Лекции в формате PDF (1124094), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Äàëåå ìû äîëæíû ðàññìîòðåòü ååîáðàç ïðè îòîáðàæåíèè exp è âçÿòü êàñàòåëüíûé âåêòîð ê ïîëó÷èâøåéñÿêðèâîé â ìíîãîîáðàçèè M . Ýòîò âåêòîð ïî îïðåäåëåíèþ è áóäåò îáðàçîì ξïîä äåéñòâèåì äèåðåíöèàëà îòîáðàæåíèÿ exp. Äðóãèìè ñëîâàìè,d d exp(ξ) =exp(tξ).dt t=0â êàñàòåëüíîì ïðîñòðàíñòâåÍî ìû óæå çíàåì, ÷òî exp(tξ) ýòî ãåîäåçè÷åñêàÿ ñ íà÷àëüíûì âåêòîðîìdξ , ò.å. dtexp(tξ) = ξ . Òàêèì îáðàçîì, d exp â íóëå ÿâëÿåòñÿ òîæäåñòâåít=0íûì îòîáðàæåíèåì (ýòî ñâîéñòâî àíàëîãè÷íî ñâîéñòâó îáû÷íîé ýêñïîíåíòû). Èòàê, äèåðåíöèàë íåâûðîæäåí â íóëå, ïîýòîìó ýêñïîíåíöèàëüíîåîòîáðàæåíèå ÿâëÿåòñÿ ëîêàëüíûì äèåîìîðèçìîì íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè íóëåâîãî âåêòîðà ξ0 = ~0 ∈ TP M íà íåêîòîðóþ îêðåñòíîñòü òî÷êèP ∈ M.43Ëåêöèÿ 8.åîäåçè÷åñêèå êàê êðàò÷àéøèå (ïðîäîëæåíèå).àññìîòðèì ðèìàíîâî ìíîãîîáðàçèå M n è ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó P ∈ M n . ïðåäûäóùåé ëåêöèè ìû îïðåäåëèëè îòîáðàæåíèåexp : TP M → M.Íàïîìíèì, ÷òî åñëè ξ ∈ TP M êàñàòåëüíûé âåêòîð â òî÷êå P , òî exp ξ =γ(1), ãäå γ(t) ãåîäåçè÷åñêàÿ îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåìàÿ ñëåäóþùèìè íàdγ÷àëüíûìè óñëîâèÿìè γ(0) = P ,(0) = ξ .dtÁûëî äîêàçàíî, ÷òî îòîáðàæåíèå exp ÿâëÿåòñÿ ëîêàëüíûì äèåîìîðèçìîì.
Îáñóæäàåìûå íèæå êîíñòðóêöèè ìû áóäåì ïðîâîäèòü ëîêàëüíîâ îêðåñòíîñòè òî÷êè P , òðåáóÿ ÷òîáû íà ýòîé îêðåñòíîñòè áûëî îïðåäåëåíî ãëàäêîå îòîáðàæåíèå exp−1 . Îïðåäåëåíèå àññìîòðèì â êàñàòåëüíîìïðîñòðàíñòâå ìíîæåñòâàVε = {ξ ∈ TP M | |ξ| = ε},Bε = {ξ ∈ TP M | |ξ| ≤ ε},ÿâëÿþùèåñÿ ñîîòâåòñòâåííî ñåðîé è øàðîì ðàäèóñà ε. Èõ îáðàçû ïðè ýêñïîíåíöèàëüíîì îòîáðàæåíèèSε = exp (Vε )Uε = exp (Bε )ìû áóäåì íàçûâàòü ãåîäåçè÷åñêîé ñåðîé è ãåîäåçè÷åñêèì øàðîì ñîîòâåòñòâåííî.Ëåììà àóññà åîäåçè÷åñêàÿ γ0 (t), ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç öåíòð P ãåîäåçè÷åñêîé ñåðû Sε , ïåðåñåêàåò ýòó ñåðó ïîä ïðÿìûì óãëîì.
Çàìå÷àíèå Ýòîóòâåðæäåíèå ÿâëÿåòñÿ òî÷íûì àíàëîãîì ñòàíäàðòíîãî øêîëüíîãî óòâåðæäåíèÿ î òîì, ÷òî êàñàòåëüíàÿ ïåðïåíäèêóëÿðíà ðàäèóñó, ïðîâåäåííîìóâ òî÷êó êàñàíèÿ.Äîêàçàòåëüñòâî Ïóñòü Q òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ãåîäåçè÷åñêîé γ0 (t) =exp(tξ0 è ñåðû Sε (áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî |ξ0 | =1). Íàì äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî γ0 (t) ïåðåñåêàåòñÿ ïîä ïðÿìûì óãëîì ïðîèçâîëüíóþ ãëàäêóþ êðèâóþ ϕ(s), ëåæàùóþ íà ãåîäåçè÷åñêîé ñåðå è ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êó Q = ϕ(s0 ).Ïîñêîëüêó ìû íàõîäèìñÿ âáëèçè òî÷êè P , òî ìû êàæäóþ òî÷êó êðèâîéϕ(s) ìîæåì îäíîçíà÷íî ïðåäñòàâèòü â âèäåϕ(s) = exp(εξ(s)),ãäå|ξ(s)| = 1. ÷àñòíîñòè ξ(s) ãëàäêàÿ êðèâàÿ íà ñåðå Vε , ëåæàùåé â êàñàòåëüíîìïðîñòðàíñòâå TP M , ïðè÷åì ξ(s0 ) = ξ0 .44àññìîòðèì ãëàäêîå îòîáðàæåíèå (ýòî îòîáðàæåíèå ìîæíî ïîíèìàòüêàê äâóìåðíóþ ïîâåðõíîñòü â ìíîãîîáðàçèè M )ψ(t, s) = exp(tξ(s)).Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ψ(t, s0 ) = exp(tξ0 ) = γ0 (t).
Áîëåå òîãî ïðè ëþáîìèêñèðîâàííîì s ãëàäêàÿ êðèâàÿ γs (t) = exp(tξ(s)) = ψ(t, s) ÿâëÿåòñÿãåîäåçè÷åñêîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó P ïî íàïðàâëåíèþ ξ(s) ∈ TP M .Ïðè ýòîì t íàòóðàëüíûé ïàðàìåòð íà ýòîé ãåîäåçè÷åñêîé, ïîñêîëüêó dγs dt (0) = |ξs | = 1.Íàîáîðîò, åñëè èêñèðîâàòü t = ε ìû ïîëó÷èì êðèâóþ ϕ(s) :ψ(ε, s) = ϕ(s).Íàì íóæíî ïîêàçàòü, ÷òîdγ0dϕ(Q) ⊥(Q),dtdsèëè, ÷òî òî æå ñàìîå, â òåðìèíàõ îòîáðàæåíèÿ ψ∂ψ∂ψ(ε, s0 ) ⊥(ε, s0 ).∂t∂sÌû ïîêàæåì ñåé÷àñ, ÷òî íà ñàìîì äåëå ýòà îðòîãîíàëüíîñòü èìååò ìåñòîíå òîëüêî ïðè t = ε, s = s0 , íî äàæå òîæäåñòâåííî ïðè ëþáûõ t è s.∂ψàññìîòðèì ∂ψ∂t è ∂s êàê ãëàäêèå âåêòîðíûå ïîëÿ è äîêàæåì ñëåäóþùååâñïîìîãàòåëüíîå óòâåðæäåíèå.∂ψËåììà ∇s ∂ψ∂t = ∇t ∂s .Çäåñü ìû èñïîëüçîâàëè äëÿ êðàòêîñòè ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ ∇t =∇ ∂ψ è ∇s = ∇ ∂ψ .∂t∂sÄîêàçàòåëüñòâî ëåììû Ïðîâåðêà ÿâíûì âû÷èñëåíèåì ñ èñïîëüçîâàíèåìîðìóëû êîâàðèàíòíîãî äèåðåíöèðîâàíèÿ è ñèììåòðè÷íîñòè ðàññìàòðèâàåìîé ñâÿçíîñòè:i∂ψ∂ 2 ψi∂ψ j ∂ψ k∇s=+ Γijk.∂t∂s∂t∂t ∂sÂèäíî, ÷òî ïðè çàìåíå t íà s ëåâàÿ ÷àñòü ýòîãî âûðàæåíèÿ íå ìåíÿåòñÿ, ÷òîè òðåáîâàëîñü.
Ëåììà äîêàçàíà.Òåïåðü äîêàçàòåëüñòâî ëåììû àóññà ëåãêî äîâîäèòñÿ äî êîíöà. Èìååì ∂ψ ∂ψ∂ψ ∂ψ∂ψ∂ψ∇t,= ∇t,+, ∇t=∂s ∂t∂s ∂t∂s∂t(âòîðîé ÷ëåíâ ýòîìdγâûðàæåíèè îáðàùàåòñÿ â íóëü ïîñêîëüêó∇t ∂ψ=∇∂tdt = 0, ò.ê. γs (t) ãåîäåçè÷åñêàÿ;äëÿ ïåðâîãî ÷ëåíà èñïîëüçóåì òîëüêî ÷òî äîêàçàííóþ âñïîìîãàòåëüíóþ ëåììó)dγsdt=∂ψ ∂ψ∇s,∂t ∂ts1= ∇s2∂ψ ∂ψ,∂t ∂t45=1∇s (1) = 0.2(Çäåñü ìû èñïîëüçîâàëè,ïàðàìåòð íà ãåîäåçè÷åñêîé ÷òî t íàòóðàëüíûé∂ψ ∂ψdγdγγs (t), ïîýòîìó ∂t , ∂t = dt , dt = 1).ss∂ψ ∂ψ,ÿâëÿåòñÿ êîíñòàíòîé∂s ∂têàê óíêöèÿ îò ïåðåìåííîé t.
Íî ïðè t = 0 èìååì ψ(0, s) = exp(0 · ξ(s)) =∂ψ∂ψ ∂ψ (0, s) = 0. Îòêóäà,= 0. Òàêèì îáðàexp(0) = P , ïîýòîìó∂s∂s ∂t t=0∂ψ ∂ψçîì,,≡ 0, ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.∂s ∂tÄîêàæåì îäíî âàæíîå ñëåäñòâèå ëåììû àóññà. àññìîòðèì äâå ãåîäåçè÷åñêèå ñåðû Sε è Sε′ ñ öåíòðîì â òî÷êå P . Ïóñòü Q ∈ Sε è Q′ ∈ Sε′ äâåïðîèçâîëüíûå òî÷êè íà ýòèõ ñåðàõ è γ ñîåäèíÿþùàÿ èõ êðèâàÿ, l(γ) åå äëèíà.Ñëåäñòâèå l(γ) ≥ ε − ε′ , ïðè÷åì ðàâåíñòâî äîñòèãàåòñÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà γ ãåîäåçè÷åñêàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç öåíòð P (ïîñëå ïîäõîäÿùåéïåðåïàðàìåòðèçàöèè).Äðóãèìè ñëîâàìè ìèíèìóì äîñòèãàåòñÿ, êîãäà γ êóñî÷åê ðàäèóñà ñåðû.Äîêàçàòåëüñòâî Ïóñòü s ïàðàìåòð íà êðèâîé γ (íå îáÿçàòåëüíî íàòóðàëüíûé), Q = γ(s0 ), Q′ = γ(s′0 ).
Òîãäà äëÿ ëþáîãî s ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ïðåäñòàâëåíèå òî÷êè γ(s) â âèäåÒàêèì îáðàçîì ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèåγ(s) = exp(tξ),ãäå ξ ∈ TP M,|ξ| = 1.Òàêèì îáðàçîì êðèâóþ γ ìû ìîæåì (èñïîëüçóÿ ïðåäûäóùèå îáîçíà÷åíèÿ)ïðåäñòàâèòü â âèäåγ(s) = exp(t(s), ξ(s)) = ψ(t(s), s).Äëÿ íàõîæäåíèÿ äëèíû êðèâîé γ ìû äîëæíû âçÿòü èíòåãðàë îò äëèíûåå âåêòîðà ñêîðîñòèdγ∂ψ dt∂ψ=·+.ds∂t ds∂s∂ψÏî äîêàçàííîé âûøå ëåììå àóññà âåêòîðû ∂ψ∂t è ∂s ïåðïåíäèêóëÿðíû,ïîýòîìó (ïî òåîðåìå Ïèàãîðà) èìååì 2 2 2 2 2 2 dγ = ∂ψ · dt + ∂ψ ≥ ∂ψ · dt . ds ∂t ds ∂s ∂t ds Òîãäàl(γ) =Zs0s′0 Z s0 dγ ∂ψ dt ds ≥ ds ∂t · ds ds =s′0 ∂ψ ∂t = 1(èñïîëüçóåì, ÷òî)ZZ s0 s0 dt dt ds ≥ =ds = |t(s0 ) − t(s′0 )| = |ε − ε′ | .dss′0 dss′046Èç äîêàçàòåëüñòâà âèäíî, ÷òî ðàâåíñòâî äîñòèãàåòñÿ òîëüêî ïðè óñëîâèè,÷òî ∂ψ∂s = 0, ò.å. ξ(s) = ξ0 = onst.
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî γ(s) = exp(t(s)ξ0 ). Äðóãèìè ñëîâàìè, ñ òî÷íîñòüþ äî ïåðåïàðàìåòðèçàöèè γ ýòî ãåîäåçè÷åñêàÿ,ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç öåíòð ñåðû. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå ðàâåíñòâîäåéñòâèòåëüíî äîñòèãàåòñÿ (ïðîâåðüòå). Ñëåäñòâèå äîêàçàíî.Ñëåäñòâèå 2 Ïóñòü òî÷êà q ëåæèò â ãåîäåçè÷åñêîì øàðå ñ öåíòðîì âòî÷êå p äîñòàòî÷íî ìàëîãî ðàäèóñà ǫ (òàêîãî, ÷òî îòîáðàæåíèå exp ÿâëÿåòñÿíà ýòîì øàðå äèåîìîðèçìîì). Ïóñòü q = exp ξ . Òîãäà ãåîäåçè÷åñêàÿγ(t) = exp(tξ), ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííîé êðàò÷àéøåé, ñîåäèíÿþùåé òî÷êè p èq.Äîêàçàòåëüñòâî Äîñòàòî÷íî â ïðåäûäóùåì ñëåäñòâèè ïåðåéòè ê ïðåäåëóïðè ε′ → 0.Ýòî ñëåäñòâèå îçíà÷àåò, ÷òî ëîêàëüíî ãåîäåçè÷åñêèå ÿâëÿþòñÿ êðàò÷àéøèìè. Äðóãèìè ñëîâàìè, åñëè ìû ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ ãåîäåçè÷åñêóþγ è äâå äîñòàòî÷íî áëèçêèå òî÷êè p è q íà íåé, òî γ áóäåò êðàò÷àéøåé êðèâîé, ñîåäèíÿþùåé ýòè òî÷êè, è ïðèòîì åäèíñòâåííîé. ÷àñòíîñòè èç ýòîãî óòâåðæäåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî åñëè êàêàÿ-ëèáî êðèâàÿíà ãëàäêîì ìíîãîîáðàçèè, ñîåäèíÿþùàÿ ïàðó òî÷åê P è Q (íå îáÿçàòåëüíîáëèçêî ðàñïîëîæåííûõ), ÿâëÿåòñÿ êðàò÷àéøåé, òî ýòà êðèâàÿ îáÿçàòåëüíîÿâëÿåòñÿ ãåîäåçè÷åñêîé.
Äåéñòâèòåëüíî, åñëè êðèâàÿ ÿâëÿåòñÿ êðàò÷àéøåé,òî äëÿ ëþáîé ïàðû òî÷åê p è q íà íåé, ðàñïîëîæåííûõ áëèçêî äðóã ê äðóãó,ó÷àñòîê êðèâîé γ , çàêëþ÷åííûé ìåæäó íèìè, áóäåò òàêæå êðàò÷àéøèì. (Âñàìîì äåëå, åñëè áû åãî ìîæíî áûëî óêîðîòèòü, òî ìû ñìîãëè áû óêîðîòèòü è âñþ êðèâóþ).
Íî êàê ìû ïîêàçàëè, äëÿ áëèçêèõ òî÷åê êðàò÷àéøàÿêðèâàÿ îïðåäåëåíà îäíîçíà÷íî è ÿâëÿåòñÿ ãåîäåçè÷åñêîé. Òàêèì îáðàçîì,ó÷àñòîê êðèâîé γ ìåæäó òî÷êàìè p è q ÿâëÿåòñÿ ãåîäåçè÷åñêîé. ßñíî, ÷òîáóäó÷è ãåîäåçè÷åñêîé ëîêàëüíî íà ëþáîì ìàëåíüêîì ó÷àñòêå, γ áóäåò ãåîäåçè÷åñêîé è âñÿ öåëèêîì. êàêîì ñëó÷àå äëÿ äâóõ èêñèðîâàííûõ òî÷åê íà ñâÿçíîì ìíîãîîáðàçèè ñóùåñòâóåò ñîåäèíÿþùàÿ èõ êðàò÷àéøàÿ? Äðóãèìè ñëîâàìè, êîãäà íàìíîæåñòâå âñåõ êóñî÷íî-ãëàäêèõ êðèâûõ, ñîåäèíÿþùèõ ýòè òî÷êè, äîñòèãàåòñÿ ìèíèìóì óíêöèîíàëà äëèíû? Îêàçûâàåòñÿ èìååò ìåñòî ñëåäóþùàÿòåîðåìà.Òåîðåìà (). Íà êîìïàêòíîì ðèìàíîâîì ìíîãîîáðàçèè ëþáûå äâå òî÷êè ìîæíî ñîåäèíèòü êðàò÷àéøåé ãåîäåçè÷åñêîé.Çàäà÷à Ïîêàæèòå, ÷òî íà íåêîìïàêòíîì ìíîãîîáðàçèè ýòî íå âñåãäà óäàåòñÿ ñäåëàòü.áåç äîêàçàòåëüñòâàÒåíçîð êðèâèçíû èìàíà.Êîîðäèíàòíîå îïðåäåëåíèå òåíçîðà êðèâèçíû.
àññìîòðèì ðèìàíîâî ìíîãîîáðàçèå (M, gij ) ñ ñèììåòðè÷íîé ðèìàíîâîé ñâÿçíîñòüþ ∇.Íà÷íåì ñ ïðîñòåéøåãî ïðèìåðà. Ïóñòü Rn åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî ñìåòðèêîé δij . Òîãäà äëÿ ëþáîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ ξ ìû èìååì∇i ∇j ξ = ∇j ∇i ξ.47Äåéñòâèòåëüíî, êîâàðèàíòíîå äèåðåíöèðîâàíèå ñîâïàäàåò ñ îáû÷íûì÷àñòíûì äèåðåíöèðîâàíèåì è ïîýòîìó íå çàâèñèò îò ïîðÿäêà äèåðåíöèðîâàíèÿ. ñëó÷àå ïðîèçâîëüíîãî ðèìàíîâà ìíîãîîáðàçèÿ ýòî óñëîâèå, âîîáùå ãîâîðÿ, íå âûïîëíÿåòñÿ, ÷òî â îïðåäåëåííîì ñìûñëå ñâèäåòåëüñòâóåò îá èñêðèâëåííîñòè ìíîãîîáðàçèÿ. Ïîñìîòðèì, íàñêîëüêî êîâàðèàíòíîå äèåðåíöèðîâàíèå çàâèñèò îò ïîðÿäêà.
Ïóñòü T q âåêòîðíîå ïîëå. Ïîäñ÷èòàåìâûðàæåíèå(∇k ∇l − ∇l ∇k )T i .Èìååì∂T i+ Γiql T q ,∂xl∂T iiiq+ Γql T=∇k ∇l T = ∇k∂xl i p i∂∂T∂T∂Tp qiqiiq+ Γql T++ Γql T Γpk −+ Γqs T Γslk =∂xk ∂xl∂xl∂xs∂Γiql∂2T i∂T qq+T+ Γiql k + (. . . ) − (. . . )klk∂x ∂x∂x∂x∇l T i =Ïîìåíÿåì òåïåðü èíäåêñû k è l ìåñòàìè è âû÷òåì èç ïîëó÷åííîãî âûðàæåíèÿ.
Íåêîòîðûå ÷ëåíû ïðè ýòîì ñîêðàòÿòñÿ, è ìû âûïèøåì îêîí÷àòåëüíûé ðåçóëüòàò.(∇k ∇l − ∇l ∇k ) T i =∂Γiql=−∂xk−∂Γiqk∂xl+Γpql Γipk−Γpqk Γipl!T q−∂T iiqi+ΓT(Γslk − Γskl ) = Rq,klT q − Ωskl ∇s T iqs∂xsÌû ïðîâåëè âû÷èñëåíèÿ â îáùåì ñëó÷àå (äëÿ ïðîèçâîëüíîé ñâÿçíîñòè).Íà ñàìîì äåëå ìû ðàññìàòðèâàåìðèìàíîâó ñâÿçíîñòü,ïîýòîìó òåíçîð êðèâèçíû Ωskl îáðàùàåòñÿ â íóëü è âòîðîå ñëàãàåìîå îòñóòñòâóåò.  ðåçóëüòàòå ìû èìååìñèììåòðè÷åñêóþi(∇k ∇l − ∇l ∇k ) T i = Rq,klT q,iãäå ÷åðåç Rq,klìû îáîçíà÷èëè âûðàæåíèåiRq,kl=∂Γiql∂Γiqk−+ Γpql Γipk − Γpqk Γipl∂xk∂xliÏðåäëîæåíèå Íàáîð óíêöèé Rq,klîáðàçóåò òåíçîðíîå ïîëå òèïà (1,3).Äîêàçàòåëüñòâî Äîêàçàòåëüñòâî èñïîëüçóåò ñëåäóþùåå îáùèé àêò èçòåîðèè òåíçîðîâ (çäåñü íå âàæíî êîëè÷åñòâî èíäåêñîâ è ò.ï.).
Ïóñòü äëÿ ëþiáîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ T q íàáîð ÷èñåë (óíêöèé) Rq,klîáëàäàåò ñëåäóþùèì48iñâîéñòâîì: íîâûé íàáîð ÷èñåë (óíêöèé) âèäà Rq,klT q ÿâëÿåòñÿ òåíçîðîìi òåíçîð (òåíçîðíîå ïîëå).  íàøåì ñëó÷àå(òåíçîðíûì ïîëåì). Òîãäà Rq,klýòî óñëîâèå âûïîëíÿåòñÿ, òàê êàê êîâàðèàíòíîå äèåðåíöèðîâàíèå ïåðåâîäèò òåíçîðíûå ïîëÿ â òåíçîðíûå ïîëÿ. Äîêàæèòå ñàìîñòîÿòåëüíî ñîðìóëèðîâàííîå óòâåðæäåíèå.iÎïðåäåëåíèå Rq,kl òåíçîð êðèâèçíû èìàíà (íà ðèìàíîâîì ìíîãîîáðàçèè (M, gij ))Îòìåòèì, ÷òî òåíçîð êðèâèçíû èìàíà îäíîçíà÷íî âû÷èñëÿåòñÿ ÷åðåçðèìàíîâó ìåòðèêó gij (ò.å. ÿâëÿåòñÿ óíêöèåé îò ìåòðèêè).
 ÷àñòíîñòè, åñëè ìåòðèêà ÿâëÿåòñÿ ëîêàëüíî åâêëèäîâîé, òî òåíçîð êðèâèçíû îáðàùàåòñÿâ íóëü. (Äåéñòâèòåëüíî, åñëè gij = δij , òî ñèìâîëû Êðèñòîåëÿ îáðàùàþòñÿ â íóëü, äàëåå ñìîòðèòå íà ÿâíóþ îðìóëó äëÿ êîìïîíåíò òåíçîðàêðèâèçíû). Îêàçûâàåòñÿ, âåðíî è îáðàòíîå óòâåðæäåíèå.Òåîðåìà èìàíîâà ìåòðèêà gij ÿâëÿåòñÿ ëîêàëüíî åâêëèäîâîé òîãäà èiòîëüêî òîãäà, êîãäà òåíçîð êðèâèçíû Rq,klòîæäåñòâåííî ðàâåí íóëþ. Äîêàçàòåëüñòâî  îäíó ñòîðîíó ýòî óòâåðæäåíèå óæå äîêàçàëè. Îáðàòíîå óòâåðæäåíèå î ëîêàëüíîé åâêëèäîâîñòè ìåòðèêè ñ íóëåâûì òåíçîðîì êðèâèçíûíåòðèâèàëüíî. Ìû îñòàâëÿåì åãî áåç äîêàçàòåëüñòâà.Êîììåíòàðèé Íàïîìíèì, ÷òî ìåòðèêà íàçûâàåòñÿ ëîêàëüíî åâêëèäîâîéåñëè â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè êàæäîé òî÷êè ìíîãîîáðàçèÿ íàéäåòñÿ òàêàÿñèñòåìà êîîðäèíàò, â êîòîðîé gij = δij .
Êàê ïðîâåðèòü, ñóùåñòâóåò ëè òàêàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò? Èñõîäíàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò, â êîòîðîé èçíà÷àëüíîçàäàíà ìåòðèêà, ìîæåò áûòü âûáðàíà î÷åíü "íåóäà÷íî", òàê ÷òî åå êîýèöèåíòû áóäóò î÷åíü ñëîæíûìè. È ïðèäóìàòü çàìåíó êîîðäèíàò, ïðèâîäÿùóþ ìåòðèêó ê åâêëèäîâó âèäó, (èëè äîêàçàòü íåâîçìîæíîñòü òàêîãî ïðèâåäåíèÿ) äîâîëüíî ñëîæíî. Çäåñü êàê ðàç íàì ïðèõîäèò íà ïîìîùü òåíçîðêðèâèçíû.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
