Лекции в формате PDF (1124094), страница 2
Текст из файла (страница 2)
, ejq , ei1 , . . . , eip ).Îòìåòèì, ÷òî çíàÿ çíà÷åíèÿ îòîáðàæåíèÿ T íà âñåâîçìîæíûõ íàáîðàõáàçèñíûõ âåêòîðîâ, ìû ìîæåì, ïîëüçóÿñü ïîëèëèíåéíîñòüþ, îïðåäåëèòü åãî4çíà÷åíèå íà ïðîèçâîëüíîì íàáîðå âåêòîðîâ è êîâåêòîðîâ. Äåéñòâèòåëüíî,ðàçëàãàÿ êàæäûé èç àðãóìåíòîâ ïîëèëèíåéíîãî îòîáðàæåíèÿ T ïî áàçèñó,ìû ïîëó÷àåì(ξ~1 , . . . , ξ~q , l1 , . . . , lp ) = (ξ1j1 ej1 , . .
. , ξqjq ejq , li11 ei1 , . . . , lipp eip ) =i ...iξ1j1 . . . ξqjq li11 . . . lipp (ej1 , . . . , ejq , ei1 , . . . , eip ) = j11 ...jpq ξ1j1 . . . ξqjq li11 . . . lipp .Òàêèì îáðàçîì, èñïîëüçóÿ ýòó îðìóëó, ìû ìîæåì ïîñòðîèòü ïîëèëèíåéíîå îòîáðàæåíèå, èñõîäÿ èç çàäàííîãî íàáîðà ÷èñåë (ñì. ïåðâîå îïðåäåëåíèå òåíçîðà). Èòàê, äâå âûïèñàííûå òîëüêî ÷òî îðìóëû óñòàíàâëèâàþò ñîîòâåòñòâèå ìåæäó íàáîðàìè ÷èñåë è ïîëèëèíåéíûìè óíêöèîíàëàìè. Îñòàåòñÿ ïðîâåðèòü êîððåêòíîñòü ïîñòðîåííûõ ñîîòâåòñòâèé.
À èìåííî,òðåáóåòñÿ óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî íàáîðû ÷èñåë, ïîñòðîåííûå ïî ïåðâîé îðìóëå ïðåîáðàçóþòñÿ ïî íóæíîìó çàêîíó. È íàîáîðîò, åñëè íàáîðû, ó÷àñòâóþùèå âî âòîðîé îðìóëå èçìåíÿþòñÿ ïî òðåáóåìîìó çàêîíó, òî ïîñòðîåííîåîòîáðàæåíèå îïðåäåëåíî êîððåêòíî, ò.å. íå çàâèñèò îò âûáîðà ñèñòåìû êîîðäèíàò.
Ïðåäëàãàåòñÿ ïðîâåðèòü ýòî ñàìîñòîÿòåëüíî. Ìû ëèøü ñêàæåì, ÷òîîðìóëà ïðåîáðàçîâàíèÿ êîìïîíåíò òåíçîðà âçÿòà íå ñ ïîòîëêà, à èìåííîòàê, ÷òîáû äâà îïðåäåëåíèÿ òåíçîðà áûëè ýêâèâàëåíòíû. Èòàê, ìû îáñóäèëè ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.Òåîðåìà 1 Ñîðìóëèðîâàííûå âûøå äâà îïðåäåëåíèÿ òåíçîðà ýêâèâàëåíòíû.Çàäà÷à àññìîòðåòü ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå â R3 êàê òåíçîð òèïà (0, 3)è íàéòè åãî êîìïîíåíòû.Çàäà÷à Äîêàçàòü, ÷òî íàáîð δij ÿâëÿåòñÿ òåíçîðîì òèïà (1, 1). Îäíàêî,òîò æå ñàìûé íàáîð δij íå ÿâëÿåòñÿ òåíçîðîì òèïà (0, 2).Çàäà÷à Íàçîâåì òåíçîð èíâàðèàíòíûì, åñëè åãî êîìïîíåíòû íå ìåíÿþòñÿ íè ïðè êàêèõ çàìåíàõ êîîðäèíàò.
Îïèñàòü âñå èíâàðèàíòíûå òåíçîðûòèïà (1, 1) è (2, 2). Ñóùåñòâóþò ëè èíâàðèàíòíûå òåíçîðû òèïà (p, q), åñëèp 6= q ?Ëåêöèÿ 2.Òåíçîðíûå îïåðàöèè.Çäåñü ìû ïîãîâîðèì î òåíçîðíûõ îïåðàöèÿõ, êîòîðûå ïîçâîëÿþò èç òåíçîðîâ "èçãîòàâëèâàòü"íîâûå òåíçîðû. Âñå îïåðàöèè î êîòîðûõ ïîéäåò ðå÷üâ ýòîé ëåêöèè â îäèíàêîâîé ñòåïåíè ïðèìåíèìû ê òåíçîðàì è òåíçîðíûìïîëÿì íà ìíîãîîáðàçèè. Íàïîìíèì, ÷òî òåíçîðíîå ïîëå íà ìíîãîîáðàçèèM ìîæíî ïîíèìàòü, êàê çàäàíèå â êàæäîì êàñàòåëüíîì ïðîñòðàíñòâå Tp Mòåíçîðà, ãëàäêî çàâèñÿùåãî îò òî÷êè p ∈ M .
Íèæå, îïèñûâàÿ òåíçîðíûåîïåðàöèè, ìû áóäåì ãîâîðèòü î òåíçîðàõ. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïðèìåíèòü îïèñàííûå íèæå îïåðàöèè ê òåíçîðíîìó ïîëþ, íóæíî ïðîñòî ïðîäåëàòü ýòî â5êàæäîì êàñàòåëüíîì ïðîñòðàíñòâå Tp M ïî îòäåëüíîñòè.  ðåçóëüòàòå ñíîâàïîëó÷èòñÿ ãëàäêîå òåíçîðíîå ïîëå íà âñåì ìíîãîîáðàçèè â öåëîì. Ïî äðóãîìó ìîæíî ñêàçàòü òàê. Íèæå ïîä òåíçîðîì ìû áóäåì îáû÷íî ïîíèìàòüíàáîð ÷èñåë. Çàìåíÿÿ âî âñåõ îïðåäåëåíèÿõ íàáîð ÷èñåë íà íàáîð óíêöèé,ìû ïîëó÷èì îïðåäåëåíèÿ îïåðàöèé íà òåíçîðíûõ ïîëÿõ.Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî îïåðàöèè, îïèñàííûå íèæå, íå çàâèñÿò îò òîãî,â êàêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ìû èõ ïðîèçâîäèì (ñîáñòâåííî ïîýòîìó îíè èÿâëÿþòñÿ òåíçîðíûìè).
 î÷åâèäíûõ ñëó÷àÿõ ìû íå áóäåì ýòîãî äîêàçûâàòü(îäíàêî, ýòî íóæíî õîðîøî ïîíèìàòü).1. Ñóììà òåíçîðîâ îäèíàêîâîãî òèïà.i ...ii ...iÏóñòü T = {Tj11...jqp } è S = {Sj11 ...jpq } äâà òåíçîðà îäèíàêîâîãî òèïà.Ïîëàãàÿi ...ii ...ii ...i(T + S)j11 ...jpq = Tj11...jqp + Sj11 ...jpq ,ïîëó÷àåì íîâûé íàáîð, îïðåäåëÿþùèé òåíçîð R = T + S , íàçûâàåìûé ñóììîé òåíçîðîâ T è S .2. Óìíîæåíèå íà ÷èñëî (èëè íà ãëàäêóþ óíêöèþ â ñëó÷àåòåíçîðíûõ ïîëåé).i ...iÏóñòü T = {Tj11...jqp } òåíçîð.
Ïîëîæèìi ...ii ...iRj11 ...jpq = αTj11...jqpãäå α âåùåñòâåííîå ÷èñëî (èëè ãëàäêàÿ óíêöèÿ â ñëó÷àå òåíçîðíîãîïîëÿ. Íàáîð ÷èñåë R îáðàçóåò, î÷åâèäíî, òåíçîð òîãî æå òèïà, ÷òî è T .Îïåðàöèè ñóììû è ïðîèçâåäåíèÿ íà ÷èñëî ïðåâðàùàþò ïðîñòðàíñòâîòåíçîðîâ òèïà (p, q) â ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî.  ñëó÷àå òåíçîðíûõ ïîëåéìû ìîæåì óìíîæàòü èõ íå òîëüêî íà ÷èñëà, íî è íà ãëàäêèå óíêöèè. Âòàêîé ñèòóàöèè ãîâîðÿò, ÷òî ìíîæåñòâî ãëàäêèõ âåêòîðíûõ ïîëåé òèïà (p, q)íà ìíîãîîáðàçèè ÿâëÿåòñÿ ìîäóëåì íàä ïðîñòðàíñòâîì ãëàäêèõ óíêöèé.3.
Ïåðåñòàíîâêà èíäåêñîâ îäíîãî òèïà (ò.å. ëèáî âåðõíèõ, ëèáîíèæíèõ).i ...iÏóñòü T = {Tj11...jqp } òåíçîð. àññìîòðèì íîâûé íàáîð ÷èñåë, êîòîðûéïîëó÷àåòñÿ èç T ñëåäóþùåé ïåðåñòàíîâêîé (ïåðåèíäåêñàöèåé) åãî ýëåìåíòîâ(ýëåìåíòû òå æå ñàìûå, íî îíè ïî-äðóãîìó çàíóìåðîâàíû èíäåêñàìè):σ(i ...ip )i ...i1Sj11 ...jpq = Tj1 ...jq.ãäå σ íåêîòîðàÿ ïåðåñòàíîâêà èíäåêñîâ. Ïðîñòåéøèé ïðèìåð: S ij = T ji .Àíàëîãè÷íî äëÿ íèæíèõ èíäåêñîâ. Çàäà÷à Ïîêàçàòü, ÷òî ïåðåñòàíîâêà èíäåêñîâ ðàçíîãî òèïà íå ÿâëÿåòñÿ òåíçîðíîé îïåðàöèåé. Íàïðèìåð, åñëè íàáîð T = {Tji } çàäàåò òåíçîð, òî íàáîð S = {Sij = Tji } òåíçîðîì, âîîáùå ãîâîðÿ, íå ÿâëÿåòñÿ. Ýòî îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ "âåðõíèåè íèæíèå èíäåêñû ïðåîáðàçóþòñÿ ïî-ðàçíîìó".6 ñëó÷àå, êîãäà òåíçîð èìååò èíäåêñû îäèíàêîâîãî òèïà (íàïðèìåð, âñåíèæíèå) ìû ìîæåì ââåñòè ïîíÿòèå ñèììåòðè÷íîãî è êîñî ñèììåòðè÷íîãîòåíçîðà.Îïðåäåëåíèå 11) Òåíçîð P = Pj1 ...jq íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷íûì, åñëè îí íå ìåíÿåòñÿíè ïðè êàêèõ ïåðåñòàíîâêàõ èíäåêñîâ:äëÿ ëþáîé ïåðåñòàíîâêè σ.Pj1 ...jq = Pσ(j1 ...jq ) ,2) Òåíçîð P = Pj1 ...jq íàçûâàåòñÿ êîñîñèììåòðè÷íûì, åñëèäëÿ ëþáîé ïåðåñòàíîâêè σ.Pj1 ...jq = (−1)σ Pσ(j1 ...jq ) ,Äðóãèìè ñëîâàìè, òåíçîð ìåíÿåò çíàê ïðè íå÷åòíûõ ïåðåñòàíîâêàõ èíäåêñîâ è íå ìåíÿåòñÿ ïðè ÷åòíûõ.
Çäåñüåñëè σ ÷åòíàÿ ïåðåñòàíîâêà−1,(−1)σ = 1,åñëè σ íå÷åòíàÿ ïåðåñòàíîâêà.Ýòî îïðåäåëåíèå êîððåêòíî â òîì ñìûñëå, ÷òî åãî ìîæíî ïðîâåðÿòü âïðîèçâîëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò.i ...i4. Ñâåðòêà. Ïóñòü T = {Tj11...jqp } òåíçîð. Ïîëîæèìi ...î ...iSj1 ...ĵk...j p =1lqXi ...i =α...iTj11...jlk=α...jqp .αÇäåñü ˆ îáîçíà÷àåò, ÷òî èíäåêñ ïðîïóùåí.Ïîêàæåì, ÷òî íàáîð S çàäàåò òåíçîð òèïà (p − 1, q − 1). Äëÿ ýòîãî ïîñìîòðèì, ÷òî ïðîèñõîäèò ïðè çàìåíàõ êîîðäèíàò. ÈìååìX i′ ...i′ =α′ ...i′i′ ...î′ ...i′Sj1′ ...ĵk′ ...j p′ =Tj ′1...j k′ =α′ ...j ′p =l1=X1qqlα′α′′′′i ...i ...iTj11...jlk...jqp∂xi1∂xα∂xip ∂xj1∂xjl∂xjq............′ = (∗)′′∂xi1∂xik∂xip ∂xj1∂xα∂xjqÏðîâåäåì ñóììèðîâàíèå ïî èíäåêñó α′ ,èñïîëüçóÿ îðìóëó äèåðåíöèðîâàíèÿ ñëîæíîé óíêöèèX ∂xjl ∂xα′∂xjl== δijkl = 1,′∂xα ∂xik∂xik′αjl = ik = α0,jl 6= ikè ïðîäîëæèì âû÷èñëåíèÿ(∗) =X′′i ...i =α...iTj11...jlk=α...jqpα∂xi1∂xip ∂xj1∂xjq...′ ...′ =iijp∂x 1∂x ∂x 1∂xjq(â ïðåäûäóùåé è ñëåäóþùåé ñóììå îòñóòñòâóþò÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå, îòâå÷àþùèå âûäåëåííîéïàðå èíäåêñîâ ik è jl )′i ...î ...i= Sj1 ...ĵk...j p1lq′∂xi1∂xip ∂xj1∂xjq......′′∂xi1∂xip ∂xj1∂xjq7Èòàê, ìû âèäèì, ÷òî íàáîð S óäîâëåòâîðÿþò òåíçîðíîìó çàêîíó ïðåîáðàçîâàíèÿ ïðè ïåðåõîäå èç îäíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò â äðóãóþ, ÷òî èòðåáîâàëîñü.Ïðîñòåéøèé ïðèìåð ñâåðòêè õîðîøî èçâåñòåí èç ëèíåéíîé àëãåáðû.
Åñëè A = {Aij } ëèíåéíûé îïåðàòîð (òåíçîð òèïà (1,1)), òî åãî ñëåä Tr A =P ii Ai íå çàâèñèò îò ñèñòåìû êîîðäèíàò, ò.å. ÿâëÿåòñÿ òåíçîðîì òèïà (0,0)(ñêàëÿðîì).5. Òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå.i ...i...αsÏóñòü T = {Tj11...jqp } è P = {Pβα11...β} äâà ïðîèçâîëüíûõ òåíçîðà. Îïðåtäåëèì íîâûé íàáîð C = T ⊗ P ïî îðìóëåi ...i α ...αi ...i...αsCj11 ...jpq β11...βts = Tj11...jqp · Pβα11...β.tËåãêî ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî íàáîð C çàäàåò òåíçîð òèïà (p+s, q +t). Ýòîò òåíçîðíàçûâàåòñÿ òåíçîðíûì ïðîèçâåäåíèåì òåíçîðîâ T è P .Ïîñìîòðèì, ÷òî îçíà÷àåò ýòà îïåðàöèÿ, åñëè ïðåäñòàâëÿòü òåíçîð êàêïîëèëèíåéíîå îòîáðàæåíèå.
Îïðåäåëåíèå 2àññìîòðèì òåíçîðû T è P êàê ïîëèëèíåéíûå îòîáðàæåíèÿT : V × · · · × V × V ∗ × · · · × V ∗ → R,{z} |{z}|qpP : V × · · · × V × V ∗ × · · · × V ∗ → R,|{z} |{z}tsè îïðåäåëèì íîâîå ïîëèëèíåéíîå îòîáðàæåíèåC = T ⊗ P : V × · · · × V × V ∗ × · · · × V ∗ → R.{z} |{z}|q+tp+sïî ñëåäóþùåìó ïðîñòîìó ïðàâèëóÄëÿ äîêàçàòåëüñòâà ýêâèâàëåíòíîñòè äâóõ äàííûõ îïðåäåëåíèé äîñòàòî÷íî ïîñìîòðåòü, êàê äåéñòâóåò ïîëèëèíåéíîå îòîáðàæåíèå íà íàáîðå èçáàçèñíûõ âåêòîðîâ è êîâåêòîðîâ ej1 , .
. . , ejq , eβ1 , . . . , eβt , ei1 , . . . , eip , eα1 , . . . , eαs(ïðîâåðüòå ñàìîñòîÿòåëüíî).àññìîòðèì áàçèñ e1 , . . . , en ïðîñòðàíñòâà V , è äâîéñòâåííûé åìó áàçèñe1 , . . . , en ïðîñòðàíñòâà V ∗ .Ïðèìåíÿÿ äàííîå âûøå îïðåäåëåíèå ê áàçèñíûì âåêòîðàì è êîâåêòîðàì,ìû ìîæåì ââåñòè òåíçîðû âèäà ei1 ⊗ · · · ⊗ eip ⊗ ej1 ⊗ · · · ⊗ ejq (ïîðÿäîêñîìíîæèòåëåé âàæåí !) êàê ïîëèëèíåéíûå îòîáðàæåíèÿ âèäàei1 ⊗ · · · ⊗ eip ⊗ ej1 ⊗ · · · ⊗ejq (ξ~1 , . . . , ξ~q , l1 , . . . , lp ) == ei (l1 ) · · · · · ei (lp ) · ej1 (ξ~1 ) · · · · · ejq (ξ~q ) =p1=li11· · · · · lipp · ξ1j1 · · · · · ξqjq8Ïðåäëîæåíèå 1 Òåíçîðû âèäà ei1 ⊗ · · · ⊗ eip ⊗ ej1 ⊗ · · · ⊗ ejq îáðàçóþòáàçèñ â ïðîñòðàíñòâå âñåõ òåíçîðîâ òèïà (p, q).Äîêàçàòåëüñòâî Ïóñòü T ïðîèçâîëüíûé òåíçîð òèïà (p, q).
ÒîãäàËþáîé òåíçîð, òàêèì îáðàçîì, ìîæåò áûòü ðàçëîæåí â ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ ýëåìåíòàðíûõ òåíçîðîâ.Äëÿ çàâåðøåíèÿ äîêàçàòåëüñòâà ðåøèòå ñàìîñòîÿòåëüíî ñëåäóþùóþ çàäà÷ó.Çàäà÷à Äîêàçàòü ëèíåéíóþ íåçàâèñèìîñòü òåíçîðîâ âèäà ei1 ⊗ · · · ⊗ eip ⊗ej1 ⊗ · · · ⊗ ejq .Ñëåäñòâèå àçìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà âñåõ òåíçîðîâ òèïà (p, q) ðàâíànp+q .Çàìå÷àíèå Îïåðàöèÿ òåíçîðíîãî óìíîæåíèÿ ⊗ íå ÿâëÿåòñÿ êîììóòàòèâíîé. Íàïðèìåð, e1 ⊗ e2 6= e2 ⊗ e1 (Ïðîâåðüòå!). Îäíàêî, ýòà îïåðàöèÿ àññîöèàòèâíà.6. Îïåðàöèÿ ïîäíÿòèÿ è îïóñêàíèÿ èíäåêñà.àññìîòðèì òåíçîð aij òèïà (0, 2). Ïóñòü det(aij ) 6= 0. Òîãäà ìû ìîæåìðàññìîòðåòü íàáîð ÷èñåë akl , ÿâëÿþùèìèñÿ ýëåìåíòàìè îáðàòíîé ìàòðèöûaij ajl = δil .Ëåììà (akl ) òåíçîð òèïà (2,0).Äîêàæèòå ñàìîñòîÿòåëüíîi ...iÏóñòü òåïåðü T = {Tj11...jqp } ïðîèçâîëüíûé òåíçîð òèïà (p, q).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
