Лекции в формате PDF (1124094), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Ïîëîæèìi ...iPαj2 1 ...jp q =Xi i ...ip2aαi1 Tj11...jqi1Ýòà îïåðàöèÿ íàçûâàåòñÿ îïåðàöèåé îïóñêàíèÿ èíäåêñà. Îíà, êàê íåòðóäíîçàìåòèòü, ÿâëÿåòñÿ êîìïîçèöèåé òåíçîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ è ñâåðòêè, ïîýòîìó P òåíçîð òèïà (p − 1, q + 1).Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì îïðåäåëÿåòñÿ îïåðàöèÿ ïîäíÿòèÿ èíäåêñà:Xαi1 ...ipi ...ipCj2 ...j=aαj1 Tj11j2 ...jqqj1Çäåñü ïîëó÷àþùèéñÿ òåíçîð C èìååò òèï (p + 1, q − 1).Îòìåòèì òàêæå, ÷òî ìîæíî ïîäíèìàòü èëè îïóñêàòü èíäåêñ, ñòîÿùèé íàïðîèçâîëüíîì ìåñòå.Ïðåäëîæåíèå 2 Îïåðàöèè ïîäíÿòèÿ è îïóñêàíèÿ èíäåêñà ÿâëÿþòñÿ âçàèìíî îáðàòíûìè.Äîêàçàòåëüñòâîi ...ii ...ii ...iaβα aαj1 Tj11...jqp = δβj1 Tj11...jqp = Tβj1 2 ...jp q ýòî èñõîäíûé òåíçîð.9Àíàëîãè÷íî ïðîâåðÿåòñÿ äëÿ ýòèõ îïåðàöèé, âçÿòûõ â îáðàòíîì ïîðÿäêå.Îáû÷íî îïåðàöèÿ ïðèìåíÿåòñÿ â ñëó÷àå, êîãäà aij = gij ÿâëÿåòñÿ ðèìàíîâîé ìåòðèêîé íà ìíîãîîáðàçèè.
Íàïîìíèì åå îïðåäåëåíèå.Îïðåäåëåíèå 3 èìàíîâîé ìåòðèêîé íà ìíîãîîáðàçèè M íàçûâàåòñÿ òåíçîðíîå ïîëå gij , óäîâëåòâîðÿþùåå äâóì óñëîâèÿì1) gij = gji (ñèììåòðè÷íîñòü),2) (gij ) ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííàÿ ìàòðèöà. ñëó÷àå åâêëèäîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò îïåðàöèè ïîäíÿòèÿ è îïóñêàíèÿèíäåêñîâ òðèâèàëüíû (òàê êàê gij = δij ):i ...iαi ...iαi ...ii ...i2pPαj2 1 ...jp q = Tj1 ...j,q1pCj2 ...j= Tαj1 2 ...jp q .qÏîýòîìó èíîãäà â åâêëèäîâûõ ñèñòåìàõ êîîðäèíàò íå äåëàþò ðàçëè÷èÿìåæäó íèæíèìè è âåðõíèìè èíäåêñàìè.Çàìå÷àíèå Ïîñêîëüêó òåíçîðû, ïîëó÷àþùèåñÿ äðóã èç äðóãà ïîäíÿòèåì èëè îïóñêàíèåì èíäåêñîâ, òåñíî ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé, òî îáû÷íî èõðàññìàòðèâàþò êàê ðàçëè÷íûå ïðîÿâëåíèÿ "îäíîãî è òîãî æå òåíçîðà"èîáîçíà÷àþò îäíîé è òîé æå áóêâîé.7.
Ñèììåòðèðîâàíèå.àññìîòðèì òåíçîð = {Tj1 ...jq } òèïà (0, q). Çàäàäèì îïåðàöèþ ñèììåòðèðîâàíèÿ ïî îðìóëåPj1 ...jq =1 XTσ(j1 ...jq ) .q! σÂèäíî, ÷òî ýòà îïåðàöèÿ ÿâëÿåòñÿ êîìïîçèöèåé ïåðåñòàíîâîê èíäåêñîâ,ñóììû è ïðîèçâåäåíèÿ íà ÷èñëî. Ïîýòîìó ñèììåòðèðîâàíèå ýòî òåíçîðíàÿîïåðàöèÿ.Ïðåäëîæåíèå 3 Òåíçîð P = {Pj1 ...jq } ñèììåòðè÷åí. Åñëè èñõîäíûé òåíçîð T áûë ñèììåòðè÷åí, òî T = P , ò.å. îïåðàöèÿ ñèììåòðèðîâàíèÿ íå ìåíÿåòñèììåòðè÷íûõ òåíçîðîâ.
Íàîáîðîò, åñëè òåíçîð T áûë êîñîñèììåòðè÷åí, òîïîñëå ñèììåòðèðîâàíèÿ îí îáðàòèòñÿ â íóëü.Ïðîâåðüòå ñàìîñòîÿòåëüíî8. Àëüòåðíèðîâàíèå.àññìîòðèì ñíîâà òåíçîð = {Tj1 ...jq } òèïà (0, q). Çàäàäèì îïåðàöèþàëüòåðíèðîâàíèÿ ïî îðìóëåj1 ...jq=1 X(−1)σ Tσ(j1 ...jq ) .q! σËåãêî âèäåòü, ÷òî àëüòåðíèðîâàíèå ýòî òåíçîðíàÿ îïåðàöèÿ.Ïðåäëîæåíèå 4 Òåíçîð = {Cj1 ...jq } êîñîñèììåòðè÷åí. Åñëè èñõîäíûéòåíçîð T áûë êîñîñèììåòðè÷åí, òî T = , ò.å. îïåðàöèÿ àëüòåðíèðîâàíèÿ íå10ìåíÿåò êîñîñèììåòðè÷íûõ òåíçîðîâ. Íàîáîðîò, åñëè òåíçîð T áûë ñèììåòðè÷åí, òî ïîñëå àëüòåðíèðîâàíèÿ îí îáðàòèòñÿ â íóëü.Ïðîâåðüòå ñàìîñòîÿòåëüíîÇàäà÷à Íàéòè ðàçìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâ ñèììåòðè÷åñêèõ è êîñîñèììåòðè÷åñêèõ òåíçîðîâ òèïà (0, q).Çàäà÷à Âåðíî ëè, ÷òî ïðîñòðàíñòâî âñåõ òåíçîðîâ òèïà (0, q) ðàçëàãàåòñÿ â ïðÿìóþ ñóììó ïðîñòðàíñòâ ñèììåòðè÷íûõ è êîñîñèììåòðè÷íûõ òåíçîðîâ?Çàäà÷à Ïóñòü A = {Aji } ëèíåéíûé îïåðàòîð (ò.å.
òåíçîð òèïà (1, 1).Ïðåäñòàâèòü det A êàê ðåçóëüòàò âûïîëíåíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè òåíçîðíûõ îïåðàöèé.11Ëåêöèÿ 3.Êîñîñèììåòðè÷íûå òåíçîðû è äèåðåíöèàëüíûå îðìû.Îïðåäåëåíèå 1 Òåíçîð Ti1 i2 ...ik íàçûâàåòñÿ êîñîñèììåòðè÷åñêèì, åñëè åãîêîìïîíåíòû óäîâëåòâîðÿþò ñëåäóþùèì ñîîòíîøåíèÿìTσ(i1 i2 ...in ) = (−1)σ Ti1 i2 ...inäëÿ ëþáîé ïåðåñòàíîâêè σ . Åñëè ðàññìàòðèâàòü òåíçîð T òèïà (0, k) êàêïîëèëèíåéíîå îòîáðàæåíèå, ñîïîñòàâëÿþùåå ïðîèçâîëüíîìó íàáîðó èç kâåêòîðîâ ÷èñëî, òî îïðåäåëåíèå 1 ìîæíî ïåðåîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùèìîáðàçîì. Îïðåäåëåíèå 1' Òåíçîð (ïîëèëèíåéíîå îòîáðàæåíèå)T : V × ··· × V → Ríàçûâàåòñÿ êîñîñèììåòðè÷åñêèì, åñëèT (ξσ(1 , ξ2 , .
. . , ξk) ) = (−1)σ T (ξ1 , ξ2 , . . . , ξk )äëÿ ëþáîé ïåðåñòàíîâêè σ è ëþáîãî íàáîðà âåêòîðîâ ξ1 , ξ2 , . . . , ξk . Íàïîìíèì, ÷òî â íàøåì êóðñå ê êà÷åñòâå ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà ìû âñåãäà ðàññìàòðèâàåì êàñàòåëüíîå ïðîñòðàíñòâî ê ãëàäêîìó ìíîãîîáðàçèþ.Ýêâèâàëåíòíîñòü ýòèõ äâóõ îïðåäåëåíèé î÷åâèäíà. Äîñòàòî÷íî âñïîìíèòü, ÷òî êîìïîíåíòû Ti1 ...ik òåíçîðà T èìåþò âèäTi1 ...ik = T (ei1 , . .
. , eik )Òàêèì îáðàçîì, ïðèìåíÿÿ îïðåäåëåíèå 1' ê íàáîðàì èç áàçèñíûõ âåêòîðîâ,ìû ïîëó÷àåì óñëîâèå èç îïðåäåëåíèÿ 1. Îáðàòíî, èç îïðåäåëåíèÿ 1 ñëåäóåò,÷òî óñëîâèå èç îïðåäåëåíèÿ 1' âûïîëíåíî äëÿ "áàçèñà"Ïðèìåðû êîñîñèììåòðè÷åñêèõ òåíçîðîâ.1. Ëþáîé òåíçîð òèïà (0, 1) ÿâëÿåòñÿ êîñîñèììåòðè÷åñêèì ïî îïðåäåëåíèþ, ïîñêîëüêó íèêàêèõ íåòðèâèàëüíûõ ïåðåñòàíîâîê èç îäíîãî ýëåìåíòàíåò.2. Òåíçîð òèïà âòîðîãî ðàíãà (òèïà (0,2)) Tij ÿâëÿåòñÿ êîñîñèììåòðè÷åñêèì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà åãî ìàòðèöà êîñîñèììåòðè÷íà, ò.å.Tij = −Tjiäëÿ ëþáûõ i, j = 1, .
. . , n.3. àññìîòðèì "áàçèñíûå"òåíçîðû ðàíãà 1 (êîâåêòîðû) dx1 , . . . , dxn . Îïðåäåëåíèå 2 Ñèìâîëîì dxi1 ∧ dxi2 ∧ · · · ∧ dxik ìû áóäåì îáîçíà÷àòü ïîëèëèíåéíóþ îðìó, îïðåäåëåííóþ íà ïðîèçâîëüíîì íàáîðå èç k âåêòîðîâ ïîñëåäóþùåé îðìóëåik .. . . .. i1iki1i1ik.dx ∧ · · · ∧ dx (ξ1 , . . . ξk ) = det ξ1 .
. . ξ1 ..ξk . . . ξk12Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ýòà ïîëèëèíåéíàÿ îðìà çàäàåò êîñîñèììåòðè÷åñêèé òåíçîð òèïà (0, k) è êðîìå òîãî âûïîëíåíî ñâîéñòâîdxσ(i1 ∧ · · · ∧ dxik ) = (−1)σ dxi1 ∧ · · · ∧ dxik ,êîòîðîå îòðàæàåò êîñóþ ñèììåòðèþ îïåðàöèè ∧.Ïðåäëîæåíèå 1 Ôîðìû âèäà dxi1 ∧ · · · ∧ dxik , ãäå 1 ≤ i1 < i2 < · · · <ik ≤ n, n = dim M , îáðàçóþò áàçèñ ïðîñòðàíñòâà êîñîñèììåòðè÷åñêèõòåíçîðîâ òèïà (0, k).Äîêàçàòåëüñòâî Ïóñòü T = {Ti1 ...ik } ïðîèçâîëüíûé êîñîñèììåòðè÷åñêèé òåíçîð òèïà (0, k). Ïîêàæåì, ÷òî T êàê ïîëèëèíåéíûé óíêöèîíàëìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè ýëåìåíòàðíûõ êîñîñèììåòðè÷åñêèõ òåíçîðîâ âèäà dxi1 ∧ · · · ∧ dxik , ïðè÷åìÂû÷èñëèì äëÿ ýòîãî çíà÷åíèå ïîëèëèíåéíîãî óíêöèîíàëà T íà ïðîèçâîëüíîì íàáîðå âåêòîðîâ.
ÈìååìT (ξ~1 , ξ~2 , . . . , ξ~k ) = T (ξ1i1 ei1 , . . . , ξkik eik ) =ξ1i1 ξ2i2 . . . ξkik T (ei1 , . . . , eik ) = ξ1i1 ξ2i2 . . . ξkik Ti1 ...ik =(Çäåñü ñóììèðîâàíèå âåäåòñÿ ïî âñåâîçìîæíûì íàáîðàì èíäåêñîâ, ðàçîáüåì ýòó ñóììó íà äâåX=i1 ...ikXi1 <i2 <···<ikX,σãäå âòîðàÿ ñóììà áåðåòñÿ ïî âñåì ïåðåñòàíîâêàì èç k ýëåìåíòîâ (ìûèñïîëüçóåì çäåñü, ÷òî êîìïîíåíòû ñ ïîâòîðÿþùèìèñÿ èíäåêñàìè ó êîñîñèììåòðè÷åñêîãî òåíçîðà T ðàâíû íóëþ), è ïðîäîëæèì âû÷èñëåíèÿ)=Xi1 <i2 <···<ikXσ(iξ1 1i ). . . ξkk Tσ(i1 ...ik )σ!=èñïîëüçóåì êîñîñèììåòðè÷íîñòü T (ñì.
îïðåäåëåíèå)=XTi1 ...ikii <i2 <···<ikXσ(i(−1)σ ξ1 1i ). . . ξkkσ!=èñïîëüçóåì îïðåäåëåíèå 2)(XTi1 ...ik dxi1 ∧ · · · ∧ dxik (ξ~1 , . . . ξ~k ).ii <i2 <···<ikÒàêèì îáðàçîì, ìû ïîêàçàëè, ÷òî íà ïðîèçâîëüíîì íàáîðå âåêòîðîâ ëåâàÿè ïðàâàÿ ÷àñòè ñîîòíîøåíèÿ (*) ñîâïàäàþò, ÷òî è òðåáóåòñÿ.13Îñòàëîñü äîêàçàòü ëèíåéíóþ íåçàâèñèìîñòü íàáîðà ýëåìåíòàðíûõ îðìâèäà dxi1 ∧ · · · ∧ dxik , i1 < i2 < · · · < ik . Ýòî ëåãêî ñëåäóåò, íàïðèìåð,èç ñëåäóþùåãî íàáëþäåíèÿ.
Åñëè ìû âîçüìåì íàáîð áàçèñíûõ âåêòîðîâei1 , . . . , eik , òî òîëüêî îäíà èç óêàçàííûõ âûøå îðì íå îáðàùàåòñÿ â íóëüíà ýòîì íàáîðå (à èìåííî, îðìà îòâå÷àþùàÿ òîìó æå ñàìîìó íàáîðó èíäåêñîâ). Åñëè õîòÿ áû îäèí èíäåêñ (ó îðìû) îòëè÷àåòñÿ, òî íà äàííîìíàáîðå âåêòîðîâ îíà îáðàùàåòñÿ â íóëü.Ñëåäñòâèå 1 Ëþáîå êîñîñèììåòðè÷åñêîå òåíçîðíîå ïîëå òèïà (0, k) ëîêàëüíî, ò.å. â íåêîòîðîé êàðòå, îäíîçíà÷íî ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäåXTi1 ...ik (x1 , . . . , xn )dxi1 ∧ · · · ∧ dxik .i1 <···<ikÑëåäñòâèå 2 àçìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà êîñîñèììåòðè÷åñêèõ òåíçîðîân!òèïà (0, k) ðàâíà Cnk =, ãäå n = dim M , k ≤ n.
Åñëè k > n, òîk!(n − k)!íåòðèâèàëüíûõ êîñîñèììåòðè÷åñêèõ òåíçîðîâ òèïà (0, k) íå ñóùåñòâóåò. ÷àñòíîñòè, èç ýòîãî óòâåðæäåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî ïðîñòðàíñòâî êîñîñèììåòðè÷åñêèõ òåíçîðîâ òèïà (0, n) îäíîìåðíî è ïîðîæäåíî òåíçîðîì dx1 ∧· · · ∧ dxn . àññìîòðèì ïðîèçâîëüíûé òåíçîð ýòîãî òèïàT = T12...n dx1 ∧ · · · ∧ dxnè ïîñìîòðèì êàê ìåíÿåòñÿ åãî êîìïîíåíòà T12...n ïðè çàìåíàõ êîîðäèíàò.′′Ïóñòü T1′ 2′ ...n′ êîìïîíåíòà ýòîãî òåíçîðà â íîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò (x1 , . . . , xn ).Òîãäà∂xi1∂xinT1′ 2′ ...n′ = Ti1 i2 ...in 1′ . . . n′ =∂x∂xâ ñèëó êîñîé ñèììåòðèè ñóììèðîâàíèå ñëåäóåòïðîâîäèòü ïî íàáîðàì èç ðàçëè÷íûõ èíäåêñîâ=XσãäåTσ(12...n)X∂xσ(1∂xn)∂xσ(1∂xn)(−1)σ= T12...n · J,′ ...′ = T12...n′ ...1n1∂x∂x∂x∂xn′σJ = det∂x1∂x1 .. . . ..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
