Лекции в формате PDF (1124094), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Ìû âèäèì, ÷òî íà áàçèñíûõ âåêòîðíûõ ïîëÿõ îðìóëû äëÿ ∇îáû÷íîé îïåðàöèè êîâàðèàíòíîãî äèåðåíöèðîâàíèÿ ñîâïàäàþò. Ëþáîåâåêòîðíîå ïîëå ìîæåò áûòü ðàçëîæåíî â ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ áàçèñíûõ(êîýèöèåíòû ãëàäêèå óíêöèè). Ïîëüçóÿñü ëèíåéíîñòüþ, ïðàâèëîìËåéáíèöà è ñâîéñòâîì (3), ìû ìîæåì îïðåäåëèòü ýòó îïåðàöèþ íà ïðîèçâîëüíûõ âåêòîðíûõ ïîëÿõ. Ôîðìóëà áóäåò ïðàâèëüíîé.3. Òåïåðü ìîæíî ïðîâåðèòü ñïðàâåäëèâîñòü îðìóëû ïðåîáðàçîâàíèÿñèìâîëîâ Êðèñòîåëÿ ïðè çàìåíàõ êîîðäèíàò. Äîñòàòî÷íî äëÿ ýòîãî ïîä˜ ei ej â äâóõ ðàçëè÷íûõ ñèñòåìàõ êîîðäèíàò, ó÷èòûñ÷èòàòü ïðîèçâîäíóþ ∇âàÿ, ÷òî áàçèñû e1 , .
. . , en è e′1 , . . . , e′n ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé ìàòðèöåé ßêîáèçàìåíû (x) → (x′ ).4. Òåïåðü íóæíî ïîñìîòðåòü, ÷òî ïðîèñõîäèò ñ äèåðåíöèðîâàíèåì êîâåêòîðíûõ ïîëåé. Âîñïîëüçîâàâøèñü ïðàâèëîì äèåðåíöèðîâàíèÿ ñâåðòêè è ïðàâèëîì Ëåéáíèöà, ìû ïîëó÷èì äëÿ ïðîèçâîëüíîãî âåêòîðíîãî ïîëÿξ è êîâåêòîðíîãî ïîëÿ l˜ i ) + li (∇ξ˜ i ).d(ξ i li ) = ξ i (∇l ýòîì ðàâåíñòâå ïåðâûé è òðåòèé ÷ëåí óæå èçâåñòíû. Êîâàðèàíòíàÿïðîèçâîäíàÿ êîâåêòîðíîãî ïîëÿ, ñòîÿùàÿ âî âòîðîì ÷ëåíå îòñþäà îäíîçíà÷˜íî âîññòàíàâëèâàåòñÿ.
Èçëèøíå ãîâîðèòü, ÷òî ïîëó÷åííàÿ îðìóëà äëÿ ∇íà êîâåêòîðíûõ ïîëÿõ áóäåò ñîâïàäàòü ñî ñòàíäàðòíîé (íî ïðîâåðèòü âñåòàêè íóæíî).5. Ïîñëå òîãî, êàê ìû ïðîâåðèëè, ÷òî íà âåêòîðíûõ è êîâåêòîðíûõ ïîëÿõ˜ ñîâïàäàåò ñî ñòàíäàðòíîé, ìû äîëæíû ïðîâåðèòü ýòîò àêò íàîïåðàöèÿ ∇òåíçîðíûõ ïîëÿõ ïðîèçâîëüíîãî òèïà. Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî âñïîìíèòü, ÷òîïðîèçâîëüíîå òåíçîðíîå ïîëå òèïà (p, q) ðàçëàãàåòñÿ â ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ òåíçîðíûõ ïîëåé âèäà ei1 ⊗ · · · ⊗ eip ⊗ ej1 ⊗ · · · ⊗ ejq , è âîñïîëüçîâàòüñÿëèíåéíîñòüþ è ïðàâèëîì Ëåéáíèöà.Ñèììåòðè÷íûå ðèìàíîâû ñâÿçíîñòè.Îïðåäåëåíèå 3 Ïóñòü M ðèìàíîâî ìíîãîîáðàçèå,ò.å. íà M çàäàíà ðèn oìàíîâà ìåòðèêà gij .
Ñèììåòðè÷íàÿ ñâÿçíîñòü Γijk íàçûâàåòñÿ ðèìàíîâîé,åñëè∇k gij ≡ 0Òåîðåìà 2 Ïóñòü (M, gij ) ðèìàíîâî ìíîãîîáðàçèå. Òîãäà íà íåì ñóùåñòâóåò è ïðèòîì åäèíñòâåííàÿ ðèìàíîâà ñâÿçíîñòü (îòâå÷àþùàÿ ìåòðèêågij ).Äîêàçàòåëüñòâî Íàéäåì ÿâíî ñèìâîëû Êðèñòîåëÿ ñâÿçíîñòè ∇, ðåøàÿ óðàâíåíèå∇k gij ≡ 0.Ëåãêî âèäåòü, ÷òî íà ñàìîì äåëå ýòî óðàâíåíèå ÿâëÿåòñÿ ñèñòåìîé ëèíåéíûõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî ñèìâîëîâ Êðèñòîåëÿ. Âûïèøåì èõ.26∂gij− Γpik gpj − Γpjk gip = 0.∂xkÂâîäÿ îáîçíà÷åíèåΓik,j = Γpik gpjè âûïèñûâàÿ òðè óðàâíåíèÿ, îòâå÷àþùèå èêñèðîâàííîìó íàáîðó èíäåêñîâ i, j, k è ïîëó÷àþùèåñÿ äðóã èç äðóãà èõ öèêëè÷åñêîé ïåðåñòàíîâêîé,ïîëó÷àåì∂gijΓik,j + Γjk,i =∂xk∂gkiΓkj,i + Γij,k =∂xj∂gjkΓji,k + Γki,j =∂xiÑëîæèì äâà ïåðâûõ óðàâíåíèÿ è âû÷òåì èç íèõ âòîðîå.
Èñïîëüçóÿ ñèììåòðè÷íîñòü ñèìâîëîâ Êðèñòîåëÿ, ïîëó÷èì∂gki∂gjk∂gij+−.∂xk∂xj∂xiËåãêî âèäåòü, ÷òî Γjk,i , îïðåäåëåííûå ïî ýòîé îðìóëå, óäîâëåòâîðÿþòâûïèñàííîé ñèñòåìå. Ïîäíèìàÿ èíäåêñ i, îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì îäíîçíà÷íîå ðåøåíèå èñõîäíîé ñèñòåìû2Γjk,i =Γijk1= g iα2∂gαj∂gkα∂gjk+−∂xk∂xj∂xα(Ìû èñïîëüçîâàëè çäåñü î÷åâèäíîå ðàâåíñòâî Γijk = g iα Γjk,α ).Ôàêòè÷åñêè äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû íà ýòîì çàêîí÷åíî. Ìû íàøëè (îäíîçíà÷íî!) ñèìâîëû Êðèñòîåëÿ, óäîâëåòâîðÿþùèå â êàæäîé ëîêàëüíîéñèñòåìå êîîðäèíàò íåîáõîäèìîìó óñëîâèþ ∇k gij ≡ 0.Íî â îïðåäåëåíèè ñâÿçíîñòè òðåáóåòñÿ, ÷òîáû ñèìâîëû Êðèñòîåëÿóäîâëåòâîðÿëè ñïåöèàëüíîìó çàêîíó ïðåîáðàçîâàíèÿ ïðè çàìåíàõ êîîðäèíàò.
Ïî÷åìó ñèìâîëû Êðèñòîåëÿ, îïðåäåëåííûå ïî îðìóëå â ðàìêå,ýòîìó çàêîíó óäîâëåòâîðÿþò? Ýòî ìîæíî ïðîâåðèòü íåïîñðåäñòâåííî ñ ïîìîùüþ ÿâíûõ âû÷èñëåíèé (õîðîøåå óïðàæíåíèå). Íî ìû ïðîêîììåíòèðóåìýòîò àêò èíà÷å.Ïðåäñòàâèì ñåáå, ÷òî íàì äàíà ñâÿçíîñòü, ñèìâîëû Êðèñòîåëÿ êîòîðîéîïðåäåëÿþòñÿ ïî îðìóëå âðàìêå, à âî âñåõ îñòàëüíûõ ñèñòåìàõ êîîðäèíàò ñ ïîìîùüþ ñòàíäàðòíîãî çàêîíà ïðåîáðàçîâàíèÿ äëÿ ñèìâîëîâ Êðèñòîåëÿ (ò.å.
ñ ïîìîùüþ ïåðåñ÷åòàèç èêñèðîâàííîé ñèñòåìû êîîðäèíàò â äðóãóþ).  ðåçóëüòàòå ìû ïîëó÷èì(ëîêàëüíî) íåêîòîðóþ ñâÿçíîñòü, êîòîðàÿ. Äåéñòâèòåëüíî, îíà óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ ∇k gij ≡ 0. â èêñèðîâàííîé íàìè ñèñòåìåêîîðäèíàò, íî ïîñêîëüêó ∇k gij òåíçîð, òî ýòî óñëîâèå áóäåò âûïîëíåíîâî âñåõ ñèñòåìàõ êîîðäèíàò îäíîâðåìåííî (åñëè òåíçîð îáðàòèëñÿ â íóëü ââ îäíîé èêñèðîâàííîé ñèñòåìå êîîðäèíàòáóäåò ðèìàíîâîé27îäíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò, òî îí ðàâåí íóëþ è âî âñåõ îñòàëüíûõ). Òàêèìîáðàçîì, ñèìâîëû Êðèñòîåëÿ ïîñòðîåííîé ñâÿçíîñòè óäîâëåòâîðÿþò âêàæäîé ñèñòåìå êîîðäèíàò òðåáóåìûì ñîîòíîøåíèÿì è ïîýòîìó, êàê óæåïîêàçàíî, îïðåäåëÿþòñÿ ïî îðìóëå â ðàìêå.
Ìû ïîêàçàëè, òàêèì îáðàçîì,′÷òî íàáîð Γij′ k′ , ïîëó÷åííûé èç Γijk ïî îðìóëàì çàìåíû îáÿçàí ñîâïàäàòü ñíàáîðîì, îïðåäåëåííûì ïî îðìóëàì â ðàìêå, ÷òî è òðåáîâàëîñü. Òåîðåìàäîêàçàíà.åîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ðèìàíîâîé ñâÿçíîñòè (ñëó÷àé ïîâåðõíîñòè â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå).àññìîòðèì ãëàäêóþ ïîâåðõíîñòü V 2 ⊂ R3 . Êàê ìû óæå çíàåì èíäóöèðîâàííàÿ ðèìàíîâà ìåòðèêà gij íà ýòîé ïîâåðõíîñòè ýòî ïåðâàÿ êâàäðàòè÷íàÿ îðìà.
 ñèëó òîëüêî ÷òî äîêàçàííîé òåîðåìû íà ïîâåðõíîñòè V 2ìû ìîæåì îäíîçíà÷íî ïîñòðîèòü ñèììåòðè÷åñêóþ ðèìàíîâó ñâÿçíîñòü, îòâå÷àþùóþ ìåòðèêå gij .  ÷åì ñîñòîèò ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë êîâàðèàíòíîãîäèåðåíöèðîâàíèÿ â ñìûñëå ýòîé ñâÿçíîñòè?àññìîòðèì íà ïîâåðõíîñòè V 2 ïðîèçâîëüíóþ ãëàäêóþ êðèâóþ γ(t) è~ âäîëü ýòîé êðèâîé. Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà äàåò îòâåò íàâåêòîðíîå ïîëå ξ(t)ïîñòàâëåííûé âûøå âîïðîñ.Òåîðåìà 3 Èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî!dξ~∇γ ξ = prdtÇàìå÷àíèå  ëåâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà ñòîèò êîâàðèàíòíàÿ ïðîèçâîäíàÿâåêòîðíîãî ïîëÿ ξ~ âäîëü êðèâîé γ â ñìûñëå ñèììåòðè÷åñêîé ðèìàíîâîéñâÿçíîñòè, ñîãëàñîâàííîé ñ èíäóöèðîâàííîé ìåòðèêîé íà ïîâåðõíîñòè (ò.å.ïåðâîé êâàäðàòè÷íîé îðìîé). Ýòî íåêîòîðîå âåêòîðíîå ïîëå âäîëü êðèâîé,dξ~êàñàþùååñÿ ïîâåðõíîñòè.
×åðåçâ ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà îáîçíà÷åíàdtîáû÷íàÿ ïðîèçâîäíàÿ âåêòîðíîãî ïîëÿ ξ~ âäîëü êðèâîé, âçÿòàÿ â îáúåìëþùåì òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå (ìîæíî ïðè æåëàíèè ñ÷èòàòü, ÷òî ìû áåðåìêîâàðèàíòíóþ ïðîèçâîäíóþ â îáúåìëþùåì ïðîñòðàíñòâå; ïîñêîëüêó îáúåìëþùåå ïðîñòðàíñòâî åâêëèäîâî, òî îáû÷íàÿ è êîâàðèàíòíàÿ ïðîèçâîäíûå ñîâïàäàþò). Ýòî íîâîå âåêòîðíîå ïîëå óæå íå êàñàåòñÿ, âîîáùå ãîâîðÿ,ïîâåðõíîñòè. ×òîáû "ñäåëàòü"åãî êàñàòåëüíûì, ìû ðàññìàòðèâàåì åãî îðòîãîíàëüíóþ ïðîåêöèþ íà êàñàòåëüíóþ ïëîñêîñòü (îïåðàòîð pr â îðìóëåîáîçíà÷àåò êàê ðàç òàêóþ ïðîåêöèþ). Òàêèì îáðàçîì, òåîðåìà óòâåðæäàåòñëåäóþùåå: ÷òîáû ïîäñ÷èòàòü êîâàðèàíòíóþ ïðîèçâîäíóþ âåêòîðíîãî ïîëÿâäîëü êðèâîé íà ïîâåðõíîñòè íóæíî ñíà÷àëà âçÿòü îáû÷íóþ ïðîèçâîäíóþ âîáúåìëþùåì ïðîñòðàíñòâå, à çàòåì îðòîãîíàëüíî ñïðîåêòèðîâàòü ðåçóëüòàòíà êàñàòåëüíóþ ïëîñêîñòü ê ïîâåðõíîñòè.Çàìå÷àíèå Ýòà òåîðåìà îñòàåòñÿ ñïðàâåäëèâîé è äëÿ ãèïåðïîâåðõíîñòèV n−1 â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå Rn .
Äîêàçàòåëüñòâî, ïðèâîäèìîå íèæå28íèêàê íå ðåàãèðóåò íà ïîâûøåíèå ðàçìåðíîñòè. Ìû áóäåì ïîëüçîâàòüñÿòåíçîðíûìè îáîçíà÷åíèÿìè, ïîýòîìó ïåðåõîä ê ìíîãîìåðíîìó ñëó÷àþ ïðîèçâîäèòñÿ óâåëè÷åíèåì ãðàíèöû èçìåíåíèÿ èíäåêñîâ (ò.å. èíäåêñû áóäóòìåíÿòüñÿ íå îò 1 äî 2, à îò 1 äî n.Äîêàçàòåëüñòâî Ìû íà÷íåì ñ äîêàçàòåëüñòâà òàê íàçûâàåìûõ äåðèâàöèîííûõ îðìóë, êîòîðûå âàæíû ñàìè ïî ñåáå.Ïóñòü u1 , u2 ëîêàëüíûå êîîðäèíàòû íà ïîâåðõíîñòè V 2 , ~r(u, v) ∂~rðàäèóñ-âåêòîð ïîâåðõíîñòè. Íàïîìíèì ñòàíäàðòíîå îáîçíà÷åíèå ~rui =,∂ui∂ 2~rè ââåäåì ïî àíàëîãèè åùå îäíî: ~rui uj =.∂ui ∂ujËåììà. (Äåðèâàöèîííûå îðìóëû)~rui uj = Γkij ~ruk + bij ~nãäåV,Γkij ñèìâîëû Êðèñòîåëÿ ñèììåòðè÷åñêîé ðèìàíîâîé ñâÿçíîñòè íàbij êîýèöèåíòû âòîðîé êâàäðàòè÷íîé îðìû íà V (â äàííîé ëîêàëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò),~n âåêòîð åäèíè÷íîé íîðìàëè ê ïîâåðõíîñòè V .Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû Ïîñêîëüêó âåêòîðû ~rui îáðàçóþò áàçèñ â êàñàòåëüíîì ïðîñòðàíñòâå, òî äîáàâëÿÿ ê íèì âåêòîð åäèíè÷íîé íîðìàëè ~n, ìûïîëó÷àåì íåêîòîðûé áàçèñ â îáúåìëþùåì åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå è ìîæåì, ñëåäîâàòåëüíî, îäíîçíà÷íî ðàçëîæèòü âåêòîð ~rui uj ïî ýòîìó áàçèñó.Ñäåëàåì ýòî è ïîêàæåì, ÷òî êîýèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ ñîâïàäàþò ñ òåìè,÷òî óêàçàíû â äåðèâàöèîííûõ îðìóëàõ.
Èìååì~rui uj = Akij ~ruk + Bij ~n.Óìíîæèì ýòî ðàâåíñòâî ñêàëÿðíî íà âåêòîð ~n. Ïîñêîëüêó âåêòîð íîðìàëè îðòîãîíàëåí êàñàòåëüíûì âåêòîðàì ~ruk , òî ìû ïîëó÷èì(~rui uj , ~n) = Bij (~n, ~n) = Bij .Íî (~rui uj , ~n) ýòî â òî÷íîñòè êîýèöèåíò bij âòîðîé êâàäðàòè÷íîéîðìû (ñì. îïðåäåëåíèå â ïðîøëîì ñåìåñòðå). Èòàê, Bij = bij , ÷òî è òðåáîâàëîñü.Óìíîæèì òåïåðü òî æå ñàìîå ðàâåíñòâî ñêàëÿðíî íà âåêòîð ~rul . Ïîëó÷èì(~rui uj , ~rul ) = Akij (~ruk , ~rul ) = Akij gklèëè, ïîäíèìàÿ èíäåêñû (äîìíîæàÿ íà ìàòðèöó, îáðàòíóþ ê ìåòðè÷åñêîìóòåíçîðó),Akij = g kl (~rui uj , ~rul ) .Òàêèì îáðàçîì, ìû äîëæíû ïîêàçàòü, ÷òî(~rui uj , ~rul ) = Γij,l .29Èñïîëüçóÿ ÿâíóþ îðìóëó äëÿ ñèìâîëîâ Êðèñòîåëÿ ñèììåòðè÷åñêîéðèìàíîâîé ñâÿçíîñòè, ìû ïîëó÷àåì1 ∂gil∂gjl∂gijΓij,l =+−=2 ∂uj∂ui∂ul1∂∂∂(~r i , ~r l ) +(~r j , ~r l ) −(~r i , ~r j ) ==2 ∂uj u u∂ui u u∂ul u u1= ((~rui uj , ~rul ) + (~rui , ~rul uj ) + (~ruj ui , ~rul ) +2+ (~ruj , ~rul ui ) − (~rui ul , ~ruj ) − (~rui , ~ruj ul )) = (~rui uj , ~rul ),÷òî è òðåáîâàëîñü.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
