Лекции в формате PDF (1124094), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Ïóñòü òî÷êà äâèæåòñÿ ïî ïîâåðõíîñòè ïî èíåðöèè ïðè îòñóòñòâèè âíåøíèõ ñèë (íà òî÷êó äåéñòâóåò òîëüêî ñèëà ñâÿçè, çàñòàâëÿþùàÿòî÷êó îñòàâàòüñÿ íà ïîâåðõíîñòè). Òîãäà òî÷êà äâèæåòñÿ ïî ãåîäåçè÷åñêîé.Äåéñòâèòåëüíî, ñîãëàñíî âòîðîìó çàêîíó Íüþòîíà óñêîðåíèå ïðîïîðöèîíàëüíî ñèëå, à ñèëà ñâÿçè ïåðïåíäèêóëÿðíà ïîâåðõíîñòè.8. Èç òîëüêî ÷òî äàííîãî îïðåäåëåíèÿ ñðàçó âûòåêàåò ñëåäóþùèé àêò.Åñëè äâå ïîâåðõíîñòè êàñàþòñÿ âäîëü êðèâîé γ , è γ ÿâëÿåòñÿ ãåîäåçè÷åñêîéíà îäíîé èç íèõ, òî îíà àâòîìàòè÷åñêè áóäåò ãåîäåçè÷åñêîé è íà äðóãîé.9. Åñëè ñâÿçíîñòü ðèìàíîâà, òî ïðè èçîìåòðèÿõ ãåîäåçè÷åñêèå ïåðåõîäÿòâ ãåîäåçè÷åñêèå.
Ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî ïðè èçîìåòðèÿõ ìåòðèêà ñîõðàíÿåòñÿ, à óðàâíåíèÿ ãåîäåçè÷åñêèõ îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþòñÿ ìåòðèêîé (÷åðåçêîòîðóþ âûðàæàþòñÿ ñèìâîëû Êðèñòîåëÿ, ó÷àñòâóþùèå â óðàâíåíèè).Ïðèìåðû.åîäåçè÷åñêèå â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå.Ïóñòü (x1 , . . . , xn ) åâêëèäîâà ñèñòåìà êîîðäèíàò â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå Rn . Òîãäà â ýòîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ñèìâîëû Êðèñòîåëÿ îáðàùàþòñÿ â íóëü, ïîýòîìó óðàâíåíèÿ ãåîäåçè÷åñêèõ ïðèîáðåòàþò î÷åíü ïðîñòîé âèä:d2 xi= 0.dt2åøåíèÿ ýòîãî óðàâíåíèÿ èìåþò âèä xi = ai t + bi . Òàêèì îáðàçîì, ãåîäåçè÷åñêèìè â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå ÿâëÿþòñÿ.ïðÿìûååîäåçè÷åñêèå íà êîíóñå è öèëèíäðå.àññìîòðèì êðóãîâîé êîíóñ è êðóãîâîé öèëèíäð â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå, çàäàâàåìûå ñîîòâåòñòâåííî óðàâíåíèÿìèx2 + y 2 = z 2èx2 + y 2 = 1.39Ýòè ïîâåðõíîñòè ìîãóò áûòü èçîìåòðè÷íî ðàçâåðíóòû íà ïëîñêîñòü.
Ïîñêîëüêó ïðè èçîìåòðèÿõ ãåîäåçè÷åñêèå ïåðåõîäÿò â ãåîäåçè÷åñêèå, òî ãåîäåçè÷åñêèìè íà êîíóñå è öèëèíäðå ÿâëÿþòñÿ òå êðèâûå, êîòîðûå â ðåçóëüòàòåðàçâåðòêè ïðåâðàùàþòñÿ â ïðÿìûå íà ïëîñêîñòè.  ÷àñòíîñòè, ãåîäåçè÷åñêèìè íà öèëèíäðå âèíòîâûå ëèíèè, âåðòèêàëüíûå ïðÿìûå è ãîðèçîíòàëüíûå îêðóæíîñòè.Ýòîò æå ðåçóëüòàò ñïðàâåäëèâ äëÿ ïðîèçâîëüíûõ êîíóñîâ è öèëèíäðîâ âòðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå, ò.å. äëÿ ïîâåðõíîñòåé, çàäàâàåìûõ ñëåäóþùèìèðàäèóñ-âåêòîðàìè~r(u, v) = v · ρ~(u)è~r(u, v) = ρ~(u) + v · ~a,ãäå ρ~(u) ðàäèóñ-âåêòîð íåêîòîðîé ãëàäêîé êðèâîé â ïðîñòðàíñòâå, ~a èêñèðîâàííûé âåêòîð.Çàäà÷à Îïèñàòü ãåîäåçè÷åñêèå íà ïîâåðõíîñòè â R4 ñ äåêàðòîâûìè êîîðäèíàòàìè (x, y, z, u), çàäàâàåìîé äâóìÿ óðàâíåíèÿìèx2 + y 2 = 1,z 2 + u2 = 1.åîäåçè÷åñêèå íà ñåðå.Âîñïîëüçóåìñÿ äîêàçàííûì âûøå ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì: åñëè äâå ïîâåðõíîñòè êàñàþòñÿ ïî êàêîé ëèáî êðèâîé è ýòà êðèâàÿ ÿâëÿåòñÿ ãåîäåçè÷åñêîé íà îäíîé èç ïîâåðõíîñòåé, òî îíà ÿâëÿåòñÿ ãåîäåçè÷åñêîé è íà äðóãîé.Âïèøåì ñåðó â êðóãîâîé öèëèíäð òàê, ÷òîáû îíè êàñàëèñü ïî ýêâàòîðó íàñåðå.
Íà öèëèíäðå ýòà îêðóæíîñòü (ýêâàòîð), êàê ìû ïîêàçàëè, ÿâëÿåòñÿãåîäåçè÷åñêîé. Ïîýòîìó êàæäûé ýêâàòîð ÿâëÿåòñÿ ãåîäåçè÷åñêîé íà ñåðå.Ñóùåñòâóþò ëè åùå êàêèå-íèáóäü ãåîäåçè÷åñêèå íà ñåðå êðîìå ýêâàòîðîâ.Îòðèöàòåëüíûé îòâåò ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî ÷åðåç êàæäóþ òî÷êó íà ñåðåïî ëþáîìó íàïðàâëåíèþ ìîæíî ïðîâåñòèãåîäåçè÷åñêóþ. Âêà÷åñòâå òàêîé ãåîäåçè÷åñêîé âñåãäà ìîæíî âûáðàòü ïîäõîäÿùèé ýêâàòîð.Èòàê, ãåîäåçè÷åñêèìè íà ñåðå ÿâëÿþòñÿ ýêâàòîðû è òîëüêî îíè.Òîò æå àêò ìîæíî óâèäåòü è ïî-äðóãîìó: âåêòîð ãëàâíîé íîðìàëè êýêâàòîðó, î÷åâèäíî, ñîâïàäàþò ñ íîðìàëüþ ê ïîâåðõíîñòè (ñì. îïðåäåëåíèåãåîäåçè÷åñêîé íà ïîâåðõíîñòè V 2 ⊂ R3 .åäèíñòâåííóþåîäåçè÷åñêèå íà ïëîñêîñòè Ëîáà÷åâñêîãîàññìîòðèì ìîäåëü ïëîñêîñòè Ëîáà÷åâñêîãî íà âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè ñdx2 + dy 2ìåòðèêîé ds2 =. Âûïèøåì ÿâíî óðàâíåíèÿ ãåîäåçè÷åñêèõ, ïîëüy2çóÿñü âû÷èñëåííûìè íà ïðîøëîé ëåêöèè ñèìâîëàìè Êðèñòîåëÿ.401Γ112 = Γ121 = − ,y1Γ211 = ,y1Γ222 = − ,yΓ212 = Γ212 = Γ111 = Γ122 = 0.Ïîëó÷àåì2 dx dyd2 y1d2 x−=0,+dt2y dt dtdt2yèëèdxdt22x′′ =1−ydydt2=022x′ y ′ ′′ y ′ − x′,y =.yyÏðîâåðèì, ÷òî ïðÿìûå íà ïëîñêîñòè Ëîáà÷åâñêîãî, ÿâëÿþùèåñÿ âåðòèêàëüíûìè ëó÷àìè, âûõîäÿùèìè èç àáñîëþòà, ÿâëÿþòñÿ ãåîäåçè÷åñêèìè.Äåéñòâèòåëüíî, ýòè ëó÷è çàäàþòñÿ óðàâíåíèÿìè x = onst, y = y(t) (ìûïîêà íå çíàåì, êàêóþ èìåííî ïàðàìåòðèçàöèþ ñëåäóåò âûáèðàòü íà ýòèõëó÷àõ).
Ïîäñòàâëÿÿ ýòè âûðàæåíèÿ â óðàâíåíèÿ ãåîäåçè÷åñêèõ, ïîëó÷àåìîäíî óðàâíåíèå2y′.y ′′ =yåøàÿ åãî, íàéäåì ïðàâèëüíóþ ïàðàìåòðèçàöèþ. Èìååì2Îòêóäày ′′ y − y ′ = 0, ′y= onst = ayy ′ = a y,è, ñëåäîâàòåëüíî,y = c eat .Òàêèì îáðàçîì, ïàðàìåòðèçîâàííûå êðèâûå âèäà x = onst, y = c eat (âåðòèêàëüíûå ëó÷è) ÿâëÿþòñÿ ãåîäåçè÷åñêèìè.Âîñïîëüçóåìñÿ òåïåðü òåì, ÷òî ïðè èçîìåòðèÿõ ãåîäåçè÷åñêèå ïåðåõîäÿòâ ãåîäåçè÷åñêèå.  ïðîøëî ñåìåñòðå ìû îïèñàëè ãðóïïó äâèæåíèé ïëîñêîñòè Ëîáà÷åâñêîãî. Ýòî äðîáíî-ëèíåéíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ âèäà w(z) =az + b, a, b, c, d ∈ R , ad − bc = 1.
ßñíî, ÷òî ñ ïîìîùüþ òàêîãî ïðåîáðàçîcz + dâàíèÿ ìîæíî ëþáóþ ïðÿìóþ íà ïëîñêîñòè ëîáà÷åâñêîãî ïåðåâåñòè â ëþáóþäðóãóþ ïðÿìóþ. Îòñþäà ñðàçó âûòåêàåò, ÷òî ëþáàÿ ïðÿìàÿ íà ïëîñêîñòèËîáà÷åâñêîãî ÿâëÿåòñÿ ãåîäåçè÷åñêîé (ìû èìååì, ðàçóìååòñÿ, â âèäó ïðÿìûå â ñìûñëå ãåîìåòðèè Ëîáà÷åâñêîãî, ò.å. ïîëóîêðóæíîñòè ñ öåíòðîì íàãðàíèöå ïîëóïëîñêîñòè è âåðòèêàëüíûå ëó÷è).41Òîò àêò, ÷òî íèêàêèõ äðóãèõ ãåîäåçè÷åñêèõ êðîìå ïðÿìûõ â äàííîìñëó÷àå íåò, ñíîâà ñëåäóåò èç òåîðåìû ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè.
Äåëî â òîì, ÷òî ÷åðåç êàæäóþ òî÷êó íà ïëîñêîñòè Ëîáà÷åâñêîãî ïî êàæäîìóíàïðàâëåíèþ ìîæíî ïðîâåñòè ïðÿìóþ.Çàäà÷à ßâëÿåòñÿ ëè ïàðàëëåëü íà ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ ãåîäåçè÷åñêîé?À ìåðèäèàí?åîäåçè÷åñêèå êàê êðàò÷àéøèå.Íàøåé áëèæàéøåé öåëüþ ÿâëÿåòñÿ èíòåðïðåòàöèÿ ãåîäåçè÷åñêèõ íà ïðîèçâîëüíîì ðèìàíîâîì ìíîãîîáðàçèè êàê êðàò÷àéøèõ. Ýòî åùå îäíî ñâîéñòâî, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ îáùèì äëÿ ãåîäåçè÷åñêèõ è ïðÿìûõ â åâêëèäîâîìïðîñòðàíñòâå (è íà ïëîñêîñòè Ëîáà÷åâñêîãî; âñïîìíèòå, ÷òî ïðÿìûå íà ïëîñêîñòè Ëîáà÷åâñêîãî äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿþòñÿ êðàò÷àéøèìè).Ïðåæäå ÷åì ïåðåõîäèòü ê äîêàçàòåëüñòâó, ðàññìîòðèì ñëó÷àé äâóìåðíîé ñåðû. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî äëÿ ëþáûõ äâóõ òî÷åê íà ñåðå âñåãäà ñóùåñòâóåò êðàò÷àéøàÿ êðèâàÿ, èõ ñîåäèíÿþùàÿ, è ýòà êðèâàÿ ÿâëÿåòñÿ äóãîéñîîòâåòñòâóþùåãî ýêâàòîðà (ò.å.
êóñî÷êîì ãåîäåçè÷åñêîé). Îáðàòíîå óòâåðæäåíèå íå âåðíî: íå ëþáàÿ ãåîäåçè÷åñêàÿ, ñîåäèíÿþùàÿ ïàðó òî÷åê ÿâëÿåòñÿ êðàò÷àéøåé. Äåéñòâèòåëüíî, äâå òî÷êè äåëÿò ïðîõîäÿùèé ÷åðåç íèõýêâàòîð íà äâå äóãè. îäíà èç íèõ êðàò÷àéøàÿ, à äðóãàÿ íåò, õîòÿ îáå îíèÿâëÿþòñÿ ãåîäåçè÷åñêèìè.Ýòî íàáëþäåíèå íîñèò îáùèé õàðàêòåð. Ëþáàÿ êðàò÷àéøàÿ âñåãäà ÿâëÿåòñÿ ãåîäåçè÷åñêîé, íî íå ëþáàÿ ãåîäåçè÷åñêàÿ ÿâëÿåòñÿ êðàò÷àéøåé. Îäíàêî, îíà âñåãäà ÿâëÿåòñÿ ëîêàëüíî êðàò÷àéøåé. Ò.å. åñëè ìû ðàññìîòðèì äâåäîñòàòî÷íî áëèçêèå òî÷êè íà ïðîèçâîëüíîé ãåîäåçè÷åñêîé, òî êóñî÷åê ãåîäåçè÷åñêîé, çàêëþ÷åííûé ìåæäó íèìè, áóäåò êðàò÷àéøåé. Ê äîêàçàòåëüñòâóýòèõ àêòîâ ìû ñåé÷àñ ïåðåõîäèì.Îòîáðàæåíèå exp.àññìîòðèì ðèìàíîâî ìíîãîîáðàçèå M , òî÷êó P ∈ M íà íåì è êàñàòåëüíûé âåêòîð ξ ∈ TP M â ýòîé òî÷êå.
àññìîòðèì ãåîäåçè÷åñêóþ γ(t) òàêóþ,dγ÷òî γ(0) = P ,(0) = ξ . Òàêàÿ ãåîäåçè÷åñêàÿ ñóùåñòâóåò è ÿâëÿåòñÿ åäèídtñòâåííîé. Ïîëîæèì ïî îïðåäåëåíèþexp(ξ) = γ(1)Îòìåòèì ñðàçó, ÷òî exp(ξ) ìîæåò áûòü îïðåäåëåíî íå äëÿ êàæäîãî êàñàòåëüíîãî âåêòîðà ξ ∈ TP M . Äåëî â òîì, ÷òî êàê ìû óæå âèäåëè âûøå,ãåîäåçè÷åñêàÿ γ(t) îïðåäåëåíà, âîîáùå ãîâîðÿ, ëèøü íà íåêîòîðîì èíòåðâàëå t ∈ (−ε, ε), íå ñîäåðæàùåì t = 1.Îäíàêî, â ñèëó ïðàâèëà çàìåíû ïàðàìåòðà íà ãåîäåçè÷åñêîé (ñì. âûøå) äëÿ ëþáîãî âåêòîðà ξ ∈ TP M ñóùåñòâóåò δ0 > 0 òàêîå, ÷òî exp(δ0 ξ)îïðåäåëåíî. Äðóãèìè ñëîâàìè, ýêñïîíåíòà îïðåäåëåíà äëÿ âñåõ äîñòàòî÷íîìàëûõ ïî äëèíå âåêòîðîâ. Çäåñü ìîæíî ñîñëàòüñÿ íà îáùèé àêò èç òåîðèè42îáûêíîâåííûõ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (òåîðåìà î ãëàäêîé çàâèñèìîñòè ðåøåíèÿ äèåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ îò íà÷àëüíûõ äàííûõ). Âäàííîì ñëó÷àå íà÷àëüíûì äàííûì ñëóæèò âåêòîð ξ .
Äëÿ ξ = 0 îòîáðàæåíèå exp îïðåäåëåíî, ïîýòîìó îíî áóäåò îïðåäåëåíî è íà íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè U ⊂ TP M íóëåâîãî âåêòîðà ~0 ∈ TP M , ïðè÷åì áóäåò çàâèñåòü îò ξ ∈ Uãëàäêî. Èòàê, ìû èìååì ãëàäêîå îòîáðàæåíèåexp : U → M,U ⊂ TP M,~0 ∈ U.Èçó÷èì íåêîòîðûå ïðîñòåéøèå ñâîéñòâà ýòîãî îòîáðàæåíèÿ.1. àññìîòðèì êðèâóþ exp(tξ). Ýòà êðèâàÿ â òî÷íîñòè ñîâïàäàåò ñ ãåîäå-dγ(0) = ξ . Äåéñòâèòåëüíî,dtdγ̃ãåîäåçè÷åñêàÿ γ̃(s) ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè γ̃(0) = P ,(0) = tξ îòëè÷àåòdsñÿ îò ãåîäåçè÷åñêîé γ çàìåíîé ïàðàìåòðà òàê, ÷òî γ̃(s) = γ(ts).  ÷àñòíîñòè,exp(tξ) = γ̃(1) = γ(t).çè÷åñêîé γ(t) ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè γ(0) = P ,2.  íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè íóëåâîãî âåêòîðà ξ0 = 0 îòîáðàæåíèå expÿâëÿåòñÿ äèåîìîðèçìîì (ñ îáðàçîì). Ïîêàæåì ýòî. Ïî òåîðåìå î ëîêàëüíîì äèåîìîðèçìå äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü, ÷òî äèåðåíöèàë îòîáðàæåíèÿ exp â íóëå íåâûðîæäåí.
Ïîäñ÷èòàåì d exp. Êàñàòåëüíîå ïðîñòðàíñòâî â òî÷êå ξ0 = 0 ê êàñàòåëüíîìó ïðîñòðàíñòâó ìîæåò áûòü åñòåñòâåííûìîáðàçîì îòîæäåñòâëåíî ñ ñàìèì êàñàòåëüíûì ïðîñòðàíñòâîì, ïîýòîìó äèåðåíöèàë îòîáðàæåíèÿ exp â íóëå ýòî ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå èç êàñàòåëüíîãî ïðîñòðàíñòâà TP M â ñåáÿ. Íàïîìíèì êàê îíî óñòðîåíî ïî îïðåäåëåíèþ. àññìîòðèì ïðîèçâîëüíûé êàñàòåëüíû âåêòîð ξ ∈ TP M è âîçüìåìïðîèçâîëüíóþ êðèâóþ, ñ äàííûì êàñàòåëüíûì âåêòîðîì, íàïðèìåð, ïðÿìóþ tξ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
