (1П.46) н ()П 45) ургжнн элерт«« вьпянутого волчка; Е,(3=1,К=О)=2см 1 йы(А =.1, К -.1) = В г(У-.. ), К = - 1): 11 н урОвни м,ершн аплюснутого «алчка; Гв (У = 1, К = О) = 30 аМ ! г(У ! К" 1) У и(А ! К !)ч!(см Отметим «» дпвграмме слева волвкення энергстяческнх уровней «ьпянутаго «алека, а оправе — анлкюнутага Еслн ааслнннть их янинам« (поквмааюшнмн, «ак ценного» энергия при 1юатепонной деформации »юшка), ксторме можно рассчитать.
»честна» репы» «арнецнанную звяку а базисах функний аоозаевтвелна вытянутою н сгшюспушго вючкав, го нвгучнгся сзслуюшэ» картина (см. рисунок). Злссь состав««я снммстричнмх «алчксв обозначены ))К>, а ура»в« аенмметрнчного шишка 1«зя 1, гла «плаксы !й", н 1К'! указы«сын «Сювзкпнью значения праекцнн полного мамонта в тех состояниях симметричных волчков, с которьпгн каррслируег данное аостовапе асиммсгрнчпога волчке, прнчсм на нервом «сато стоит проскцн» мамоны «ытяпугого ввгвв, а нв ашрам -вппоснутво.
Особое пвюжсние заннмают лююй»ыс малекулм, у котсрмх, «ак уже бьша сыпала, момент «нерон» отнасжгв!ьно сабатменнай осн раасн нулю, «в означает авутстаие врашен«а молекулы вжруг авжй асн„т.е. факт« м- ски пвугатвне текста «башенка, в соответственно пулевую граекц«ю мо- чснта на зту ссь н ел«нет»анны значевне К О. Поэтому валена на собспмв- нмс значения вращательного пня«льтогш (И!.43) таких мвюкул намет быть формально звп«сым зак яв, «ак н вл» сфернчсаюв вовчковг Ву-'Кю; й,у, но собственные функцнн определены твп «а прп пулевом значении К: Кы.(Р,В)=)4054 >. Как было отмечено выпю (см. (П!Зй)), эв просто сфсрцческкс ирмоннкн, зависящие лнтг~ь от двук !глав эйлера ( р «гй, что папаню. прн оврсавмнн« положен«я врвщающейс» шютсмы каард«наг сшаснтвтьио непопвнжной нвм не цуюю в случщ аинейнай молекуаы осуществлять трат«0 наворот (на увл (г) вокруг аан Ос, ~тобы пгшушпь нужное расгюлолюмнс ткей Оо н ОЬ: в плоакостн, артвонельвой аск бесконечного пор»вы (т.е.
ас«молекулы), юобыс повороты пцх авй «месса не меняют в ацввшц» ансгемы. (П(.49) ! = (»., Н' 1зв 139 Саопютатшино ьратнтють выра;кдения арзшагсльных тормоз линейных малс«1 л ~бы =йу(.)ь1), (Пй«Е] равна (2 т)) — при данном 3 вю сосгояин«с разными орсекп «ми 3) моют олинакавую энергию, а прю«гтия К принимает ели ственнсе мп силос значенме(О]. В чаттносп, энерп и врашатсльньп оютояиий лвухатомнмх мол* ул определены приведенной массой (и) и мюкьялсрным расспмнием (г), поскслы у момснт нпср»»и системм двух мостке связанных м псриалы мх точек: а «раоютсл ьвзл шютсяннзх обратно пропорциональна (П1.28) ьюмюпу инер- ции. Премлс чем ггерсйги к колебаниям, юмепгм, по врапшшльные пгюто«ннмс (опредешюшис расстоюнш мемду урсвнямн) нмекп порялок величины ог нес«ты««нх лс пол) тс!гв 1«:слг«с» сы .
93. Кштвб«тель!ты« свето»плм молекул Решив залачу с врмиатсльиым тамил тон«анан, мм момсм перейти ко «торой части опере ора (Н! 26), а имен ю к колебательному ю тльтанввиуг л 3 Й,,л='» ! тб,(гг, з,,гк). ,,2юг Но прея де чем выписывал решение, опрсдел см, от как»к (и скзльких) пере- меним» дозпша зависеть собст«выпав фунютия этого оператора. Анализируя яЛерную звд» гу, мы сначала стдюинн »вы«сине центра масс (саззав начюю системы ошчета с венгром мвю молекулы), а поюм выделмли залечу о врашении молекулы как непеформирусмогс тела (описмвшмоп тремя (или лвумх в случае линснных систем) углами ЭЫеря).
Таким обрюом, из ЗК независимых каор!гниат, нюбходнмых лзв задани» «снфигураиин с«сыны, со. сюяшсй из К тдер, иы уме ишюлюоиши 3ь3=6 (кхи ссотвсштвенна 3 2=5) переменных. Плеловатюгьна, дэх описан»» кшюбаний молекулы мы момем испольювюь ЗК.6 (или ЗК вЂ” 5) «оордннат. Кроме юпь сев« при решении зала«и о колебаниях мтер мпюкулзрнай системы мы «стим у«позвать нростренствеииую симметрию мсяс улм (по«юг«мому.
определяющую типы согласованного зли»ение «дср), мы долзшм выбирать зги ЗК-б переменных твк, побы ови мотли быть тбьсдинены в к«весы эквнвшгеитны«координат (т.с. ююрднилт, псршодяшн» друг в друпт нрн преобрюованивх симметрии). Обсуютая сбшне вштросы симметрии в 63 юмам 1, мы рассмотрели в качестве примерз молюкулу аммиака н показали, пп узобпым» длв иш «тюрдинвтамм яваюотся три эквнвююнтных расстояни» Н-П и три эквиюлентнык уша Н-Х-Н. Вообвю мпкьядерные расспмнив, аз«ситные н лвугрюп не (тщмнонныс) упгы из»ма»вы внубмнпимн (естесшсннымн) лсремсннымн.
При эюм в свмом общем случае задать юнфигуряпню мплскулы, ново««!у» эти паременкыс, момно с помощью так ишыввсмой 7:магри«и. Рассмотрим се по. строение на прммсрс молекулы »гияса»: П' Н' г(С'С ) т(Н'С') г(П'С') (и с') г(Н'С') Н' 0(Н'С'С') Н' 0(Н С И') б(Н'С'Н'Ст) Н' 0(н'с с ) 0(нзс'с'н') Н' 0П с с ) Мн"с'с'и») Така» сове»!у лисы ы про«синих и носит название у..матрмцы. В ка»лом конкретном сдучае выбор тех кли «ных пар, троек и четверок «юмов Ляя заданы» шшажсниа слсдугашей частицы определен ишунцисй нес»ело»«юли, сосбрюгеиинми скнметрии «шахи н требованием гшиейпой иезввиснмосги ввадимык пцжмеииых.
Дшгее будем 1цюдггаг!егвть, чтп югсрна» юнфщурадия мояекувы звдапа с помшцью нодхоллшшо набора сстестеенньш кнор»инат, которью булем абозначюь (угВ г" 1... ЗК-б. П юмзгрим, шк в этих переменных будет юписана класси «пка» фуикпив Гамильтона, соответствующая оеср«тору ((ПД9). Прежде всею упсм, по мы рабзтеем в окрестности ючки минимума на поверх«ости нот«илим»»- ной энергия, полагая ппшонсн«» ядер от положений равновесии малыми (в !»рот»в»гом свучае мы не смыли бы ат»ьнгить «ращение мгаскувы от сс кодс- Первое ядро (С ) можно помесппь в произвольную то ~ку. Чтобы являть распшюжеиие второго «дра (С») опиюительна первого, з»остаточно указать ме «ьятернсс расстояние г(С С ) .
то сеть вторив ялро мажет «сжать глс 1 )полно на сфере радиуса г(С'С') с центром на «дре С~. Чтобы задать пенс»шине ядра водоролв Н~, необходимо о!фадею«ть не толью раш:«мине от него ло ядра С, иа м его па»окпп»с по откшпсвню к »тини« »пер С~с( Значит, пало задать расстояние т(И~С~) н упю 0(Н С Сг) . это«про мсзкег быль расположена е любой тачке окруннссти ралиуса г(П С') с центром»н ядре С, лежак»ей в плоскости, сртопзнюьной прямой С С». » Лля четвертого ялра (Н ) уже необходима указать ею положение по отношению к плоскссп» трех «релшсствующих ядер, т.е. однозначное онрслюсние еп> полажение в щкютранстае требует введения еще оп«ой «осрлинаты: лву»ранимо угла, например, 4(Н'С'Н С ). Однозначное задание последующих ядер (Н' н П') требует указания трс» переменнык Лля по»дно — межшдер ного расстовния, нюшкою (валент.
ного) угла н «ау»раннею ум»в. Например, следующие переменные, упорядоченные стандартным абр». зсм, могут быть использованы юш описания системм Стй; (1 Ст даний). Гслн изменение все» координат клер мглы, то вюбую функцию этих коорлинат можно раз»в»ил, в рял Тейлора. Та«их функций у нвс ЗК»1: ссбсгвен о цотснциюпиая элер~«» Е (гг гэ,...,г») и ЗК функцвй, опрег»сяяющих связь новых пер»менньш (0 ) со старыми декартовыми «оорлината и; д» =д»(0»,йз,...,йзк), 1»=1..ЗК Щ вЂ” зго упорядочен ыс кампоиеншы радиус-векторов гг, У = (...К). Злю набор ЗК-6 сстестюиных переменных хосе«псы тремя к юрлинатвми напра масс молекувм (совпадаю!цего с началом жюргщнат) н ешс трсь я углами Эй- лер«. Итак, лл» «ахшой перемппюй б» можно записать (1П.50) (гле индекс аб» уквзыжют, что ланняя величина рассчитана в точке равновесна). В первом прибяижснии можне огрвнвчипня лююйными то у членами этих рашажений, и сел* обозначить коэффициенты --- сб.
то ( дд» ) "1 о зк з»'=5» Хг»01. ((П.5!) г 1 Таким обраюм, в первом приблюкс«ии переход от исхолных ЗК лекарговьш «оорлинвт «лср (д» ) к набору ЗК коордняат рф) момет быль осуществлен с помощью пвкоюрогс линей«ого пресбратоеани» Ссошетственио, изме«сии» во времени юсрлинат (д» ) (скорости да«жени» ядер) шгрсдю сны выра«пни«ми: йб» зх йа, В персис»пгых д» кнншичаскав энергия но»скулы (в Лвграюююй форме) выглядит так: (глс ж» ално в то »ге юш кюклой тройки «оордншп б »шиной»-й шепщы).
140 ы! 2, ',й (!П.52) (П1. 57) 1. 1Л.=А 1, С1.=1 яперной полсистсшс в гт~ тано. (П1.53) энергию зкзк 2~' )=| =| .с '" аб,) 1,'ф бэбй ~ (1П.54) зк|к Я„-, 2 2 ннв д|. 2,.|,=| е ' зк зк |к зк 2~~ с зд (1П.55) |42 |»3 В ноеык мюрдннвтвк (СД выражение «ине|мчссксй энергии уже ие аз|яства диагональным: Псрстда аг скорое*ей к импульсам д), ' йг можно зависеть «инсгическую энергию вой форма: зкза о Гд=- ~~ К Р)Р 2 | |азы Диалогично (П1.50) маино рашожить в р«д и ппгенпиальпую Р:,(гог|, „гк): Только тыюрь уже иельз» ограничим,ш линейными эженами в рюложснии— па причине нх отсуттвиа: в точке равноижня, т.е. тчке минимума шямрх.
ности поте пш«»ьной энергия, первые произвол»по эньрп|н пулевые. Вел« принкп »сергию в этой тчке за ничаво отсчета н «вести о(юзначсние ::и|, то окончвте«ы|вк «пирс«симан«» погеициавьиой энергии принимает аид В нгагс «шюсичсска» функция Гамильтона а сото|венных переменных вы глядит шк: Как «илим. мшрвцы н пате« шгшыюй (С), н кинетической (О) терт«и (сосшв.|снима соогвстш асино из э«ем»итси В, и ив > не яишютя диагониль.
ными, зо ссп, се |сорднншм изменя«пса взавмосвазаис. Реомть ссотвстгуююую ква|повую задачу слишком сложно. Поэтому сначала матрицы С н В полхслюдим ивнсйным реобразованием переменных(. зк Сг =ай|В чэ й=(0 (Ш.56> |=| приеоюп лиагона«ьному валу. причем так, псбы матрипа «инстическсй ввергни была единичной, а атрица ноте циахьной энергии просто диапнальнай: Эта систма в аб псм слу ме имев»решена». Если обозначить Зймл( та нсраый блок уравнений — это м(дг - 1) условий сбрмнення в ноль нсдиыонш|ыпах элементов симметричной м|прнаи потоп«пышной энергии; в второй баси — шо такое же коянчеспю условий на нслиатнааьнме эмме«ты матрицы кинетитскай энергии в сочешиии с Аг ушювиями равенстш свинмце ее В(ВГ)> В( -В лнагонавьны» элементов.
Вместе эта 2 2 +Г(=Ф условии ив В элементов матрш|м преобразования 1.. Ив|к, репмнис системы ура«пеней (1П.57) означает определенно спосаба псрсхаза ВВ 56) от естсспюмиых координат к |яким ик нинойным комбинациям ((З ) (н ошсчвююим им импульсам (Р ) ), в котр ш мвгрмцы кннетичееиой и встмнпншьной энергии «дср диагональны, и фуню|ин Гамильтона шшускает разделение на ~лены, калюый из которых зависит тлько от одной «временной: ЗЛ ! За ЗКГ( (П!.5В> 2) | Ог функции Гамильтона а ткой форме уже удобно перейти к гвмшгьтагтнюгу, слова «попользовавшись принципом сост«с|стан«: Прс клс чеы вы«кивира вть ею собст енн е функции в сабсгшг!ньгс значения, заметим, па в нем (во настроению) фигурируют все ЗК каарлипзт, шесть из ыпарых оаиаыввют пас упатп енсе Лвюкение чолекулы и са зрзщснне.
Очечшлно, отвечающие им значения Д дал:шщ бмть равны кулю ! (так квк в операторах Ея и Вшг сои. только «инстичсские члены). Н уездных зада ых тс гно нувсвыми эти шссп, знвчсний 1 бмввют редко ( о все, п(мкгичсскч никогд«), и от«лонение ик от нуш монна рэссмшриш кз свилетсльс ша тога, чта вращение и казебвии» двиной молекувы полностью не рзэдезшются. Исключим зти шесть переменных нз гвмильтонизнв, и поиучим ааерзтар, оцисыгмюшнй талька «алебзни» молекулы: !Н„п.= ~ ! ь д (Зз >> НП.59! Такай зид опершорв допускает реп!ение зздвчн П.яд ть -- Е ьд.в матадам рвзлсзеки» псрсмевньш; зя-ь >>.гь = д."чь(Н(> > ! ЗК-4 Х гь(хч й - азя-4) = ПХг(аг) ! .! 6„((З)>дт(а,>;.,,:— э ° Л,от!~у>ат>из Е ((),>~ Нддд) Збуэ 2 ! ! причем кззшос из уравнений (ййбд) - эта звлячл о гзрманмческом осциллятаре, ращение которой известно (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
