Лекции в формате PDF (1124094), страница 14
Текст из файла (страница 14)
íàáîð ãëàäêèõ óíêöèé {ψα }, òàêèõ ÷òî1) suppP ψα ⊂ Uα ,2) α ψα = 1.Òîãäà äèåðåíöèàëüíàÿ îðìà ω ðàçëàãàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîìXω=ωα ,ãäå ωα = ψα ω, supp ωα ⊂ Uα .αÎïðåäåëåíèåZMω=XZαωα .UαÏðåäëîæåíèå Îïðåäåëåíèå êîððåêòíî, ò.å. çíà÷åíèå èíòåãðàëà íå çàâèñèò îò âûáîðà ïîëîæèòåëüíî îðèåíòèðîâàííîãî àòëàñà è ðàçáèåíèÿ åäèíèöû, ïîä÷èíåííîãî åìó.64Äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî óòâåðæäåíèÿ ñì. â À.Ñ.Ìèùåíêî, À.Ò.Ôîìåíêî"Êóðñ äèåðåíöèàëüíîé ãåîìåòðèè è òîïîëîãèè".Çàìå÷àíèå Èç äàííîãî óòâåðæäåíèÿ, î÷åâèäíî, ñëåäóåò, ÷òî ïðè èçìåíåíèè îðèåíòàöèè íà ìíîãîîáðàçèè èíòåãðàë îò äèåðåíöèàëüíîé îðìûìåíÿåò çíàê.Ôîðìóëà ÑòîêñàÎòìåòèì ïðåæäå âñåãî, ÷òî äèåðåíöèàëüíóþ îðìó, çàäàííóþ íàìíîãîîáðàçèè M , ìîæíî åñòåñòâåííûì îáðàçîì îãðàíè÷èòü íà ïðîèçâîëüíîå ïîäìíîãîîáðàçèå N . Åñëè äèåðåíöèàëüíàÿ îðìà ω ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê ïîëèëèíåéíîå îòîáðàæåíèå, òî îãðàíè÷åíèå íà ïîäìíîãîîáðàçèåïîïðîñòó îçíà÷àåò, ÷òî îðìà äåéñòâóåò òîëüêî íà êàñàòåëüíûå âåêòîðûê ïîäìíîãîîáðàçèþ, à ïðî îñòàëüíûå âåêòîðû çàáûâàåò.
Áîëåå îðìàëüíîñëåäóåò ðàññìîòðåòü âëîæåíèå f : N → M , à çàòåì âçÿòü îðìó f ∗ ω . Â÷àñòíîñòè, äèåðåíöèàëüíóþ îðìó ìîæíî îãðàíè÷èòü íà êðàé ìíîãîîáðàçèÿ.Ôîðìóëà Ñòîêñà Ïóñòü M îðèåíòèðîâàííîå êîìïàêòíîå ìíîãîîáðàçèåñ êðàåì, êðàé îðèåíòèðîâàí ïðè ïîìîùè âíóòðåííåé íîðìàëè, ω îðìàñòåïåíè (n − 1) íà M . ÒîãäàZZnω = (−1)dω.∂MMÄîêàçàòåëüñòâî1) Ïîëüçóÿñü ðàçáèåíèåì åäèíèöû ìû ìîæåì äîêàçûâàòü îðìóëó äëÿäèåðåíöèàëüíîé îðìû, íîñèòåëü êîòîðîé ñîäåðæèòñÿ â îäíîé êàðòå.2) Åñëè íîñèòåëü ñîäåðæèòñÿ â êàðòå, òî çàäà÷à ñðàçó ìîæåò áûòü ïåðåîðìóëèðîâàíà äëÿ ïîëóïðîñòðàíñòâà Rn+Äåéñòâèòåëüíî, åñëè x1 , .
. . , xn ëîêàëüíûå êîîðäèíàòû â êàðòå, òîZZdω =dωRn+MZω=∂MZω,Rn−1ãäå Rn−1 = {xn = 0} êðàé ïîëóïðîñòðàíñòâà Rn+ .Ïóñòü â ëîêàëüíûõ êîîðäèíàòàõXω=fi dx1 ∧ · · · ∧ dxi−1 ∧ dxi+1 · · · ∧ dxn ,idω =Xi(−1)i−1∂fi 1dx ∧ · · · ∧ dxn .∂xiÏîñêîëüêó íîñèòåëü êàæäîé èç îðì ñîäåðæèòñÿ â êàðòå, òî ìû ìîæåìñ÷èòàòü, ÷òî îáå îðìû ω è dω îïðåäåëåíû ãëîáàëüíî íà ïîëóïðîñòðàíñòâåRn+ , ïðè÷åì íîñèòåëü êàæäîé óíêöèè fi êîìïàêòåí. Òàêèì îáðàçîì, íàì65îñòàåòñÿ ïðîâåðèòü äîâîëüíî ïðîñòóþ îðìóëó äëÿ ïîëóïðîñòðàíñòâà:ZXn(−1)fi dx1 ∧ · · · ∧ dxi−1 ∧ dxi+1 ∧ · · · ∧ dxn =Rn−1 ={xn =0}iZX∂fi=(−1)i−1 i dx1 . .
. dxn .∂xRn+iÏðîâåäåì äîêàçàòåëüñòâî äëÿ êàæäîãî ñëàãàåìîãî â îòäåëüíîñòè.1) Ïóñòü i 6= n. Òîãäà îãðàíè÷åíèå îðìû fi dx1 ∧ · · · ∧ dxi−1 ∧ dxi+1 ∧· · · ∧ dxn íà ïîëóïðîñòðàíñòâî Rn−1 = {xn = 0}, î÷åâèäíî, îáðàùàåòñÿ âíóëü, ïîýòîìóZZn1i−1i+1nn(−1)fi dx ∧ · · · ∧ dx∧ dx∧ · · · ∧ dx = (−1)0 = 0.Rn−1Rn−1Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïåðåõîäÿ ê ïîâòîðíîìó èíòåãðèðîâàíèþ è èñïîëüçóÿîðìóëó Íüþòîíà-Ëåéáíèöà, äëÿ ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà ïîëó÷àåìZ +∞ZZ∂fi 1∂fi indx . . . dx =dx dx1 .
. . dxi−1 dxi+1 . . . dxn =iin−1∂x∂x−∞RnR+Z +(fi (+∞) − fi (−∞)) dx1 . . . dxi−1 dxi+1 . . . dxn =Rn−1+ZRn−1+(0 − 0) dx1 . . . dxi−1 dxi+1 . . . dxn = 0.n−1Çäåñü ÷åðåç R+îáîçíà÷åíî ïîëóïðîñòðàíñòâî {xn ≥ 0} â (n − 1)ìåðíîì åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå, êîîðäèíàòàìè â êîòîðîì ñëóæàò x1 , .
. . , xi−1 , xi+1 , . . . , xn .Èòàê, äëÿ i 6= n îðìóëà äîêàçàíà.2) Ïóñòü òåïåðü i = n. Òîãäà èìååìZ +∞ZZ∂fn∂fn n(−1)n−1 n dx1 . . . dxn = (−1)n−1dxdx1 . . . dxn−1 =nn∂x∂xn−10R+RZZn−11n−11n−1n=(−1)(fn (+∞) − fn (x , . . . , x, 0))dx . . . dx= (−1)fn dx1 . . . dxn−1 .Rn−1Rn−1Òåîðåìà äîêàçàíà.Ñëåäñòâèå Ïóñòü M îðèåíòèðóåìîå çàìêíóòîå ìíîãîîáðàçèå (ò.å. êîìïàêòíîå áåç êðàÿ) ðàçìåðíîñòè n. ÒîãäàZdω = 0Mäëÿ ëþáîé (n − 1)îðìû ω .Ëåêöèÿ 12.66ðóïïû êîãîìîëîãèé ãëàäêîãî ìíîãîîáðàçèÿ.Ìû íà÷íåì ñ íåêîòîðûõ ïîëåçíûõ ïðèëîæåíèé îðìóëû Ñòîêñà. Ïðåæäå âñåãî îòìåòèì, ÷òî ÷àñòíûìè ñëó÷àÿìè îáùåé îðìóëû Ñòîêñà ÿâëÿþòñÿ êëàññè÷åñêèå îðìóëû ðèíà, àóññà-Îñòðîãðàäñêîãî, îðìóëà Ñòîêñà äëÿ äâóìåðíîé ïîâåðõíîñòè ñ êðàåì â R3 .
Êðîìå òîãî äàæå îðìóëóÍüþòîíà-Ëåéáíèöà ìîæíî ñ÷èòàòü åå ÷àñòíûì ñëó÷àåì (â ýòîì ñëó÷àå ìíîãîîáðàçèåì ñ êðàåì ÿâëÿåòñÿ îòðåçîê). Îäíàêî, ñëåäóåò ïîìíèòü, ÷òî ïðèäîêàçàòåëüñòâå îðìóëû Ñòîêñà ìû ñóùåñòâåííî èñïîëüçîâàëè îðìóëóÍüþòîíà-Ëåéáíèöà è ýòî áûëî êëþ÷åâûì ìîìåíòîì äîêàçàòåëüñòâà. Ïîýòîìó ïîñëåäíþþ íå ñëåäóåò ðàññìàòðèâàòü êàê ñëåäñòâèå îáùåé îðìóëûÑòîêñà.Íàïîìíèì îïðåäåëåíèå èíòåãðàëà îò 1îðìû ïî ãëàäêîé êðèâîé.
Ïóñòüγ : [a, b] → M ãëàäêàÿ ïàðàìåòðèçîâàííàÿ êðèâàÿ â ìíîãîîáðàçèè M , èω äèåðåíöèàëüíàÿ 1îðìà íà M .Îïðåäåëåíèå 1 Èíòåãðàëîì îò 1-îðìû ω ïî ãëàäêîé ïàðàìåòðèçîâàííîéêðèâîé γ íàçûâàåòñÿ ÷èñëîZZ b dγω=ωdt.dtγa Êîììåíòàðèé Çäåñü ÷åðåç ω dγêàê îáû÷íî ìû îáîçíà÷èëè çíà÷åíèådtäèåðåíöèàëüíîé îðìå íà êàñàòåëüíîì âåêòîðå. Òî æå ñàìîå îïðåäåëåíèå ìîæíî áûëî áû äàòü ïî-äðóãîìó (èíâàðèàíòíûì ñïîñîáîì):ZZω=γ ∗ (ω),γ[a,b]Íàïîìíèì, ÷òî γ ∗ îïåðàòîð ïåðåíåñåíèÿ äèåðåíöèàëüíîé îðìûñ ìíîãîîáðàçèÿ M íà îòðåçîê [a, b] ïîìîùüþ ãëàäêîãî îòîáðàæåíèÿ γ .Êðîìåòîãî, ìîæíî çàïèñàòü ýòî îïðåäåëåíèå â êîîðäèíàòàõ.
Åñëè ω =Pi1ni fi (x)dx è γ(t) = (x (t), . . . , x (t)), òî!ZZ XZ b Xdxiiω=fi (x)dx =fi (x(t))dt.dtγγ iaiËåãêî âèäåòü, ÷òî äàííîå îïðåäåëåíèå íå çàâèñèò îò âûáîðà ïàðàìåòðèçàöèè íà êðèâîé. Áîëåå òî÷íî, çíà÷åíèå èíòåãðàëà íå ìåíÿåòñÿ ïðè ãëàäêîéñòðîãî âîçðàñòàþùåé çàìåíå ïàðàìåòðà. Åñëè íà êðèâîé ñìåíèòü îðèåíòàöèþ, ò.å. ñäåëàòü çàìåíó τ = τ (t) ñ óñëîâèåì τ ′ (t) < 0, òî çíàê èíòåãðàëàèçìåíèòñÿ íà ïðîòèâîïîëîæíûé. Ýòè àêòû ëåãêî ïðîâåðÿþòñÿ, îäíàêî,ïîëåçíî îáðàòèòü âíèìàíèå íà òî îáñòîÿòåëüñòâî, ÷òî îíè ñðàçó ñëåäóþò èçäàííîãî âûøå èíâàðèàíòíîãî îïðåäåëåíèÿ èíòåãðàëà ïî êðèâîé è òîãî, ÷òîçàìåíà ïàðàìåòðà íà êðèâîé ýòî ïðîñòî èçìåíåíèå ëîêàëüíûõ êîîðäèíàòíà îòðåçêå (ò.å.
ïåðåõîä ê äðóãîìó àòëàñó).67Îòìåòèì, ÷òî àíàëîãè÷íûé èíâàðèàíòíûé ïîäõîä ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòüèíòåãðàë ïî ïîãðóæåííîìó ìíîãîîáðàçèþ è äàæå ïî ãëàäêîìó îáðàçó ãëàäêîãî ìíîãîîáðàçèÿ.Îïðåäåëåíèå 2 Ïóñòü f0 , f1 : N → M äâà ãëàäêèõ îòîáðàæåíèÿ èçìíîãîîáðàçèÿ N â ìíîãîîáðàçèå M . Ýòè îòîáðàæåíèÿ íàçûâàþòñÿ ãëàäêîãîìîòîïíûìè, åñëè ñóùåñòâóåò ãëàäêîå ñåìåéñòâî ãëàäêèõ îòîáðàæåíèé Ft :N → M , (t ∈ [0, 1]) òàêîå, ÷òî F0 = f0 , F1 = f1 .ëàäêîå ñåìåéñòâî îòîáðàæåíèé Ft ìîæíî ýêâèâàëåíòíûì îáðàçîì èíòåðïðåòèðîâàòü êàê ãëàäêîå îòîáðàæåíèå F : N × [0, 1] → M (çäåñü öèëèíäðN × [0, 1] ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê ãëàäêîå ìíîãîîáðàçèå ñ êðàåì, òî÷êàìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ ïàðû (P, t), P ∈ N , t ∈ [0, 1]). Ïðè ýòîì F (P, t) = Ft (P )è, ñëåäîâàòåëüíî, íà íèæíåì îñíîâàíèè N × {0} öèëèíäðà îòîáðàæåíèåF ñîâïàäàåò ñ f0 , à íà âåðõíåì îñíîâàíèè N × {1} îòîáðàæåíèåì f1 .Ïðåäëîæåíèå 1 Ïóñòü γ0 è γ1 äâå çàìêíóòûå êðèâûå, ò.å. îòîáðàæåíèÿîêðóæíîñòè â ìíîãîîáðàçèå M , ω çàìêíóòàÿ 1îðìà íà .
Åñëè γ0 è γ1ãëàäêî ãîìîòîïíû, òîZZω=ω.γ0γ1Äðóãèìè ñëîâàìè, èíòåãðàëû îò çàìêíóòîé îðìû ïî ãîìîòîïíûì çàìêíóòûì êðèâûì ñîâïàäàþò.Äîêàçàòåëüñòâî àññìîòðèì ãëàäêóþ ãîìîòîïèþF : S 1 × [0, 1] → M,è ïåðåíåñåííóþ îðìó F ∗ ω íà öèëèíäðå S 1 × [0, 1]. Äëÿ ýòîé îðìû èìååìd(F ∗ ω) = F ∗ (dω) = 0. Èñïîëüçóÿ îðìóëó Ñòîêñà, ïîëó÷àåì:ZZZZ0=d(F ∗ ω) =F ∗ω =F ∗ω −F ∗ω =S 1 ×[0,1]∂(S 1 ×[0,1])S 1 ×{0}S 1 ×{1}ZZZZ=γ0∗ ω −γ1∗ ω =ω−ω.S1S1γ0γ1Çäåñü ìû èñïîëüçîâàëè òîò àêò, ÷òî èíòåãðàë ïî âåðõíåìó è íèæíåìóîñíîâàíèþ öèëèíäðà íóæíî áðàòü ñ ðàçíûìè çíàêàìè, ÷òî äèêòóåòñÿ ïðàâèëîì îðèåíòàöèè êðàÿ ìíîãîîáðàçèÿ ïðè ïîìîùè âíóòðåííåé íîðìàëè.Ïðåäëîæåíèå äîêàçàíî.Çàìå÷àíèå Ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íîå óòâåðæäåíèå ñïðàâåäëèâî äëÿ ãîìîòîïíûõ îòîáðàæåíèé íå òîëüêî îêðóæíîñòè, íî è ïðîèçâîëüíîãî ìíîãîîáðàçèÿ. Ïóñòü N çàìêíóòîå ìíîãîîáðàçèå ðàçìåðíîñòè k , f0 , f1 : N → Mãëàäêî ãîìîòîïíûå îòîáðàæåíèÿ, è ω çàìêíóòàÿ k îðìà íà ìíîãîîáðàçèè M .
ÒîãäàZZf0∗ ω =f1∗ ω.NNÄîêàçàòåëüñòâî ïîâòîðÿåòñÿ äîñëîâíî.Çàìå÷àíèå  äîêàçàííîì óòâåðæäåíèè âìåñòî çàìêíóòûõ êðèâûõ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êðèâûå ñ çàêðåïëåííûìè êîíöàìè. Ïóñòü γ0 è γ1 äâà68êðèâûå ñ íà÷àëîì è êîíöîì â òî÷êàõ P è Q ñîîòâåòñòâåííî, ω çàìêíóòàÿ1-îðìà. Òîãäà åñëèãîìîòîïíû â êëàññå êðèâûõ ñ çàêðåïëåíR ýòè êðèâûåRíûìè êîíöàìè, òî γ0 ω = γ1 ω . Äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî àêòà ïðîâîäèòñÿñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî. Îòëè÷èå ñîñòîèò â òîì, ÷òî èíòåãðèðîâàíèå íóæíî áóäåò ïðîâîäèòü íå ïî öèëèíäðó, à ïî êâàäðàòó, à çàòåì âîñïîëüçîâàòüñÿòåì, ÷òî íà áîêîâûõ åãî ñòîðîíàõ ïåðåíåñåííàÿ îðìà F ∗ ω çàíóëÿåòñÿ, ïîñêîëüêó ýòè ñòîðîíû îòîáðàæàþòñÿ â òî÷êè.Ñîðìóëèðóåì åùå îäíî ïîëåçíîå ñëåäñòâèå.
Ïóñòü ìíîãîîáðàçèå M îäíîñâÿçíî, ò.å. ëþáàÿ çàìêíóòàÿ êðèâàÿ ñòÿãèâàåòñÿ â òî÷êó (ãîìîòîïíà îòîáðàæåíèþ â òî÷êó). (Ïîêàæèòå, ÷òî ýòî óñëîâèþ ýêâèâàëåíòíî òîìó, ÷òî ëþáûå äâå êðèâûå ñ íà÷àëîì è êîíöîì â ïðîèçâîëüíûõ èêñèðîâàííûõ òî÷êàõP è Q ãîìîòîïíû â êëàññå êðèâûõ ñ çàêðåïëåííûìè êîíöàìè.) Òîãäà äëÿïðîèçâîëüíîé çàìêíóòîé 1îðìû ω èìååìZω = 0,γZZω=ω,γ0γ1ãäå γ ïðîèçâîëüíàÿ çàìêíóòàÿ êðèâàÿ, γ0 , γ1 ïðîèçâîëüíûå êðèâûå ñèêñèðîâàííûìè êîíöàìè. Çàìåòèì, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå äëÿ îäíîñâÿçíîãîRQìíîãîîáðàçèÿ èìååò ñìûñë çàïèñü P ω , â êîòîðîé ïîäðàçóìåâàåòñÿ èíòåãðèðîâàíèå ïî ïðîèçâîëüíîìó ïóòè, ñîåäèíÿþùåìó òî÷êè P è Q.ðóïïû êîãîìîëîãèé ãëàäêîãî ìíîãîîáðàçèÿ.Îïðåäåëåíèå 3 Äèåðåíöèàëüíàÿ k îðìà ω íàçûâàåòñÿ çàìêíóòîé,åñëè åå âíåøíèé äèåðåíöèàë ðàâåí íóëþ, ò.å.
dω = 0.Äèåðåíöèàëüíàÿ k îðìà ω íàçûâàåòñÿ òî÷íîé, åñëè îíà ÿâëÿåòñÿäèåðåíöèàëîì íåêîòîðîé äèåðåíöèàëüíîé îðìû ñòåïåíè k − 1, ò.å.ω = dκ .Îáîçíà÷åíèÿΩk (M ) ïðîñòðàíñòâî âñåõ äèåðåíöèàëüíûõ k îðì íà ìíîãîîáðàçèè M ;Z k (M ) ïðîñòðàíñòâî çàìêíóòûõ äèåðåíöèàëüíûõ k îðì íà ìíîãîîáðàçèè M ;B k (M ) ïðîñòðàíñòâî òî÷íûõ äèåðåíöèàëüíûõ k îðì íà ìíîãîîáðàçèè M ;Ïîñêîëüêó îïåðàòîð âíåøíåãî äèåðåíöèðîâàíèÿ îáëàäàåò ñâîéñòâîìd(dκ) = 0 äëÿ ëþáîé äèåðåíöèàëüíîé îðìû κ , òî èìååò ìåñòî âêëþ÷åíèå B k (M ) ⊂ Z k (M ). Ïîýòîìó ìîæíî ðàññìîòðåòü àêòîðïðîñòðàíñòâîZ k (M )/B k (M ).Îïðåäåëåíèå 4 Ôàêòîðïðîñòðàíñòâî H k (M ) = Z k (M )/B k (M ) íàçûâàåòñÿ k ìåðíîé ãðóïïîé êîãîìîëîãèé ìíîãîîáðàçèÿ M .
îâîðÿ î ãðóïïå, ìûèìååì â âèäó ãðóïïó ïî ñëîæåíèþ.Çàìå÷àíèå  òîïîëîãèè èìåþòñÿ ðàçëè÷íûå òèïû ãðóïï êîãîìîëîãèé.Ââåäåííûå âûøå êîãîìîëîãèè, èñïîëüçóþùèå äèåðåíöèàëüíûå îðìû,69íàçûâàþòñÿ êîãîìîëîãèÿìè äå àìà.Òåðìèíîëîãèÿ ×åðåç [ω] ìû áóäåì îáîçíà÷àòü ñìåæíûé êëàññ çàìêíóòîéîðìû ω ïî ïîäïðîñòðàíñòâó òî÷íûõ îðì. Ýòîò êëàññ íàçûâàåòñÿ êëàññîìêîãîìîëîãèé îðìû ω , èëè åå êîãîìîëîãè÷åñêîì êëàññîì. Äâå îðìû, ïðèíàäëåæàùèå îäíîìó êëàññó íàçûâàþòñÿ ãîìîëîãè÷íûìè.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
