Лекции в формате PDF (1124094)
Текст из файла
Ëåêöèÿ 1.Ïîíÿòèå òåíçîðà è òåíçîðíîãî ïîëÿ íà ìíîãîîáðàçèè.àññìîòðèì êîíå÷íîìåðíîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî V . Ìû óæå õîðîøîçíàêîìû ñ íåêîòîðûìè îáúåêòàìè, íåïîñðåäñòâåííî ñâÿçàííûìè ñ ëèíåéíûìè ïðîñòðàíñòâàìè: âåêòîðû, ëèíåéíûå óíêöèîíàëû, ëèíåéíûå îïåðàòîðû, áèëèíåéíûå îðìû è ò.ä. Îáðàòèì âíèìàíèå íà íå÷òî îáùåå, ÷òîîáúåäèíÿåò ýòè ïîíÿòèÿ. Ñ îäíîé ñòîðîíû âñå îíè ìîãóò áûòü îïðåäåëåíûèíâàðèàíòíî ñ ïîìîùüþ ñòàíäàðòíûõ îðìàëüíûõ îïðåäåëåíèé (íàïðèìåð,ëèíåéíûé îïåðàòîð ýòî ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå èç ïðîñòðàíñòâà V â ñåáÿ).Òåðìèí "èíâàðèàíòíî"îçíà÷àåò çäåñü íåçàâèñèìîñòü îò âûáîðà ñèñòåìû êîîðäèíàò. Îäíàêî äëÿ òîãî, ÷òîáû ðåàëüíî ðàáîòàòü ñ ýòèìè îáúåêòàìè, ìû÷àñòî èñïîëüçóåì èõ êîîðäèíàòíóþ çàïèñü (çàïèñûâàåì, íàïðèìåð, ëèíåéíûå îïåðàòîðû è áèëèíåéíûå îðìû ñ ïîìîùüþ ìàòðèö).
×òîáû ýòî ñäåëàòü, ìû ñíà÷àëà âñåãäà äîëæíû âûáðàòü áàçèñ â ïðîñòðàíñòâå V . Ïðè ýòîìïðè çàìåíå áàçèñà êîîðäèíàòíàÿ îðìà çàïèñè ðàññìàòðèâàåìûõ îáúåêòîâìåíÿåòñÿ ïî îïðåäåëåííîìó çàêîíó, çàâèñÿùåìó îò èõ òèïà.Íàïîìíèì âêðàòöå ýòè îðìóëû.Ïóñòü e1 , e2 , ..., en áàçèñ â ïðîñòðàíñòâå V . àññìîòðèì â ýòîì ïðîñòðàíñòâå1) âåêòîð ξ ,2) ëèíåéíûé óíêöèîíàë l (ìû îáû÷íî áóäåì íàçûâàòü åãî êîâåêòîðîì),3) ëèíåéíûé îïåðàòîð A,4) áèëèíåéíóþ îðìó B .Íàïîìíèì, ÷òî "êîîðäèíàòàìè"ýòèõ îáúåêòîâ â èêñèðîâàííîì áàçèñåíàçûâàþòñÿ ñîîòâåòñòâåííîP1) íàáîð êîýèöèåíòîâ (ξ i ) ðàçëîæåíèÿ âåêòîðà ξ ïî áàçèñó: ξ = ξ i ei ,2) íàáîð (li ) çíà÷åíèé ëèíåéíîãî óíêöèîíàëà l íà áàçèñíûõ âåêòîðàõ:li = l(ei ),3) íàáîð ÷èñåë (aji ) (îáðàçóþùèõ ìàòðèöó A ëèíåéíîãî îïåðàòîðà A), ãäåaji j àÿ êîîðäèíàòà îáðàçà iãî áàçèñíîãî âåêòîðà ïîä äåéñòâèåì îïåðàPòîðà A : A(ei ) = aji ej .
(çäåñü âåðõíèé èíäåêñ íóìåðóåò ñòðîêè, à íèæíèé ñòîëáöû ìàòðèöû ëèíåéíîãî îïåðàòîðà),4) íàáîð ÷èñåë bij (îáðàçóþùèõ ìàòðèöó êâàäðàòè÷íîé îðìû B ), ãäåbij çíà÷åíèå áèëèíåéíîé îðìû íà ïàðå áàçèñíûõ âåêòîðîâ ñ íîìåðàìèi è j : bij = B(ei , ej ).Ïóñòü e′1 , . . . , e′n äðóãîé áàçèñ è C = (cji ) ìàòðèöà ïåðåõîäà. Íàïîìíèì, ÷òî ïî ñòîëáöàì ìàòðèöû C ñòîÿò êîîðäèíàòû âåêòîðîâ íîâîãî áàçèñàâ ñòàðîì áàçèñå òàê, ÷òî âåðíî îðìàëüíîå ðàâåíñòâî(e′1 , . . . , e′n ) = (e1 , . .
. , en )CÏóñòü (ξ i ), (li′ ) êîîðäèíàòû âåêòîðà ξ è êîâåêòîðà l â íîâîì áàçèñå, A′è B ′ ìàòðèöû ëèíåéíîãî ëèíåéíîãî îïåðàòîðà A è êâàäðàòè÷íîé îðìû′1B â íîâîì áàçèñå. Òîãäà (óáåäèòåñü â ýòîì ñàìîñòîÿòåëüíî) èìåþò ìåñòîñëåäóþùèå îðìóëû:1. Çàêîí ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò âåêòîðà..′.′ξ 1 ..ξ n = C −1 ξ 1 ..ξ n2. Çàêîí ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò êîâåêòîðà. ...Tl1′ .ln′ = Cl1 ..ln3. Çàêîí ïðåîáðàçîâàíèÿ ìàòðèöû ëèíåéíîãî îïåðàòîðà.A′ = C −1 AC4. Çàêîí ïðåîáðàçîâàíèÿ ìàòðèöû áèëèíåéíîé îðìû.B ′ = C T BCÒàêèì îáðàçîì, ìû âèäèì, ÷òî âñå ýòè îáúåêòû ìîãóò çàäàâàòüñÿ íàáîðàìè ÷èñåë, êîòîðûå ïðè çàìåíå êîîðäèíàò ïðåîáðàçóþòñÿ ïî íåêîòîðîìóñïåöèàëüíîìó ïðàâèëó.Ìû ïîëîæèì ýòî íàáëþäåíèå â îñíîâó îïðåäåëåíèÿ òåíçîðíîãî ïîëÿ íàìíîãîîáðàçèè.Ñäåëàåì åùå îäíî ïðåäâàðèòåëüíîå çàìå÷àíèå.  ñëó÷àå ìíîãîîáðàçèÿâ êà÷åñòâå ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà áóäåò âûñòóïàòü êàñàòåëüíîå ïðîñòðàíñòâî ê ìíîãîîáðàçèþ.
Êàê ìû óæå çíàåì, ëîêàëüíàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò(x1 , . . . , xn ) íà ñàìîì ìíîãîîáðàçèè ïîçâîëÿåò îäíîçíà÷íî ïîñòðîèòü áàçèñâ êàæäîì êàñàòåëüíîì ïðîñòðàíñòâå (äëÿ òî÷åê, ïîïàâøèõ â ñîîòâåòñòâóþùóþ êàðòó). Äëÿ êàæäîãî èç òðåõ îïðåäåëåíèé êàñàòåëüíîãî âåêòîðà ìîæíîýòîò áàçèñ åñòåñòâåííûì îáðàçîì îïðåäåëèòü. Íàïðèìåð, ýòîò áàçèñ áóäóòîáðàçîâûâàòü êàñàòåëüíûå âåêòîðû ~rx1 , . .
. , ~rxn ê ïàðàìåòðèçîâàííûì êîîðäèíàòíûì ëèíèÿì. Èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, ìû ìîæåì ðàññìàòðèâàòü âåêòîðû∂∂èç ýòîãî áàçèñà êàê äèåðåíöèàëüíûå îïåðàòîðû 1 , . . . , n . Ýòî îáñòî∂x∂xÿòåëüñòâî ÿâëÿåòñÿ âàæíûì: ïîñëå çàäàíèÿ ñèñòåìû êîîðäèíàò íà ñàìîììíîãîîáðàçèè áàçèñ â êàñàòåëüíîì ïðîñòðàíñòâå ñòðîèòñÿ àâòîìàòè÷åñêè.Ïîýòîìó ìû âñåãäà áóäåì ãîâîðèòü î ëîêàëüíûõ êîîðäèíàòàõ íà ìíîãîîáðàçèè, íå àêöåíòèðóÿ âíèìàíèÿ íà áàçèñ â êàñàòåëüíîì ïðîñòðàíñòâå, ïîìíÿîäíàêî î åãî ñóùåñòâîâàíèè.
Êðîìå ýòîãî âàæíî îòìåòèòü, ÷òî ìàòðèöåéïåðåõîäà îò îäíîãî áàçèñà ê äðóãîìó ñëóæèò ïðè òàêîì ïîäõîäå ìàòðèöàßêîáè (çàìåíû êîîðäèíàò íà ìíîãîîáðàçèè):X ∂xi ∂∂′ =i∂x∂xi′ ∂xiiÇäåñü x1 , . . . , xn íîâàÿ ëîêàëüíàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò íà ìíîãîîáðàçèè.′′2Âàæíîå çàìå÷àíèå îá èñïîëüçîâàíèè øòðèõîâ Ìû ÷àñòî áóäåì ïîìå÷àòüíîâóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò øòðèõîì, êîòîðûé áóäåò ñòàâèòüñÿ ó èíäåêñà.Ïðè ýòîì "øòðèõ"áóäåò íåñòè äâîéíóþ íàãðóçêó. Âî-ïåðâûõ îí ïîêàçûâàåò, ÷òî ñèñòåìà êîîðäèíàò, â êîòîðîé çàïèñàí ðàññìàòðèâàåìûé îáúåêò,ÿâëÿåòñÿ "øòðèõîâàííîé", ò.å.
íîâîé. Âî-âòîðûõ, "øòðèõ"îòíîñèòñÿ ê èíäåêñó, óêàçûâàÿ, ÷òî èíäåêñ òîæå ÿâëÿåòñÿ íîâûì. Íàïðèìåð, îáîçíà÷åíèå′xi ïîêàçûâàåò, ÷òî ðå÷ü èäåò î íîâîé "øòðèõîâàííîé"ñèñòåìå êîîðäèíàò, èâ ýòîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ìû ðàññìàòðèâàåì êîîðäèíàòó ñ íîìåðîì i′ (êîòîðûé íå èìååò íè÷åãî îáùåãî ñ íîìåðîì i, ò.å. i′ 6= i).  ðåäêèõ ñëó÷àÿõýòî ñîãëàøåíèå íàðóøàåòñÿ, íàïðèìåð, 1′ âñå-òàêè ðàâíî 1, â îáîèõ ñëó÷àÿõîíè îáîçíà÷àþò ïåðâóþ êîìïîíåíòó ÷åãî-ëèáî (íî â ðàçíûõ ñèñòåìàõ êîîðäèíàò). Êðîìå òîãî n ó íàñ îáû÷íî îáîçíà÷àåò ðàçìåðíîñòü ìíîãîîáðàçèÿ,ïîýòîìó (ñì. ÷óòü âûøå) n = n′ (ýòî åñòåñòâåííî, íå ìîæåò æå ðàçìåðíîñòüìíîãîîáðàçèÿ èçìåíèòüñÿ ïðè ïåðåõîäå ê íîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò).Åùå îäíî íàïîìèíàíèå î ñòàðîì ñîãëàøåíèè Ïî ïîâòîðÿþùèìñÿ èíäåêñàì, îäèí èç êîòîðûõ ñòîèò ñâåðõó, à äðóãîé ñíèçó, âî âñåõ íàøèõ îðìóëàõ ïðåäïîëàãàåòñÿ ñóììèðîâàíèå.
Çíàê ñóììû ïðè ýòîì îïóñêàåòñÿ.Îïðåäåëåíèå 1 Òåíçîðîì òèïà (p, q) â òî÷êå P ∈ M íàçûâàåòñÿ îáúåêò,çàäàâàåìûé â êàæäîé ëîêàëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò x1 , . . . , xn íàáîðîì ÷èi ...iñåë {Tj11...jqp }, êîòîðûé ïðè ïåðåõîäå â ëþáóþ äðóãóþ ëîêàëüíóþ ñèñòåìó′′êîîðäèíàò x1 , . . . , xn ïðåîáðàçóåòñÿ ïî ñëåäóþùåìó çàêîíói′ ...i′1′′i ...iTj ′1...j p′ = Tj11...jqpq∂xip∂xj1∂xjq∂xi1(P)...(P )′ (P ) . .
.′ (P )iijp1∂x∂x∂x 1∂xjqÅñëè òåïåðü ìû â êàæäîé òî÷êå ìíîãîîáðàçèÿ ðàññìîòðèì òåíçîð òèïà(p, q), ãëàäêî çàâèñÿùèé îò òî÷êè (ò.å. êàæäàÿ èç åãî êîìïîíåíò ãëàäêî çàâèñèò îò êîîðäèíàò òî÷êè), òî ìû ïîëó÷èì òåíçîðíîå ïîëå íà ìíîãîîáðàçèè.Áîëåå îðìàëüíî òåíçîðíîå ïîëå çàäàåòñÿ ñëåäóþùèì îïðåäåëåíèåì.Îïðåäåëåíèå 2 Òåíçîðíûì ïîëåì òèïà (p, q) íà ìíîãîîáðàçèè M íàçûâàåòñÿ îáúåêò, çàäàâàåìûé â êàæäîé ëîêàëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò x1 , . . .
, xni ...iíàáîðîì ãëàäêèõ óíêöèé {Tj11...jqp (x)}, êîòîðûé ïðè ïåðåõîäå â ëþáóþ äðóãóþ ëîêàëüíóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò x1 , . . . , xn ïðåîáðàçóåòñÿ ïî ñëåäóþùåìó çàêîíó′i′ ...i′Tj ′1...j p′ (x′ )q1′′=i ...iTj11...jqp (x)′∂xi1∂xip ∂xj1∂xjq......′′∂xi1∂xip ∂xj1∂xjqÇàìå÷àíèå Ýòà îðìóëà èìååò ìåñòî òîëüêî íà òîé îáëàñòè, ãäå îíàèìååò ñìûñë, à èìåííî íà ïåðåñå÷åíèè êàðò, â êîòîðûõ çàäàíû ëîêàëüíûå′′êîîðäèíàòû (x1 , . . . , xn ) è (x1 , .
. . , xn ).×àñòíûìè ñëó÷àÿìè òåíçîðíûõ ïîëåé íà ìíîãîîáðàçèè ÿâëÿþòñÿ, íàïðèìåð, âåêòîðíîå ïîëå (òåíçîð òèïà (1,0)); äèåðåíöèàë ãëàäêîé óíê∂f∂föèè df = ( 1 , . . . , n ) (òåíçîð òèïà (0,1)); ðèìàíîâà ìåòðèêà íà ìíîãîîá∂x∂xðàçèè (òåíçîð òèïà (0,2)). Áîëåå ñëîæíûå ïðèìåðû ìû óâèäèì íèæå.3 ëèíåéíîé àëãåáðå îáû÷íî äàåòñÿ äðóãîå îïðåäåëåíèå òåíçîðà. Îí îïðåäåëÿåòñÿ êàê ïîëèëèíåéíîå îòîáðàæåíèå. Ýòè äâà ïîäõîäà ýêâèâàëåíòíû èìû ñåé÷àñ óêàæåì åñòåñòâåííóþ ñâÿçü ìåæäó íèìè.àññìîòðèì êîíå÷íîìåðíîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî V è ñîïðÿæåííîå êíåìó ïðîñòðàíñòâî V ∗ .
Íàïîìíèì, ÷òî â íàøåì êóðñå â êà÷åñòâå V ìû ðàññìàòðèâàåì êàñàòåëüíîå ïðîñòðàíñòâî ê ìíîãîîáðàçèþ â òî÷êå: V = TP M ,íî äëÿ ñëåäóþùåãî îïðåäåëåíèÿ ýòî íåñóùåñòâåííî.Îïðåäåëåíèå 3 Òåíçîðîì òèïà (p, q) íà ïðîñòðàíñòâå V íàçûâàåòñÿ ïîëèëèíåéíîå îòîáðàæåíèåT : V × ···× V × V ∗ × ···× V ∗ → RÊîììåíòàðèé ê îïðåäåëåíèþ Çäåñü V × · · · × V × V ∗ × · · · × V ∗ îáîçíà÷àåòäåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå q ýêçåìïëÿðîâ ïðîñòðàíñòâà V è p ýêçåìïëÿðîâñîïðÿæåííîãî ïðîñòðàíñòâà V ∗ .
Äðóãèìè ñëîâàìè, îòîáðàæåíèå T èìååò(p + q) àðãóìåíòîâ q âåêòîðîâ è p êîâåêòîðîâ. Ïîëèëèíåéíîñòü îçíà÷àåò,÷òî T çàâèñèò ëèíåéíî îò êàæäîãî èç ñâîèõ ýëåìåíòîâ ïî-îòäåëüíîñòè.Çàäà÷à Ïðîèíòåðïðåòèðóéòå êàê ïîëèëèíåéíîå îòîáðàæåíèå âåêòîð, êîâåêòîð, ëèíåéíûé îïåðàòîð è áèëèíåéíóþ îðìó.Ñâÿçü ìåæäó äâóìÿ îïðåäåëåíèÿìè òåíçîðà î÷åíü ïðîñòà. Äëÿ òîãî, ÷òîáû åå óâèäåòü, äîñòàòî÷íî äëÿ ïîëèëèíåéíîãî îòîáðàæåíèÿ óêàçàòü ñîîòâåòñòâóþùèé åìó íàáîð ÷èñåë (ïðè óñëîâèè, ÷òî èêñèðîâàí íåêîòîðûéáàçèñ) è, íàîáîðîò, äëÿ ïðîèçâîëüíîãî íàáîðà ÷èñåë ïîñòðîèòü íåêîòîðîåïîëèëèíåéíîå îòîáðàæåíèå. Ñäåëàåì ýòî.àññìîòðèì ïðîèçâîëüíûé áàçèñ e1 , .
. . , en â ïðîñòðàíñòâå V . Ïî ýòîìóáàçèñó ìîæíî îäíîçíà÷íî ïîñòðîèòü ñîïðÿæåííûé ê íåìó áàçèñ e1 , . . . , en âïðîñòðàíñòâå V . Íàïîìíèì, ÷òî ñîïðÿæåííûé áàçèñ îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèìè ñîîòíîøåíèÿìèei (ej ) = δji .Çàìå÷àíèå.  ñëó÷àå êàñàòåëüíîãî ïðîñòðàíñòâó ê ìíîãîîáðàçèþ ñîïðÿ∂∂æåííûì ê áàçèñó, . . . , n ÿâëÿåòñÿ áàçèñ dx1 , . . . , dxn . Ýòî íå óòâåð∂x1∂xæäåíèå, à ñêîðåå îáúÿñíåíèå îáîçíà÷åíèÿ dxi .àññìîòðèì òåïåðü ïðîèçâîëüíîå ïîëèëèíåéíîå îòîáðàæåíèå T , ÿâëÿþùååñÿ òåíçîðîì òèïà (p, q) â ñìûñëå Îïðåäåëåíèÿ 3. Ýòî îòîáðàæåíèåïðîèçâîëüíîìó íàáîðó èç q âåêòîðîâ (ξ~1 , . . .
, ξ~q ) è p êîâåêòîðîâ (l1 , . . . , lp )ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå íåêîòîðîå âåùåñòâåííîå ÷èñëî(ξ~1 , . . . , ξ~q , l1 , . . . , lp ) ∈ R.(çäåñü ξ~α ∈ V , lβ ∈ V ∗ , α = 1, . . . , q , β = 1, . . . , p).  êà÷åñòâå íàáîðà ÷èñåëi ...i{Tj11...jqp } ìû âîçüìåì çíà÷åíèÿ îòîáðàæåíèÿ T íà âñåâîçìîæíûõ íàáîðàõáàçèñíûõ âåêòîðîâ, ïîëàãàÿi ...iTj11...jqp = T (ej1 , . . .
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
