Лекции в формате PDF (1124094), страница 5
Текст из файла (страница 5)
. . , xn è x1 , . . . , xn , ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì′′′′′i′′∂xj ∂xk∂xi∂ 2 xii′′i′ ∂xΓj ′′ k′′ = Γj ′ k′ i′+∂x ∂xj ′′ ∂xk′′∂xi′ ∂xj ′′ ∂xk′′′′′Äîêàçàòåëüñòâî Ïåðâàÿ îðìóëà óæå ïðîâåðåíà â ñëó÷àå p = 1, q = 1.Ìû íå áóäåì ïðîâåðÿòü åå â îáùåì ñëó÷àå, ïîñêîëüêó ðàññóæäåíèå ïîëíîñòüþ àíàëîãè÷íî. Îäíàêî, ðåêîìåíäóåòñÿ ñàìîñòîÿòåëüíî ïðîäåëàòü âûêëàäêè äëÿ ñëó÷àÿ âåêòîðíûõ è êîâåêòîðíûõ ïîëåé.Äîêàæåì îðìóëó äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ ñèìâîëîâ Êðèñòîåëÿ.
Ïóñòüx1 , . . . , xn äåêàðòîâà ñèñòåìà êîîðäèíàò. Òîãäà èìååì!′′′′′′′′′∂ 2 xi ∂xi∂xi ∂xi∂ 2 xi ∂xj ∂xk∂xi∂ 2 xki′′Γj ′′ k′′ ==+ k′=∂xj ′′ ∂xk′′ ∂xi∂xi′ ∂xi ∂xj ′ ∂xk′ ∂xj ′′ ∂xk′′∂x ∂xj ′′ ∂xk′′ïåðåãðóïïèðóåì ñëàãàåìûå′∂ 2 xi ∂xi∂xj ′ ∂xk′ ∂xi!′′′′′=′′′′∂xi ∂xj ∂xk∂xi+′′′′′∂xi ∂xj ∂xk∂xi′′Γij ′ k′′′∂xi ∂xi∂xi ∂xk′′′!′∂ 2 xk=∂xj ′′ ∂xk′′′∂xi ∂xj ∂xk∂xi∂ 2 xi+.′′′′′′∂xi ∂xj ∂xk∂xi ∂xj ′′ ∂xk′′Ôîðìóëà äîêàçàíà.Çàìå÷àíèå 1) Ñèìâîëû Êðèñòîåëÿ íå îáðàçóþò òåíçîð.2)  äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ñèìâîëû Êðèñòîåëÿ ðàâíû íóëþ.20Òåïåðü, ðàçîáðàâ ñëó÷àé åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà Rn , ìû ìîæåì ïî àíàëîãèè ââåñòè îïåðàöèþ êîâàðèàíòíîãî äèåðåíöèðîâàíèÿ íà ïðîèçâîëüíîì ìíîãîîáðàçèè. Îòìåòèì, ÷òî íà ïðîèçâîëüíîì ìíîãîîáðàçèè, âîîáùåãîâîðÿ, íå ñóùåñòâóåò àíàëîãà äåêàðòîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò.
Ïîýòîìó ìûñðàçó áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ îðìóëàìè äëÿ êðèâîëèíåéíûõ ñèñòåì êîîðäèíàò, óæå ïîëó÷åííûìè íàìè â åâêëèäîâîì ñëó÷àå. Èäåÿ, êîòîðàÿ ïîçâîëèò íàì ýòî ñäåëàòü, ìîæåò áûòü ïðîêîììåíòèðîâàíà ñëåäóþùèì îáðàçîì.Ïðåäñòàâèì ñåáå, ÷òî â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå Rn íåò äåêàðòîâûõ êîîðäèíàò. Ïðîñòî çàáóäåì ïðî íèõ íà âðåìÿ.
Íà ïðîñòðàíñòâå Rn ìû ââåëèêîâàðèàíòíîå äèåðåíöèðîâàíèå (ñì. îðìóëó â òåîðåìå). Ýòà îïåðàöèÿïåðåâîäèò òåíçîðíûå ïîëÿ â òåíçîðíûå ïîëÿ. Èç ýòîãî òðåáîâàíèÿ ìû âûâåëè çàêîí ïðåîáðàçîâàíèÿ ñèìâîëîâ Êðèñòîåëÿ. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî âåðíîè îáðàòíîå óòâåðæäåíèå: åñëè ñèìâîëû Êðèñòîåëÿ ïðåîáðàçóþòñÿ òàê,êàê óêàçàíî â òåîðåìå, òî ðåçóëüòàòîì êîâàðèàíòíîãî äèåðåíöèðîâàíèÿòåíçîðíîãî ïîëÿ áóäåò òåíçîðíîå ïîëå.
Ïîýòîìó ìû ìîæåì äàòü ñëåäóþùååîïðåäåëåíèå êîâàðèàíòíîãî äèåðåíöèðîâàíèÿ íà ïðîèçâîëüíîì ìíîãîîáðàçèè.Îïðåäåëåíèå 3 Ïóñòü M ïðîèçâîëüíîå ãëàäêîå ìíîãîîáðàçèå. Ìûñêàæåì, ÷òî íà M çàäàíà îïåðàöèÿ êîâàðèàíòíîãî äèåðåíöèðîâàíèÿ(èëè àèííàÿ ñâÿçíîñòü), åñëè â êàæäîé ëîêàëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò(x1 , . . .
, xn ) çàäàí íàáîð ãëàäêèõ óíêöèé Γijk (x), êîòîðûå ïðè ïåðåõîäå èç′′â äðóãóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò (x1 , . . . , xn ) ïðåîáðàçóåòñÿ ïî çàêîíó′′∂xi ∂xj ∂xk∂xi ∂ 2 xi+∂xi ∂xj ′ ∂xk′∂xi ∂xj ′ ∂xk′Ïðè ýòîì ñàìà îïåðàöèÿ ∇ çàäàåòñÿ îðìóëîépq∂ i1 ...ip X i1 ...is =t...ip is X i1 ...ipi1 ...ip(∇T )j1 ...jq α =Tj1 ...jq +Tj1 ...jqΓtα −Tj1 ...js =t...jq Γtjs α .∂xαs=1s=1′Γij ′ k′ = ΓijkÂîîáùå ãîâîðÿ, àïðèîðè íå ÿñíî, íà ïðîèçâîëüíîì ëè ìíîãîîáðàçèè ìîæíî îïðåäåëèòü àèííóþ ñâÿçíîñòü (êîâàðèàíòíîå äèåðåíöèðîâàíèå),ò.å. çàäàòü ñèìâîëû Êðèñòîåëÿ, óäîâëåòâîðÿþùèå ïðàâèëó çàìåíû. Íàñàìîì äåëå ýòî âñåãäà ìîæíî ñäåëàòü, ïðè÷åì ìíîãèìè ñïîñîáàìè. Îäèí èçýòèõ ñïîñîáîâ (î÷åíü âàæíûé) áóäåò îïèñàí â ñëåäóþùåé ëåêöèè.Îïðåäåëåíèå 4 Òåíçîðîì êðó÷åíèÿ àèííîé ñâÿçíîñòè íàçûâàåòñÿ òåíçîð Ωijk = Γijk − Γikj .
Åñëè òåíçîð êðó÷åíèÿ òîæäåñòâåííî ðàâåí íóëþ (ò.å.ñèìâîëû Êðèñòîåëÿ ñèììåòðè÷íû ïî íèæíèì èíäåêñàì), òî ñâÿçíîñòüíàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷íîé.Ëåãêî ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî Ωijk äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ òåíçîðîì. Ýòî ñðàçóñëåäóåò èç îðìóë çàìåíû äëÿ ñèìâîëîâ Êðèñòîåëÿ (íåòåíçîðíàÿ ÷àñòüïðè çàìåíå ñîêðàùàåòñÿ).Òåîðåìà 2∇ .1) Êîâàðèàíòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ òåíçîðíîãî ïîëÿ òèïà (p, q) ÿâëÿåòñÿ òåíçîðíûì ïîëåì òèïà (p, q + 1)(î ñâîéñòâàõ îïåðàöèè )∇ : {òåíçîðíûå ïîëÿòèïà (p, q)} → {òåíçîðíûå ïîëÿòèïà (p, q + 1)}212) Îïåðàöèÿ ∇ ëèíåéíà (íàä R);3) Åñëè f ãëàäêàÿ óíêöèÿ, òî ∇f = df , ò.å. (∇f )i =4) Åñëè ξ âåêòîðíîå ïîëå, òî(∇ξ)ij =∂f;∂xi∂ξ i+ Γikj ξ k∂xjÝòî î÷åíü âàæíàÿ îðìóëà, êîòîðóþ ìû áóäåì ÷àñòî èñïîëüçîâàòü.Åå ðåêîìåíäóåòñÿ çàïîìíèòü.Åñëè l êîâåêòîðíîå ïîëå, òî(∇l)ij =∂li− Γkij lk∂xj5) Ïðàâèëî Ëåéáíèöà (äëÿ äèåðåíöèðîâàíèÿ ïðîèçâåäåíèÿ).
Åñëè Tè P äâà ïðîèçâîëüíûõ òåíçîðíûõ ïîëÿ, òî∇(T ⊗ P ) = (∇T ) ⊗ P + T ⊗ (∇P )6) Ïðàâèëî äèåðåíöèðîâàíèÿ ñâåðòêè. Åñëè T ïðîèçâîëüíîå òåíçîðíîå ïîëå, òî∇(ñâåðòêà T ) = ñâåðòêà(∇T )Çàìå÷àíèå ê ïÿòîìó ñâîéñòâó Åñëè îäèí èç òåíçîðîâ èìååò òèï (0, 0), ò.å.ÿâëÿåòñÿ ñêàëÿðíîé óíêöèåé, òî òåíçîðíîå óìíîæåíèå ÿâëÿåòñÿ îáû÷íûìóìíîæåíèåì íà óíêöèþ, è ïðàâèëî Ëåéáíèöà çàïèøåòñÿ â âèäå∇(f T ) = df ⊗ T + f ∇T.Äîêàçàòåëüñòâî Âñå óòâåðæäåíèÿ òåîðåìû ñðàçó ñëåäóþò èç îïðåäåëåíèÿ îïåðàöèè êîâàðèàíòíîãî äèåðåíöèðîâàíèÿ. Ñâîéñòâî (1) (îíî, ïîæàëóé, ñàìîå âàæíîå) ñëåäóåò èç ïðàâèëà çàìåíû ñèìâîëîâ Êðèñòîåëÿ,êîòîðîå áûëî ñïåöèàëüíî ïîäîáðàíî òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ñâîéñòâî (1) âûïîëíÿëîñü. Ìû óæå çíàåì, ÷òî ýòî ñâîéñòâî âûïîëíåíî â ñëó÷àå åâêëèäîâîéñâÿçíîñòè (ò.å. îïåðàöèè êîâàðèàíòíîãî äèåðåíöèðîâàíèÿ â Rn .
Äîêàçàòåëüñòâî â îáùåì ñëó÷àå áûëî áû òî÷íî òàêèì æå. Ìû íå áóäåì çäåñü ïðîâîäèòü îðìàëüíîãî äîêàçàòåëüñòâà â îáùåì ñëó÷àå (ìîæíî ïðîäåëàòü ýòîñàìîñòîÿòåëüíî èëè ïðî÷èòàòü â êíèãå À.Ñ.Ìèùåíêî, À.Ò.Ôîìåíêî "Êóðñäèåðåíöèàëüíîé ãåîìåòðèè è òîïîëîãèè").Ìû ïðîêîììåíòèðóåì ëèøü ïîñëåäíåå ñâîéñòâî (6).Ñîãëàøåíèå îá îáîçíà÷åíèÿõi ...ii ...i(∇T )j11 ...jpq ,α = ∇α Tj11...jqpÏðîâåðèì ñâîéñòâî â ïðîñòåéøåì ñëó÷àå, êîãäà T òåíçîðíîå ïîëå òèïà(1, 1), ò.å. ëèíåéíûé îïåðàòîð. Íóæíî ïðîâåðèòü, ÷òî!XXi∇αTi =(∇α Tii )ii22Èìååì∂Tji+ Γikα Tjk − Γkjα Tki∂xαÑóììèðóÿ ïî i = j , ïîëó÷àåì!XX ∂T i∂iikkiiTi = ∇α( α + Γkα Ti − Γiα Tk ) =∂x∂xαii∇α Tji =XiTii!,÷òî è òðåáîâàëîñü.Çàìå÷àíèå  ñèëó äîêàçàííîãî ñâîéñòâà (6) ñëåäóþùàÿ çàïèñü èìååòñìûñë âíå çàâèñèìîñòè îò òîãî äî èëè ïîñëå äèåðåíöèðîâàíèÿ ïðîèçâîäèòñÿ ñóììèðîâàíèåii ...i∇α Tij22...jqp23Ëåêöèÿ 5.Êîâàðèàíòíîå äèåðåíöèðîâàíèå (ïðîäîëæåíèå).
Ñèììåòðè÷åñêèå ðèìàíîâû ñâÿçíîñòè.Îïðåäåëåíèå 1 Êîâàðèàíòíîé ïðîèçâîäíîé ∇ξ T òåíçîðíîãî ïîëÿ T âäîëüâåêòîðíîãî ïîëÿ ξ íàçûâàåòñÿ òåíçîðíîå ïîëå, îïðåäåëÿåìîå ïî ñëåäóþùåéîðìóëå∇ξ T = ξ i ∇i T.Êàê âèäíî èç ýòîãî îïðåäåëåíèå ïðîèçâîäíàÿ òåíçîðíîãî ïîëÿ T òèïà(p, q) âäîëü âåêòîðíîãî ïîëÿ ÿâëÿåòñÿ òåíçîðíûì ïîëåì òîãî æå òèïà (p, q):∇ξ : {òåíçîðíûå ïîëÿòèïà (p, q)} → {òåíçîðíûå ïîëÿòèïà (p, q)}Îïðåäåëåíèå 2 Êîâàðèàíòíîé ïðîèçâîäíîé âäîëü (ïàðàìåòðèçîâàííîé)êðèâîé γ íàçûâàåòñÿ êîâàðèàíòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ âäîëü âåêòîðà ñêîðîñòèýòîé êðèâîé. Îáîçíà÷åíèå: ∇γ = ∇ dγ .dtÇàìå÷àíèå Îòìåòèì, ÷òî ïðîèçâîäíàÿ âäîëü êðèâîé çàâèñèò îò ïàðàìåòðèçàöèè êðèâîé. Ïðè çàìåíå ïàðàìåòðà ðåçóëüòàò áóäåò ìåíÿòüñÿ. Âûÿñíèòå ñàìîñòîÿòåëüíî êàêèì îáðàçîì.Ïóñòü η = {η j } âåêòîðíîå ïîëå.
àñïèøåì áîëåå ïîäðîáíî åãî êîâàðèàíòíóþ ïðîèçâîäíóþ âäîëü êðèâîé γ(t) = {x1 (t), . . . , xn (t)}.j(∇γ η) = ∇ dγ ηdtjdxidxi=∇i η j =dtdt∂η j+ Γjki η k∂xi=dη jdxi+ Γjki η k.dtdtÈç ïîëó÷èâøåéñÿ îðìóëû ñëåäóåò âàæíûé âûâîä. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîäñ÷èòàòü êîâàðèàíòíóþ ïðîèçâîäíóþ âåêòîðíîãî ïîëÿ âäîëü êðèâîé, äîñòàòî÷íî çíàòü ýòî ïîëå òîëüêî íà ñàìîé êðèâîé (ïîñìîòðèòå íà ïðàâóþ ÷àñòüðàâåíñòâà).
(Îòìåòèì, ÷òî äëÿ ïîäñ÷åòà îáû÷íîé êîâàðèàíòíîé ïðîèçâîäíîé íåîáõîäèìî çàäàâàòü ïîëå â íåêîòîðîé îòêðûòîé îêðåñòíîñòè).Ïðèìåð Ïóñòü (x1 , . . . , xn ) ëîêàëüíàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò íà ìíîãîîáðàçèè M . Ïóñòü e1 , . . . , en áàçèñíûå âåêòîðíûå ïîëÿ, îòâå÷àþùèå ýòîéñèñòåìå êîîðäèíàò. Íàïîìíèì, êàê îíè îïðåäåëÿþòñÿ. Ìîæíî çàäàòü èõòðåìÿ ýêâèâàëåíòíûìè ñïîñîáàìè, îòâå÷àþùèìè òðåì îïðåäåëåíèÿì êàñàòåëüíîãî âåêòîðà.1) ei êàñàòåëüíûé âåêòîð ê iîé êîîðäèíàòíîé ëèíèè äàííîé ñèñòåìûêîîðäèíàò;2) ei âåêòîðíîå ïîëå ñ êîîðäèíàòàìè (0, .
. . , 0, 1, 0, . . . , 0) (åäèíèöà íàiîì ìåñòå);3) ei äèåðåíöèàëüíûé îïåðàòîð ∂/∂xi .Ïðåäëîæåíèå 1 ∇ei ej = Γkji ek .Äîêàçàòåëüñòâî Âûïèøåì îáùóþ îðìóëók(∇ξ η) = ξ α∂η k+ Γkβα η β ξ α∂xα24Èëè, ÷òî òî æå ñàìîå(∇ξ η) =∂η kξ α α + Γkβα η β ξ α ek∂xÏîäñòàâèì òåïåðü â ýòó îðìóëó áàçèñíûå âåêòîðíûå ïîëÿ η = ej , ξ = ei . âûðàæåíèè â ñêîáêàõ èç ïðàâîé ÷àñòè îðìóëû ïåðâûé ÷ëåí îáíóëèòñÿ,ïîñêîëüêó êîîðäèíàòû áàçèñíîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ ïîñòîÿííû, è èõ ïðîèçâîäíûå, ñëåäîâàòåëüíî, ðàâíû íóëþ. Âî-âòîðîì îò ñóììû îñòàíåòñÿ òîëüêî îäíî ñëàãàåìîå, îòâå÷àþùåå η j = 1 è ξ i = 1. Âñå îñòàëüíûå îáðàòèëèñüâ íóëü.
 èòîãå∇ei ej = Γkji ek .Òåïåðü äàâàéòå îáñóäèì âîïðîñ î òîì, íàñêîëüêî îäíîçíà÷íî îïðåäåëåíà îïåðàöèÿ êîâàðèàíòíîãî äèåðåíöèðîâàíèÿ. Ìû îïðåäåëèëè åå â ïðîøëîé ëåêöèè ÿâíîé îðìóëîé ñ ïîìîùüþ ñèìâîëîâ Êðèñòîåëÿ. Ìîæíîëè åå çàäàòü êàê-íèáóäü èíà÷å, íî òàê ÷òîáû îñíîâíûå åå ñâîéñòâà îêàçàëèñüâûïîëíåííûìè? Îòâåò äàåò ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.˜ , óäîâëåòâîðÿÒåîðåìà 1 Ïóñòü íà ìíîãîîáðàçèè M çàäàíà îïåðàöèÿ ∇þùàÿ ñëåäóþùèì ñâîéñòâàì.˜ ïåðåâîäèò òåíçîðíûå ïîëÿ òèïà (p, q) â òåíçîðíûå ïîëÿ òèïà (p, q +1) ∇1):˜ : {òåíçîðíûå ïîëÿòèïà (p, q)∇} → {òåíçîðíûå ïîëÿòèïà (p, q + 1)}˜ ëèíåéíà,2) ∇˜ = df äëÿ ãëàäêèõ óíêöèé f íà M ,3) ∇f˜ óäîâëåòâîðÿåò ïðàâèëó Ëåéáíèöà äèåðåíöèðîâàíèÿ òåíçîðíîãî4) ∇ïðîèçâåäåíèÿ,˜ ñâåðòêà) = ñâåðòêà(∇T˜ )5) ∇(˜ ÿâëÿåòñÿ îáû÷íîé îïåðàöèåé êîâàðèàíòíîãî äèåÒîãäà îïåðàöèÿ ∇ðåíöèðîâàíèÿ â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ èç ïðîøëîé ëåêöèè.
Äðóãèìè ñëîâàìè,˜ çàäàåòñÿ ñòàíäàðòñóùåñòâóåò íàáîð ñèìâîëîâ Êðèñòîåëÿ òàêîé, ÷òî ∇íîé îðìóëîé (ñì. îïðåäåëåíèå ∇).Çàìå÷àíèå Ýòà òåîðåìà â íåêîòîðîì ñìûñëå ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàêòåîðåìà îá îäíîçíà÷íîñòè îïåðàöèè äèåðåíöèðîâàíèÿ òåíçîðíûõ ïîëåé.Îäíîçíà÷íîñòü, îäíàêî, íå ñëåäóåò ïîíèìàòü â òîì ñìûñëå, ÷òî òàêàÿ îïåðàöèÿ ðîâíî îäíà.
Èõ î÷åíü ìíîãî, íî âñå îíè îäíîòèïíû è ðàçëè÷àþòñÿëèøü âûáîðîì ñèìâîëîâ Êðèñòîåëÿ.Äîêàçàòåëüñòâî Ïðîâåäèòå ñàìîñòîÿòåëüíî. Ìû ëèøü äàäèì îñíîâíóþèäåþ.˜ . Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà óòâåðæäåíèÿ íàì1. Ïóñòü íàì äàíà îïåðàöèÿ ∇íóæíî îòêóäà-òî âçÿòü ñèìâîëû Êðèñòîåëÿ. Îòêóäà? Îòâåò ïðîñò.Ïîëîæèì ïî îïðåäåëåíèþ˜ ei ej = Γk ek .∇ji25Äðóãèìè ñëîâàìè, ñèìâîëû Êðèñòîåëÿ ìû îïðåäåëèì êàê êîýèöè˜ ei ej ïî áàçèñíûì âåêòîðíûì ïîëÿìåíòû â ðàçëîæåíèè âåêòîðíîãî ïîëÿ ∇äàííîé ñèñòåìû êîîðäèíàò.˜ è2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
