Лекции в формате PDF (1124094), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Ýòîò àêò íåìåäëåííî âûòåêàåò èç ãåîìåòðè÷åñêîãîñìûñëà êîâàðèàíòíîãî äèåðåíöèðîâàíèÿ íà ïîâåðõíîñòè â òðåõìåðíîìïðîñòðàíñòâå. Äåéñòâèòåëüíî, îáîçíà÷èì ÷åðåç ∇1 è ∇2 ñâÿçíîñòè íà ïîâåðõíîñòÿõ V1 è V2 . Òîãäà óñëîâèÿ ïàðàëëåëüíîñòè ξ âäîëü êðèâîé γ íàïîâåðõíîñòÿõ V1 è V2 çàïèøóòñÿ â âèäå dξ(∇1 )γ ξ = pr1= 0,dt dξ= 0,(∇2 )γ ξ = pr2dtãäå pri îðòîãîíàëüíàÿ ïðîåêöèÿ íà êàñàòåëüíîå ïðîñòðàíñòâî ê ïîâåðõíîñòè Vi . Íî â íàøåì ñëó÷àå êàñàòåëüíûå ïðîñòðàíñòâà ê ïîâåðõíîñòÿì V1 èV2 íà êðèâîé γ ñîâïàäàþò, ïîýòîìó ñîâïàäàþò è óðàâíåíèÿ ïàðàëëåëüíîãîïåðåíîñà.Ýòî íàáëþäåíèå ìîæíî, íàïðèìåð, ïðèìåíèòü äëÿ îïèñàíèÿ ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíîñà âäîëü ïàðàëëåëè íà ñåðå.
Äîñòàòî÷íî âûáðàòü êîíóñ, êîòîðûé êàñàåòñÿ ñî ñåðîé âäîëü ýòîé ïàðàëëåëè, è ñäåëàòü ïàðàëëåëüíûéïåðåíîñ íà êîíóñå (ýòî ìû óæå óìååì äåëàòü).Çàäà÷à Íà êàêîé óãîë ïîâåðíåòñÿ âåêòîð ïðè åãî ïàðàëëåëüíîì îáíîñåïî ïàðàëëåëè ðàäèóñà ρ íà ñåðå ðàäèóñà r.4. Óðàâíåíèÿ ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíîñà íà ïëîñêîñòè Ëîáà÷åâñêîãî.
àññìîòðèì ïëîñêîñòü Ëîáà÷åâñêîãî â ìîäåëè íà âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè ñ ìåòðèêîédx2 + dy 2.ds2 =y2àññìîòðèì ãîðèçîíòàëüíóþ êðèâóþ y = y0 íà ïëîñêîñòè Ëîáà÷åâñêîãîè âûïèøåì ÿâíî óðàâíåíèå ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíîñà âäîëü íåå. Âû÷èñëèìïðåæäå ñèìâîëû Êðèñòîåëÿ ñèììåòðè÷åñêîé ðèìàíîâîé ñâÿçíîñòè. Âñèëó êîíîðìíîñòè ìåòðèêè èìååì (ïîëàãàåì x1 = x, x2 = y ).y 2 ∂gij∂gik∂gjki+−Γjk =2 ∂xk∂xj∂xi34Ñëåäîâàòåëüíî,1Γ112 = Γ121 = − ,y1Γ211 = ,y1Γ222 = − ,yΓ212 = Γ212 = Γ111 = Γ122 = 0.Òîãäà óðàâíåíèÿ ïàðàëëåëüíîñòè âåêòîðíîãî ïîëÿ (ξ 1 (t), ξ 2 (t)) âäîëüêðèâîé {x = t, y = y0 } çàïèñûâàþòñÿ â âèäå (ìû ñðàçó îòáðàñûâàåì ÷ëåíûñ íóëåâûìè ñèìâîëàìè Êðèñòîåëÿ)dξ 1dydxdξ 2dxdy+ Γ112 ξ 1+ Γ121 ξ 2= 0,+ Γ211 ξ 1+ Γ222 ξ 2= 0,dtdtdtdtdtdtÏîäñòàâèì, íàêîíåö, ÿâíûå âûðàæåíèÿ äëÿ ñèìâîëîâ Êðèñòîåëÿ íàäàííîé êðèâîé è ÿâíûå âûðàæåíèÿ äëÿ âåêòîðà ñêîðîñòè êðèâîédξ 11dξ 21= ξ2 ,= − ξ1 .dty0dty0Ìîæíî ïåðåïèñàòü ýòè óðàâíåíèÿ â ìàòðè÷íîì âèäå 1 2 dξ dξ11= 0 − 0 ξ1ξ2dt dty0y0Ïîëó÷èëîñü ëèíåéíîå óðàâíåíèå ñ ïîñòîÿííûìè êîýèöèåíòàìè (â îáùåì ñëó÷àå êîýèöèåíòû ìàòðèöû ñèñòåìû çàâèñÿò îò t).
 äàííîì ñëó÷àåñèñòåìà ëåãêî ÿâíî ðåøàåòñÿ, è ðåøåíèå èìååò âèä11ξ (t) = sint + A0 ,y012ξ (t) = cost + A0 .y0Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðè äâèæåíèè âäîëü êðèâîé âïðàâî âåêòîð ðàâíîìåðíî âðàùàåòñÿ ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå. Ïðè÷åì, ïðè óìåíüøåíèè y0 (ò.å. ïðèïðèáëèæåíèè ïðÿìîé ê àáñîëþòó) ñêîðîñòü âðàùåíèÿ óâåëè÷èâàåòñÿ.5.Ïðåäëîæåíèå  ñëó÷àå ñèììåòðè÷åñêîé ðèìàíîâîé ñâÿçíîñòè ïðè ïàðàëëåëüíîì ïåðåíîñå ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ñîõðàíÿåòñÿ, ò.å. åñëè ξ(t) èη(t) âåêòîðíûå ïîëÿ, ïàðàëëåëüíûå âäîëü êðèâîé γ , òî (ξ(t), η(t)) = onst.Äîêàçàòåëüñòâî Ïðîäèåðåíöèðóåì âäîëü êðèâîé ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðíûõ ïîëåé ξ è η .
Ïîñêîëüêó ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ÿâëÿåòñÿ35ñêàëÿðíîé óíêöèåé, òî îáû÷íîå ïðîèçâåäåíèå âäîëü êðèâîé ñîâïàäàåò ñêîâàðèàíòíûì. Ïîëó÷àåìd(ξ(t), η(t)) = ∇γ (ξ(t), η(t)) = ∇γ (gij ξ i η j ) =dtïîëüçóåìñÿ ïðàâèëîì Ëåéáíèöà äèåðåíöèðîâàíèÿïðîèçâåäåíèÿ è óñëîâèåì ∇g ≡ 0= gij (∇γ ξ i )η j + gij ξ i (∇γ η j ) = (∇γ ξ, η) + (ξ, ∇γ η) = 0,ò.å.
(ξ(t), η(t)) = onst, ÷òî è òðåáîâàëîñü.Îòìåòèì òàêæå âàæíîå ñâîéñòâî ðèìàíîâîé ñâÿçíîñòè, ïîëó÷åííîå ïðèäîêàçàòåëüñòâå ýòîãî óòâåðæäåíèÿ, êîòîðîå áóäåò èñïîëüçîâàòüñÿ â äàëüíåéøåì: äëÿ ëþáûõ òðåõ âåêòîðíûõ ïîëåé ξ , η , ζ ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî∇ζ (ξ, η) = (∇ζ ξ, η) + (ξ, ∇ζ η).Ñëåäñòâèå Åñëè ñâÿçíîñòü ðèìàíîâà, òî ïðè ïàðàëëåëüíîì ïåðåíîñå äëèíà âåêòîðà ñîõðàíÿåòñÿ.Ñëåäñòâèå Åñëè ñâÿçíîñòü ðèìàíîâà, òî ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ (èç òî÷êè P â òî÷êó Q âäîëü êðèâîé γ ) ÿâëÿåòñÿ îðòîãîíàëüíûì îïåðàòîðîì èçïðîñòðàíñòâà TP M â ïðîñòðàíñòâî TQ M .Ëåêöèÿ 7.åîäåçè÷åñêèå.Ïîïðîáóåì îòâåòèòü íà ñëåäóþùèé âîïðîñ: êàêèå êðèâûå íà ïîâåðõíîñòè (íà ìíîãîîáðàçèè) ÿâëÿþòñÿ åñòåñòâåííûì àíàëîãàìè ïðÿìûõ â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå. Ïðÿìûå õàðàêòåðèçóþòñÿ òåì, ÷òî èõ êðèâèçíà ðàâíàíóëþ èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, ýòî òå êðèâûå, ïî êîòîðûì òî÷êà äâèæåòñÿáåç óñêîðåíèÿ.
Ñ òî÷êè çðåíèÿ ìåõàíèêè ïðÿìûå ýòî òðàåêòîðèè òî÷êè,äâèæóùåéñÿ ñâîáîäíî, êîãäà íà íåå íå äåéñòâóþò íèêàêèå âíåøíèå ñèëû.×òî òàêîå óñêîðåíèå íà ïàðàìåòðèçîâàííîé êðèâîé? Ýòî ïðîèçâîäíàÿ âäîëüêðèâîé âåêòîðà åå ñêîðîñòè.  ñëó÷àå ìíîãîîáðàçèÿ â êà÷åñòâå ïðîèçâîäíîé,êàê ìû çíàåì, ñëåäóåò áðàòü êîâàðèàíòíóþ ïðîèçâîäíóþ. Òàêèì îáðàçîì,ìû ìîæåì îïðåäåëèòü àíàëîã ïðÿìûõ íà ìíîãîîáðàçèè òàê: ýòî òàêèå ïàðàìåòðèçîâàííûå êðèâûå äëÿ êîòîðûõ êîâàðèàíòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ âåêòîðàñêîðîñòè êðèâîé âäîëü ýòîé æå ñàìîé êðèâîé (ò.å.
"êîâàðèàíòíîå óñêîðåíèå") ðàâíà íóëþ. Äàäèì îðìàëüíîå îïðåäåëåíèå.Îïðåäåëåíèå ëàäêàÿ ïàðàìåòðèçîâàííàÿ êðèâàÿ γ(t) íà ðèìàíîâîì ìíîãîîáðàçèè M ñ ñèììåòðè÷åñêîé ðèìàíîâîé ñâÿçíîñòüþ ∇ íàçûâàåòñÿ ãåîäåçè÷åñêîé, åñëèdγ∇γ= 0,dt36dγò.å. âåêòîð ñêîðîñòèïàðàëëåëåí âäîëü êðèâîé γ .dtÇàìå÷àíèå Ýòî æå îïðåäåëåíèå èñïîëüçóåòñÿ â ñëó÷àå ïðîèçâîëüíîé àèííîé ñâÿçíîñòè. È íåêîòîðûå àêòû, îáñóæäàåìûå íèæå îñòàþòñÿ ñïðàâåäëèâûìè è â ýòîé îáùåé ñèòóàöèè (ïîëåçíî ñàìîñòîÿòåëüíî âûÿñíèòü,êàêèå èìåííî).
Ìû îäíàêî îãðàíè÷èâàåìñÿ ðàññìîòðåíèåì ðèìàíîâûõ ñâÿçíîñòåé íà ìíîãîîáðàçèè.Âûïèøåì óðàâíåíèå ãåîäåçè÷åñêîé â ëîêàëüíûõ êîîðäèíàòàõ x1 , . . . , xn .Ïóñòü γ(t) = (x1 (t), . . . , xn (t)) ïàðàìåòðè÷åñêîå çàäàíèå êðèâîé. Òîãäàóðàâíåíèå (òî÷íåå ñèñòåìà èç n óðàâíåíèé) çàïèøåòñÿ òàêjkd2 xii dx dx+Γ=0jkdt2dt dtÎòìåòèì ñðàçó æå, ÷òî ãåîäåçè÷åñêèå íà ìíîãîîáðàçèè çàâèñÿò îò âûáîðà ðèìàíîâîé ìåòðèêè íà íåì.àññìîòðèì ïðîñòåéøèå ñâîéñòâà ãåîäåçè÷åñêèõ.1. Óðàâíåíèÿ ãåîäåçè÷åñêîé ýòî ñèñòåìà îáûêíîâåííûõ íåëèíåéíûõäèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé âòîðîãî ïîðÿäêà.
Ïîýòîìó äëÿ îòâåòà íà âîïðîñ î ñóùåñòâîâàíèè ãåîäåçè÷åñêèõ ìû ìîæåì âîñïîëüçîâàòüñÿ òåîðåìîéñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè èç êóðñà äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé.Ïóñòü P ∈ M òî÷êà íà ìíîãîîáðàçèè è ξ ∈ TP M êàñàòåëüíûé âåêòîð â ýòîé òî÷êå. Òîãäà íà íåêîòîðîì èíòåðâàëå t ∈ (−ε, ε) ñóùåñòâóåò èdγïðèòîì åäèíñòâåííàÿ ãåîäåçè÷åñêàÿ γ(t) òàêàÿ, ÷òî γ(0) = P ,(0) = ξ . Òàdtêèì îáðàçîì, ÷åðåç êàæäóþ òî÷êó ìíîãîîáðàçèÿ è â êàæäîì íàïðàâëåíèèïðîõîäèò åäèíñòâåííàÿ ãåîäåçè÷åñêàÿ.2. Íå âñåãäà ðåøåíèå óðàâíåíèÿ ãåîäåçè÷åñêèõ ìîæåò áûòü îïðåäåëåíîïðè t ∈ (−∞, +∞). Ò.å. íå âñåãäà ãåîäåçè÷åñêàÿ ìîæåò áûòü ïðîäîëæåíàïî ïàðàìåòðó t äî áåñêîíå÷íîñòè. Íàïðèìåð, åñëè ìû ðàññìîòðèì íà ïëîñdx2 + dy 2êîñòè ìåòðèêó ds2 =, òî ãåîäåçè÷åñêàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç(1 + x2 + y 2 )2íà÷àëî êîîðäèíàò íå ìîæåò áûòü ïðîäîëæåíà äî áåñêîíå÷íîñòè (â ñìûñëåïàðàìåòðà t), ïîñêîëüêó îíà çà êîíå÷íîå âðåìÿ óõîäèò íà áåñêîíå÷íîñòü(â ñìûñëå ïëîñêîñòè).
Ïîêàæèòå ýòî, èñïîëüçóÿ òîò àêò, ÷òî âûïèñàííàÿìåòðèêà ÿâëÿåòñÿ íà ñàìîì äåëå ìåòðèêîé íà ñåðå áåç ñåâåðíîãî ïîëþñàïîñëå ñòåðåîãðàè÷åñêîé ïðîåêöèè.Íà êîìïàêòíîì ìíîãîîáðàçèè, îäíàêî, ëþáàÿ ãåîäåçè÷åñêàÿ ìîæåò áûòüïðîäîëæåíà ïî ïàðàìåòðó ñêîëü óãîäíî äîëãî (ò.å. îò ìèíóñ äî ïëþñ áåñêîíå÷íîñòè) (áåç äîêàçàòåëüñòâà).3. Çàâèñèìîñòü îò ïàðàìåòðèçàöèè. Ïàðàìåòð íà ãåîäåçè÷åñêîé íåëüçÿâûáèðàòü ïðîèçâîëüíî â òîì ñìûñëå, ÷òî ïîñëå ïåðåïàðàìåòðèçàöèè ãåîäåçè÷åñêàÿ ìîæåò ïåðåñòàòü óäîâëåòâîðÿòü óðàâíåíèþ ãåîäåçè÷åñêîé. Ïîñìîòðèì, êàêèå çàìåíû ïàðàìåòðà ÿâëÿþòñÿ äîïóñòèìûìè.
Ïóñòü γ(t) 37ãåîäåçè÷åñêàÿ, t = t(τ ) çàìåíà ïàðàìåòðà íà íåé è γ̃(τ ) = γ(t(τ )). Òîãäà 2 i 2jkjkd2 xid xdtdxi d2 tdxi d2 ti dx dxi dx dx+Γ=+Γ+=.jkjkdτ 2dτ dτdt2dt dtdτdt dτ 2dt dτ 2Äëÿ òîãî, ÷òîáû ýòî âûðàæåíèå áûëî ðàâíî íóëþ (ò.å. êðèâàÿ ïîñëå ïåðåïàðàìåòðèçàöèè îñòàëàñü ãåîäåçè÷åñêîé) íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáûd2 τ= 0. Äðóãèìè ñëîâàìè, äîïóñòèìûìè çàìåíàìè ïàðàìåòðà íà ãåîäåçèdt2÷åñêîé ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíûå çàìåíû è òîëüêî îíè.4.
Åñëè äâå ãåîäåçè÷åñêèå êàñàþòñÿ â íåêîòîðîé òî÷êå, òî ãåîìåòðè÷åñêè(êàê ìíîæåñòâà) îíè ñîâïàäàþò, ò.å. îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà ëèøü ïåðåïàðàìåòðèçàöèåé. Ýòî ñëåäóåò èç òåîðåìû åäèíñòâåííîñòè è ïðåäûäóùåãîóòâåðæäåíèÿ. 5. Ïóñòü γ(t) ãåîäåçè÷åñêàÿ, à ñâÿçíîñòü ÿâëÿåòñÿ ðèìàíîâîé, òîãäà dγ = onst. Ýòî îçíà÷àåò, â ÷àñòíîñòè, ÷òî ïàðàìåòð íà ãåîäåçè÷åñêîé ïðî dt ïîðöèîíàëåí íàòóðàëüíîìó.
Ýòî óòâåðæäåíèå ñðàçó ñëåäóåò èç äâóõ àêòîâ:1) âåêòîð ñêîðîñòè ãåîäåçè÷åñêîé ÿâëÿåòñÿ ïàðàëëåëüíûì âäîëü íåå, 2) ïðèïàðàëëåëüíîì ïåðåíîñå â ñëó÷àå ðèìàíîâîé ñâÿçíîñòè ñîõðàíÿþòñÿ äëèíûâåêòîðîâ.6. Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì äîêàçûâàåòñÿ óòâåðæäåíèå î ïàðàëëåëüíîì ïåðåíîñå âäîëü ãåîäåçè÷åñêîé. Ïóñòü γ(t) ãåîäåçè÷åñêàÿ, à ξ(t) âåêòîðíîådγïîñòîÿííûé (íåïîëå ïàðàëëåëüíîå âäîëü γ , òîãäà óãîë ìåæäó ξ(t) èdtçàâèñèò îò t). Äðóãèìè ñëîâàìè, ïðè ïàðàëëåëüíîì ïåðåíîñå âåêòîðà âäîëüãåîäåçè÷åñêîé ñîõðàíÿåòñÿ óãîë ìåæäó ãåîäåçè÷åñêîé è ïåðåíîñèìûì âåêòîðîì. Ýòî óòâåðæäåíèå äàåò ïðîñòîé ñïîñîá ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíåñåíèÿâåêòîðà âäîëü ãåîäåçè÷åñêîé íà äâóìåðíîé ïîâåðõíîñòè: ïî îòíîøåíèþ êãåîäåçè÷åñêîé âåêòîð íå ïîâîðà÷èâàåòñÿ.7. åîäåçè÷åñêèå íà äâóìåðíîé ïîâåðõíîñòè â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå. ýòîì ñëó÷àå ìû ìîæåì âîñïîëüçîâàòüñÿ ãåîìåòðè÷åñêèì îïðåäåëåíèåìîïåðàöèè êîâàðèàíòíîãî äèåðåíöèðîâàíèÿ íà ïîâåðõíîñòè. Ïóñòü V 2 ⊂R3 ïîâåðõíîñòü, γ(s) êðèâàÿ íà íåé ñ íàòóðàëüíûì ïàðàìåòðîì (ìûñðàçó âçÿëè íàòóðàëüíûé ïàðàìåòð, ïîñêîëüêó îí àâòîìàòè÷åñêè äîëæåíáûòü ïðîïîðöèîíàëüíûì íàòóðàëüíîìó).
Óðàâíåíèå ãåîäåçè÷åñêîé ìîæåòáûòü çàïèñàíî â âèäå 2 d dγd γdγ0 = ∇γ= pr= prdsds dsds2Òàêèì îáðàçîì óðàâíåíèå ãåîäåçè÷åñêîé ìîæåò áûòü áûòü ïåðåîðìóëèðîd2 γâàíî òàê: âåêòîðâ êàæäîé òî÷êå êðèâîé äîëæåí áûòü ïåðïåíäèêóëÿds2ðåí ïîâåðõíîñòè. Èíîãäà ýòî óñëîâèå îðìóëèðóþò ñëåäóþùèì îáðàçîì.38Êðèâàÿ ÿâëÿåòñÿ ãåîäåçè÷åñêîé, åñëè ãëàâíàÿ íîðìàëü ê êðèâîé ñîâïàäàåò ñ íîðìàëüþ ê ïîâåðõíîñòè. Çäåñü ñëåäóåò ïðîÿâëÿòü íåêîòîðóþ îñòîðîæíîñòü, ïîñêîëüêó íîðìàëü ê ïîâåðõíîñòè ìîæåò áûòü îïðåäåëåíà äâóìÿñïîñîáàìè, à ãëàâíàÿ íîðìàëü ê êðèâîé ìîæåò áûòü âîîáùå íå îïðåäåëåíà,ïîýòîìó ñòðîãîå îïðåäåëåíèå òàêîâî.Îïðåäåëåíèå ëàäêàÿ êðèâàÿ γ(s) íà ïîâåðõíîñòè V 2 ⊂ R3 íàçûâàåòñÿd2 γãåîäåçè÷åñêîé, åñëè åå âåêòîð óñêîðåíèÿ 2 ïåðïåíäèêóëÿðåí ïîâåðõíîñòè.ds ÷àñòíîñòè, ëþáàÿ ïðÿìàÿ, ëåæàùàÿ íà ïîâåðõíîñòè, ÿâëÿåòñÿ ãåîäåçè÷åñêîé.Èç ýòîãî óòâåðæäåíèÿ êñòàòè âûòåêàåò ìåõàíè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿãåîäåçè÷åñêèõ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
